基于三參數(shù)小波變換的地震瞬時(shí)屬性計(jì)算方法及應(yīng)用

張鳳青 ， 宋永忠，高靜懷 ，沈加剛

(1.大慶油田工程有限公司，大慶 163712；2.大慶油田有限責(zé)任公司 勘探開(kāi)發(fā)研究院，大慶 163712；3. 西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院波動(dòng)與信息研究所, 西安 710049)

0 引言

在油氣勘探中，地震屬性是預(yù)測(cè)含油氣目標(biāo)的有效手段。目前常用的提取地震瞬時(shí)屬性方法,是通過(guò)對(duì)地震信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換得到對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)；然后由解析信號(hào)計(jì)算瞬時(shí)屬性(瞬時(shí)參數(shù))。由于實(shí)際地震資料中存在噪聲，而計(jì)算Hilbert變換的方法對(duì)噪聲很敏感，且由于濾波器的截?cái)嘈?yīng)使得計(jì)算出的瞬時(shí)屬性精度低[1]。小波變換是一種時(shí)間一尺度域分析技術(shù)，利用解析小波把含噪聲信號(hào)分解到時(shí)間—尺度域,信號(hào)和噪聲在不同的時(shí)間—尺度域子空間內(nèi)得到一定程度的分離[2]，進(jìn)而在信號(hào)子空間計(jì)算瞬時(shí)參數(shù)，噪聲得到壓制，信噪比得到了改善。因此，利用小波變換能得到含噪信號(hào)更好的瞬時(shí)屬性估計(jì)[3]。信號(hào)的小波變換不僅取決于信號(hào)自身，而且也與所采用的分析小波有關(guān)[4-7]。高靜懷等[6-8]對(duì)地震資料處理及屬性提取中分析小波的選擇問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，認(rèn)為選擇最佳匹配地震子波(BMSW小波)或待分析有效信號(hào)的函數(shù)作為基本小波有利于壓制噪聲，并給出了地震子波的模擬公式及相應(yīng)的分析小波。BMSW小波用于瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)帶寬等參數(shù)提取效果良好，但不能很好地分析含有頻率和振幅快速變化分量的信號(hào)[8-10]。因此，本次研究針對(duì)薄互層地震信號(hào)含有快速變化的振幅和頻率分量的特點(diǎn)，在最佳匹配地震子波的物理小波基礎(chǔ)上提出了新的分析小波即三參數(shù)小波，形成了基于三參數(shù)小波變換的高分辨率瞬時(shí)屬性分析方法。

1 方法原理

1.1 三參數(shù)小波及其時(shí)頻特性

文獻(xiàn)[8]給出了地震子波的模擬方法及相應(yīng)的分析小波。從模擬地震子波的公式出發(fā)，考慮小波函數(shù)的容許條件和歸一化條件，可定義新的小波函數(shù)

ψ(t;σ,τ,β)=e-τ(t-β)2{p(σ,τ,β)[cos(σt)-k(σ,τ,β)]+iq(σ,τ,β)sin(σt)}

(1)

其中t是時(shí)間；σ為分析小波調(diào)制頻率；τ為能量衰減因子；β為能量延遲因子；p、k、q是待定函數(shù)；σ,τ,β∈R且σ,τ≥0(R示實(shí)數(shù)集合)。

為了書(shū)寫(xiě)方便，用向量Λ=(σ,τ,β)記參數(shù)σ、τ、β集合，則ψ(t;σ,τ,β)可記為ψ(t;Λ)。相應(yīng)地，式(1)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

ψ(t;Λ)=e-τ(t-β)2{p(Λ)[cos(σt)-k(Λ)]+iq(Λ)sin(σt)}

(2)

求解p(Λ),q(Λ)和k(Λ)如下：

(4)

(5)

由式(2)構(gòu)造的小波函數(shù)即為三參數(shù)小波。三參數(shù)小波有三個(gè)可調(diào)參數(shù)(σ、τ、β)，對(duì)信號(hào)做小波分析時(shí)有很高的自由度,能夠很好地匹配地震子波或給定的有效信號(hào)；與BMSW小波或其他小波相比，三參數(shù)小波有更好的時(shí)域局部化性質(zhì)，適合分析包含頻率及振幅都快速變化的分量的信號(hào)。

圖1是三參數(shù)小波與BMSW小波的時(shí)-頻特性比較，小波參數(shù)取Λ=(1,0.5,0)。對(duì)于分析包含頻率及振幅都快速變化的分量的信號(hào)，要想在得到最佳的時(shí)間分辨率的同時(shí)分離開(kāi)信號(hào)中的各種頻率分量，就要求取較小的σ值。當(dāng)σ較小時(shí)(例如σ=1時(shí))，BMSW小波的模在時(shí)—頻域會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰(圖1(a)、圖1(b))。使用具有多峰的分析小波對(duì)信號(hào)作小波變換會(huì)導(dǎo)致信號(hào)多個(gè)不同位置的局部化，這在瞬時(shí)頻率及振幅計(jì)算中會(huì)產(chǎn)生假象[7]，而對(duì)相同的參數(shù)而言，三參數(shù)小波的模僅有一個(gè)峰(圖1(c)、圖1(d))。由此看出，三參數(shù)小波在時(shí)-頻域有比較理想的局部化性質(zhì)，這使得三參數(shù)小波不僅適合分析包含慢變頻率和幅度分量的信號(hào)，也適合包含快變分量的信號(hào)。

圖1 三參數(shù)小波與BMSW小波的時(shí)-頻特性比較Fig．1 The comparison of time-frequency characteristics between three parameters wavelet and BMSW wavelet(a) BMSW小波波形；(b) BMSW小波的Fourier振幅譜；(c) 三參數(shù)小波波形；(d) 三參數(shù)小波的Fourier振幅譜

圖2 三參數(shù)小波薄互層模型時(shí)-頻特性分析Fig．2 Time-frequency characteristics analysis of three parameters wavelet with thin-interbeded model(a)反射系數(shù)序列；(b)合成記錄；(c)三參數(shù)小波時(shí)頻域能量分布；(d) BMSW小波時(shí)頻域能量分布

為進(jìn)一步分析三參數(shù)小波的時(shí)頻特性，設(shè)計(jì)了如圖2所示的薄互層模型。圖2(a)為薄互層模型的反射系數(shù)序列，其幅度大小相等，正負(fù)相間，從200 ms到300 ms，位置分別位于200 ms、 201 ms、 203 ms、… 、 255 ms、 264 ms、 272 ms、…、 300 ms；圖2(b)為對(duì)應(yīng)的合成地震記錄，其中地震子波采用50 Hz的Ricker子波。

圖2(c)為由三參數(shù)小波得到的時(shí)-頻域能量分布圖。由于三參數(shù)小波有良好的時(shí)-頻局部化特性，其時(shí)-頻平面上只有一個(gè)主能量帶。主能量帶的時(shí)間中心在0.250 s處(對(duì)應(yīng)最厚層，見(jiàn)圖2(a))，沿著主能量帶，由中心向兩邊，隨著層的變薄，中心頻率(指在給定時(shí)刻主能量帶中的能量最大值對(duì)應(yīng)的頻率)變高，這符合隨著層的變薄而調(diào)諧頻率升高的薄互層時(shí)-頻響應(yīng)特性[11]。此外，圖2(c)中垂直于時(shí)間軸的錐形條紋準(zhǔn)確地刻畫(huà)了薄互層的層狀結(jié)構(gòu)，這表明三參數(shù)小波具有最佳的時(shí)間分辨率。

圖2(d)是BMSW小波時(shí)-頻域能量分布。由于BMSW小波在頻率軸上有三個(gè)中心(兩個(gè)在頻率正半軸，一個(gè)在負(fù)半軸，見(jiàn)圖1(b))，故在時(shí)間-頻率域上形成三個(gè)能量帶(圖2(d)中未畫(huà)出負(fù)頻率半平面)。這種復(fù)雜的時(shí)頻域能量分布，模糊了薄互層的時(shí)-頻響應(yīng)特性，容易導(dǎo)致對(duì)地下地質(zhì)結(jié)構(gòu)的錯(cuò)誤解釋。

由此看出，擁有三個(gè)可選參數(shù)的三參數(shù)小波，用于像薄互層地震數(shù)據(jù)這樣的信號(hào)(含有頻率及振幅快速變化的分量)分析是合適的，而B(niǎo)MSW小波(包括Morlet小波)卻不能做到這一點(diǎn)。

1.2 三參數(shù)小波變換

將三參數(shù)小波作為基本小波。對(duì)于任意給定的信號(hào)s(t)∈L2(R)，L2表示平方可積函數(shù)空間，t為時(shí)間，s(t)關(guān)于分析小波ψ(t)的三參數(shù)小波變換為

(6)

式中a、b分別表示尺度及平移參數(shù)，a,b∈R且a≠0；ψ*表示取復(fù)共軛。由于三參數(shù)小波具有理想的時(shí)-頻能量分布和最佳的聯(lián)合時(shí)-頻分辨率特征，因此地震資料的三參數(shù)小波變換能夠更好地揭示薄互層的時(shí)-頻響應(yīng)特性，進(jìn)而提取瞬時(shí)地震屬性和刻畫(huà)薄互層的沉積旋回、研究薄互層內(nèi)部結(jié)構(gòu)和估算薄層厚度。

1.3 基于三參數(shù)小波的瞬時(shí)屬性計(jì)算

文獻(xiàn)[1]提出了用小波變換求能量有限實(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)的一個(gè)定理,在此基礎(chǔ)上給出了用小波變換計(jì)算信號(hào)瞬時(shí)參數(shù)的算法。下面列出瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)相位及瞬時(shí)振幅等參數(shù)的計(jì)算公式。對(duì)于任意給定的信號(hào)s(t)∈L2(R)，尺度因子a，可定義瞬時(shí)屬性如下：

(7)

(8)

(9)

d(t)=abs(e′(t)/2π/e(t)

(10)

其中SR、SI是S(t)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部，e(t,a)、θ(t,a)、ω(t,a)、d(t)依次表示尺度為a時(shí)的瞬時(shí)振幅、瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率及瞬時(shí)帶寬。

2 應(yīng)用效果

GTZ地區(qū)FY油層是目前大慶油田主要勘探目的層，主要儲(chǔ)層是河道砂體，砂體厚度薄，一般為2 m～5 m，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地震勘探分辨率，常規(guī)方法難以預(yù)測(cè)，薄層河道砂體地震識(shí)別是該區(qū)勘探的關(guān)鍵和難題[12]。我們應(yīng)用三參數(shù)小波變換地震瞬時(shí)屬性方法，對(duì)該區(qū)薄儲(chǔ)層進(jìn)行了預(yù)測(cè)，取得了良好效果。

對(duì)振幅、頻率、相位、帶寬4種屬性用3個(gè)不同參數(shù)進(jìn)行處理，處理參數(shù)分別是：

Λ1=(1,0.001,22),f=[3,150]

Λ2=(1,0.001,22),f=[3,200]

Λ3=(1,0.001,22),f=[100,100]

其中Λ1、Λ2是全頻段屬性，Λ3是100 Hz分頻屬性。從處理效果看，在頻段[3，200 Hz]仍能成像，但效果與[3，150 Hz]差別不大。在分頻屬性中，分頻帶寬效果較好。

圖3是過(guò)G572—G19井三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬與Hilbert變換瞬時(shí)帶寬剖面對(duì)比，可以看出，三參數(shù)小波瞬時(shí)屬性的分辨率明顯高于Hilbert變換瞬時(shí)屬性。

F21x油層組發(fā)育1個(gè)較厚層砂體，在G572井厚度為6.78 m，在G19井厚度為11.9m，但由于分辨率的限制，在Hilbert變換瞬時(shí)帶寬剖面上，這個(gè)砂體沒(méi)有明顯響應(yīng)。在三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬剖面上，分辨率明顯提高，這個(gè)砂體分布得到清晰地刻畫(huà)，而且還識(shí)別出了其他層位上的2 m～3 m的薄砂體。

圖4是F21x油層三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬與Hilbert變換瞬時(shí)帶寬沿層切片，通過(guò)對(duì)比看出，由于分辨率的提高，三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬沿層切片上，薄層砂體展布范圍有所擴(kuò)大，規(guī)律也較明顯。用已知井最大單層砂巖厚度進(jìn)行了驗(yàn)證，Hilbert變換瞬時(shí)帶寬預(yù)測(cè)大于2 m砂體符合率只有56%,三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬預(yù)測(cè)大于2 m砂體符合率達(dá)到了73%,薄層砂巖預(yù)測(cè)能力有較大提高。

圖3 過(guò)G572-G19井三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬與Hilbert變換瞬時(shí)帶寬剖面對(duì)比Fig．3 The comparison of instantaneous bandwidth section between three parameters wavelet and Hilbert transform across the G572 - G19 well(a) Hilbert變換瞬時(shí)帶寬剖面；(b) 三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬剖面

圖4 F21x油層三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬與Hilbert變換瞬時(shí)帶寬沿層切片對(duì)比Fig．4 The comparison of instantaneous bandwidth slice between three parameters wavelet and Hilbert transform for the F21x oil layer(a) Hilbert變換瞬時(shí)帶寬切片；(b) 三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬切片

沉積相研究表明，該區(qū)F21x油層河道沉積具有 “北寬南窄，北曲南網(wǎng)，北部點(diǎn)壩發(fā)育，南部交叉頻繁”的特點(diǎn)[13]，三參數(shù)小波瞬時(shí)帶寬沿層切片揭示的砂體分布特征，符合該區(qū)的沉積規(guī)律。

3 結(jié)論

1) 三參數(shù)小波有三個(gè)可調(diào)參數(shù)，對(duì)信號(hào)做小波分析時(shí)有更大的自由度,能夠很好地匹配給定的有效信號(hào)。

2)與BMSW小波或其他小波相比，三參數(shù)小波有更好的時(shí)域局部化性質(zhì)，這使得三參數(shù)小波不僅適合分析包含慢變頻率和幅度分量的信號(hào)，而且也適合包含快變分量的信號(hào)。

3)三參數(shù)小波變換能夠更好地揭示薄互層的時(shí)-頻響應(yīng)特性。三參數(shù)小波變換瞬時(shí)屬性比Hilbert變換瞬時(shí)屬性有更高的信噪比和分辨率，為識(shí)別薄層砂體提供了有效手段。

4)基于三參數(shù)小波可以進(jìn)一步開(kāi)展薄互層的沉積旋回分析、研究薄互層內(nèi)部結(jié)構(gòu)和估算薄層厚度。

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