范氏氣體準靜態(tài)開放式系統(tǒng)與氣槍子波模擬

張雪陽，袁修貴*，朱世華,趙慶獻，伍忠良

(1.中南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，長沙 410083；2.廣州海洋地質(zhì)調(diào)查局，廣州 510760)

0 引言

現(xiàn)階段，海上地震勘探一般使用氣槍或氣槍陣列激發(fā)地震波，在生產(chǎn)中由于人力物力的限制，實際操作十分困難。因此對氣槍震源子波激發(fā)原理進行深入研究，通過計算機對氣槍激發(fā)子波和氣泡在水中的振蕩過程進行數(shù)值模擬，并對氣槍壓力、氣槍容量、沉放深度等影響因素進行分析就變得十分必要。

在氣槍震源子波模擬的研究中，國外已給出多種基于“自由氣泡振蕩理論” 的模型，其中代表性的有Ziolkowski[1]模型、Safar[2]模型、Schulze-Gattermann[3]模型等。陳浩林[4]在Ziolkowski模型基礎上，將氣槍壓力和氣槍容積進行了修正，使模擬子波與實驗數(shù)據(jù)更加接近。然而這些模型都沒有考慮氣槍槍口的節(jié)流、氣泡壁的熱傳導等作用對模擬結果的影響。Landr?[5]根據(jù)準靜態(tài)開放式熱力學系統(tǒng)的熱力學第一定律得到

hdm+dQ=dU+PdV

(1)

其中h是摩爾焓；m為氣體摩爾量；Q為系統(tǒng)吸放熱能；U為內(nèi)能；P為壓強；V為體積。并利用Kirkwood-Bethe[6]的阻尼氣泡運動方程，建立了理想氣體的單槍子波模型。王立明[7]在Landr?的準靜態(tài)開放式熱力學系統(tǒng)基礎上，利用范德瓦爾斯氣體理論，建立了范氏氣體子波模型，使模擬結果比理想氣體模型跟接近實驗數(shù)據(jù)。

在王立明等[8]的子波模擬過程中的準靜態(tài)開放式系統(tǒng)方程均直接引用了Landr?的準靜態(tài)開放系統(tǒng)方程(1)，其中理想氣體條件下焓h=CpT(Cp為定壓摩爾熱容)；而在范氏氣體條件下焓h≠CpT，顯然直接使用焓h=CpT得到的準靜態(tài)開放式熱力學系統(tǒng)方程

(2)

是不合理的。

本次研究將對比理想氣體準靜態(tài)開放式系統(tǒng)方程的推導過程，給出在范氏氣體條件下的準靜態(tài)開放式熱力學系統(tǒng)方程的推到過程及結果，并利用四階Runge-Kutta方法對范氏氣體模型進行模擬分析。

1 理想氣體下的準靜態(tài)開放系統(tǒng)

摩爾焓的計算公式可由公式(3)給出

h=U+PV

(3)

在理想氣體條件下，每摩爾理想氣體的內(nèi)能為

U=CvT

(4)

其中Cv為等體積摩爾熱容。

由理想氣體狀態(tài)方程

pV=RgT

(5)

得到

h=CvT+RgT=(Cv+Rg)T=CpT

(6)

其中 理想氣體狀態(tài)下Cp=Cv+Rg；Cp為等壓摩爾熱容；Rg為普適氣體常量。

由理想氣體的內(nèi)能公式

U=mCvT

(7)

得理想內(nèi)能變化率：

(8)

將式(7)、式(8)帶入式(1)化簡可得：

(9)

方程(9)即為理想氣體準靜態(tài)開放系統(tǒng)方程。

2 范氏氣體下的準靜態(tài)開放系統(tǒng)

每摩爾范氏氣體的內(nèi)能為：

(10)

由范氏氣體狀態(tài)方程

(11)

得到

(12)

將式(10)、式(12)帶入式(3)，可得：

(13)

由范氏氣體內(nèi)能公式

(14)

得內(nèi)能變化率

(15)

將式(13)、式(15)帶入式(1)化簡可得

(16)

方程(16)為范氏氣體條件下的準靜態(tài)開放式系統(tǒng)方程。

與現(xiàn)有文獻使用的范氏氣體條件下的準靜態(tài)開放式系統(tǒng)方程[7-8]

(17)

是有差別的。

3 范氏氣體子波模型數(shù)值模擬

對范氏氣體進行子波模擬，還需要氣泡振蕩方程和其他一些參量，其中采用Gilmore[9]的氣泡振蕩方程為

(18)

其中R為氣泡半徑；R′，R″分別為氣泡半徑R對時間的一階導數(shù)和二階導數(shù)；H為氣泡壁處瞬時焓差；H′為焓差H的一階導數(shù)；c為聲波速度。

氣泡內(nèi)氣體與周圍水熱轉(zhuǎn)換率為：

(19)

其中 傳熱系數(shù)ψ可通過子波模型實驗來確定；溫度差ΔT=T-Tw；T為氣泡內(nèi)溫度；Tw為周圍水的溫度。

氣體轉(zhuǎn)移率有如下經(jīng)驗公式：

(20)

其中τ為氣體節(jié)流系數(shù)，可以表示為

(21)

式中τ0為獨立于氣槍容積的氣體節(jié)流常數(shù)；ζ為氣體節(jié)流冪指數(shù)。

考慮氣泡近似球體，其體積與氣泡半徑的關系式為：

(22)

由式(22)求導可得體積變換率為：

(23)

在實際氣槍激發(fā)過程中，氣槍內(nèi)氣體沒有完全充入氣泡內(nèi)部，氣槍關閉后仍有一部分氣體留在氣槍氣室內(nèi)部，用η來表示氣槍內(nèi)剩余氣體摩爾量與初始氣槍內(nèi)氣體總摩爾量的比值

(24)

(25)

式中 常量Pc=139 MPa。

氣泡內(nèi)氣體初始摩爾量m|t=0和氣槍內(nèi)氣體初始摩爾量mg|t=0，可通過范德瓦爾斯方程(26)求得。

(26)

范氏氣體模型可以通過四階Runge-Kutta方法求解。算法步驟如下：

2)k時刻，氣泡內(nèi)壓強P|t=k可通過范德瓦爾斯方程求得。

8)計算k時刻壓力子波p|t=k：

10)k:=k+1，轉(zhuǎn)到步驟2)，最終得到整個震源子波壓力場。

4 模擬結果分析

在實驗中，我們選用Sleeve I型氣槍進行模擬，氣槍震源沉放深度為6 m，氣槍工作壓力為2 000 psi，氣槍容量為40 in3，海水溫度為18℃。圖1～圖3分別表示在同樣條件下的實測子波，王立明[7]、李高林[8]等模擬的原范氏氣體子波模型和本文所給出的范氏氣體子波模型。

圖1 氣槍實測遠場子波Fig．1 Measured far-field air gun signature

圖2 原范氏氣體子波模型模擬結果Fig．2 Results of simulation by the old Van der waals gas mode

圖3 范氏氣體子波模型模擬結果Fig．3 Results of simulation by the Van der waals gas mode

對圖1、圖2及圖3子波參數(shù)通過表1進行比較分析。

表1 實測子波與范氏氣體模型子波參數(shù)對比

通過表1的對比分析結果發(fā)現(xiàn)，本文的范氏模型參數(shù)比原范氏氣體模型參數(shù)更接近實測數(shù)據(jù)，模擬子波與實測子波基本一致。說明本文推導的范氏氣體條件下的準靜態(tài)開放式熱力學系統(tǒng)與實際情況更加接近，能更準確地表現(xiàn)子波屬性。

5 結束語

本次研究在Landr?準靜態(tài)開放式熱力學系統(tǒng)的基礎上，論證了在范氏氣體條件下，不能簡單使用理想氣體下的準靜態(tài)開放式熱力學系統(tǒng)方程；給出了范氏氣體條件下準靜態(tài)開放式熱力學方程的推導過程及結果；并利用推導結果結合實際數(shù)據(jù)進行了計算機數(shù)值模擬分析。數(shù)據(jù)分析表明，模擬子波和實驗子波吻合很好，得到了更加準確的子波模擬結果。

參考文獻：

[1] ZIOLKOWSKI A. A method for calculating the output pressure waveform from an air gun [J]. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1970, 21(2): 137-161.

[2] SAFAR M H. The radiation of acoustic waves from an air-gun[J]. Geophysical Prospecting, 1976, 24(4): 756-772.

[3] SCHULZE-GATTERMANN R. Physical aspects of the "airpulser" as a seismic energy source[J]. Geophysical Prospecting, 1972, 20(1): 155-192.

[4] 陳浩林, 於國平. 氣槍震源單槍子波計算機模擬[J]. 物探裝備, 2002, 12(4): 241-244.

[5] LANDR? M, SOLLIE R. Source signature determination by inversion[J]. Geophysics, 1992, 57(12): 1633-1640.

[6] KIRKWOOD J. G, BETHE H. Progress report on "The pressure wave produced by an underwater explosion I"[R]. Office of Scientific Research and Development Report ， 1942.

[7] 王立明. 范氏氣體下氣槍激發(fā)子波信號模擬研究[D].西安： 長安大學, 2010.

[8] 李高林. 氣槍震源子波特性分析與處理技術研究[D]. 青島：中國海洋大學, 2011.

[9] GILMORE F R. Collapse of a spherical bubble. Report Hydrodynamics Laboratory[M]. California Institute of Technology, Pasadena, California， 1952.