存在空氣阻力情況下的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡研究

狄 龍 張啟迪

(淮北市第一中學(xué) 安徽 淮北 235000)

1 問題的提出

平拋運(yùn)動(dòng)在高中物理教學(xué)過程中是一個(gè)常見內(nèi)容，在高中物理新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書中是這樣定義拋體運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的：以一定的速度將物體拋出，如果物體只受到重力的作用，這時(shí)的運(yùn)動(dòng)叫做拋體運(yùn)動(dòng)(Projectile Motion)．可以看出，教科書中的定義忽略了實(shí)際存在的空氣阻力．很多情況下，我們可以用這種理想模型去研究初速度水平的拋體運(yùn)動(dòng)，但是，若考慮存在空氣阻力情況下，運(yùn)動(dòng)的情形到底是如何的呢？

現(xiàn)在我們就來研究當(dāng)空氣阻力滿足f=-kv時(shí)，初速度水平的拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡情況．

2 理論推導(dǎo)

2.1 拋物體動(dòng)力學(xué)方程

首先對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球受到重力mg，方向豎直向下；空氣阻力f=-kv，方向與速度方向相反，根據(jù)牛頓第二定律可以列方程

(1)

又由于

上式可化為

分離變量可得

積分得

2.2 拋物體運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律

2.2.1 速度隨時(shí)間的變化規(guī)律

當(dāng)t=0時(shí)，vx=v0,vy=0,可得

Cx=-v0Cy=-g

因此得速度隨時(shí)間變化規(guī)律

(2)

2.2.2 位置隨時(shí)間變化規(guī)律

當(dāng)t=0時(shí)，x=0,y=0，積分上式可得位置隨時(shí)間變化規(guī)律

(3)

這也是小球以t為參數(shù)的軌跡方程．

2.2.3 平拋運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)期行為

當(dāng)t→∞時(shí)，由上式可得

(4)

所以在有阻力的情況下，長(zhǎng)期來看，水平方向的速度為零，而豎直方向的速度是趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)和物體所受重力和阻力系數(shù)有關(guān)．位移為

(5)

可見，長(zhǎng)期看來，平拋小球在考慮空氣阻力的情況下，水平方向有一個(gè)極限位移，在豎直方向上是做勻速直線運(yùn)動(dòng)的．

2.2.4 阻力可忽略時(shí)的情況

當(dāng)k→0時(shí)，可得

這也就是我們?cè)谥袑W(xué)物理課程中忽略空氣阻力處理此問題時(shí)，所得到的結(jié)論．對(duì)于水平和豎直方向的位移，由上邊的式子可得

即

(5)

3 軟件模擬并與理論推導(dǎo)對(duì)比

筆者同時(shí)運(yùn)用Matlab軟件對(duì)此過程進(jìn)行了模擬．所得到的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖

1(a)所示，平拋運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖1(b)所示．

圖1

(1)圖1(a)中上圖的橫坐標(biāo)表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間，縱坐標(biāo)表示水平方向上位移的大小，圖1(b)下圖橫坐標(biāo)表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間，縱坐標(biāo)表示豎直方向位移的大?。粓D1(b)中橫坐標(biāo)表示水平方向位移大小，縱坐標(biāo)表示豎直方向上位移大?。?/p>

從以上圖像我們可以看出，相比于沒有阻力的情況下，小球的橫縱坐標(biāo)都要小一些．在沒有阻力的情況下，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，而在有阻力的情況下，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條彎曲的曲線，且彎曲程度要比無阻力情況下明顯．在有阻力的情況下，水平方向有一個(gè)極限距離，而豎直方向趨向于勻速直線運(yùn)動(dòng)．通過這三幅圖，就可以清楚地展示出平拋運(yùn)動(dòng)在考慮空氣阻力時(shí)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，與前面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)也是一致的．