分析錯(cuò)例 找準(zhǔn)起點(diǎn)

羅燕

學(xué)生作業(yè)中錯(cuò)例的產(chǎn)生與學(xué)生的個(gè)體差異有關(guān)。從學(xué)生的基礎(chǔ)與現(xiàn)狀、學(xué)習(xí)心理和非智力因素三方面展開(kāi)分析，探尋錯(cuò)例產(chǎn)生的緣由，挖掘錯(cuò)例中蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值，有意識(shí)、有目的地改進(jìn)教學(xué)，能極大地降低同類錯(cuò)例的發(fā)生概率。對(duì)此，筆者在分析錯(cuò)例的基礎(chǔ)上，展開(kāi)了實(shí)踐探索，以期找準(zhǔn)課堂教學(xué)的切入點(diǎn)。

一、分析錯(cuò)例，揭示學(xué)生原有觀念和思維方式

學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中生長(zhǎng)出新的知識(shí)。因此，研究學(xué)生原有的觀念和思維方式，分析其對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)和掌握新知識(shí)會(huì)造成的影響，是實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變的前提。換而言之，教師在教學(xué)前應(yīng)該充分了解學(xué)生會(huì)怎樣想、為什么會(huì)這樣想。

例如，人教版四年級(jí)上冊(cè)第五單元“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，在一位教師備課筆記上記錄的學(xué)生錯(cuò)例中，有三則錯(cuò)例引起了筆者的關(guān)注和思考，具體如下：

筆者針對(duì)三則錯(cuò)例，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了深度訪談，發(fā)現(xiàn)每則錯(cuò)例都有對(duì)應(yīng)的一個(gè)“獨(dú)特”想法。整理如下：

錯(cuò)例1：92除以30，從最高位除起，先看被除數(shù)的前一位，因?yàn)榍耙晃皇?，表示9個(gè)10，也就是90，90除以30商是3，除到了十位，商寫在十位上，個(gè)位的2不夠除了，商0。

錯(cuò)例2：我估計(jì)92里面有3個(gè)30，所以商3，余數(shù)是2；因?yàn)槭怯帽怀龜?shù)十位上的9去除以除數(shù)十位上的3，所以商寫十位上。

錯(cuò)例3：30乘3的積是90，只要在十位的下面寫上9就表示90；以前在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，用十位上的數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)，所得的積個(gè)位的“0”是省略的（如右圖）。

從學(xué)生的訪談結(jié)果分析，錯(cuò)例的形成是由于學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中對(duì)筆算除法的片面理解，影響了學(xué)生對(duì)新知的同化。在學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，影響學(xué)生同化“除數(shù)是兩位數(shù)除法”筆算方法的因素有以下幾點(diǎn)。

1.學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了“除數(shù)是一位數(shù)除法”的筆算，除數(shù)是兩位數(shù)除法與它的本質(zhì)區(qū)別是需要把除數(shù)（如錯(cuò)例中的30）作為整體試商，而在學(xué)生頭腦中，已學(xué)的筆算都是單個(gè)數(shù)字的運(yùn)算，換而言之，是按數(shù)位的順序（加、減、乘從低位，除法從高位）一位一位往下算，錯(cuò)例1由此產(chǎn)生。

2.在教學(xué)“除數(shù)是一位數(shù)除法”筆算時(shí)，將方法概括為“先看被除數(shù)的最高位，如果最高位不夠除，再看前兩位……”這種不恰當(dāng)?shù)奶岱ㄊ清e(cuò)例2產(chǎn)生的深層因素。學(xué)生在學(xué)習(xí)“除數(shù)是兩位數(shù)”的筆算除法時(shí)，產(chǎn)生了“先看最高位”的負(fù)遷移，不利于和“除數(shù)是多位數(shù)”的筆算方法進(jìn)行溝通。

3.“錯(cuò)例3”的豎式在有些教師看來(lái)可能是“錯(cuò)誤的”“不規(guī)范的”“需要改進(jìn)的”，但學(xué)生聯(lián)系筆算乘法“可省略乘積中的0”，能講清楚“怎么算”“怎么想”“怎么寫”，思維是符合邏輯的。此例，需要糾正的只是“不規(guī)范”的書寫格式。

從人教版教材編排的順序來(lái)分析，學(xué)生從學(xué)習(xí)（三年級(jí)下）“三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”起，豎式計(jì)算才有了存在的價(jià)值。在進(jìn)行筆算除法時(shí)，主要有下列三步：運(yùn)算順序的確定（從什么位算起）、分步運(yùn)算結(jié)果的定位（含商、乘積）和運(yùn)算最終結(jié)果的形成。學(xué)生在學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)筆算除法時(shí)，是將被除數(shù)有機(jī)分散成若干個(gè)“兩（三）位數(shù)除以兩位數(shù)”，試商 “幾百（或幾十）里面含有多少個(gè)幾十”再?gòu)?fù)合疊加，學(xué)生在復(fù)合疊加時(shí)產(chǎn)生了除的順序和商的順序等新困惑，尤其是要將除數(shù)看成整體試商。由此可見(jiàn)，錯(cuò)例產(chǎn)生的原因是新知與學(xué)生原有計(jì)算方式不完全相符，需要對(duì)新知經(jīng)“修正”“重組”后再“同化”。

二、呈現(xiàn)引導(dǎo)性材料，鏈接原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知

在教學(xué)新知的過(guò)程中，為促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)和目標(biāo)達(dá)成，向?qū)W生呈現(xiàn)一組鏈接原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)材料，為新知的學(xué)習(xí)提供概念上的固定點(diǎn)。這里的“固定點(diǎn)”指學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和要學(xué)習(xí)的新知之間所具有的某種潛在的適合性或本質(zhì)屬性的一致性。

【教學(xué)片段一】

（一）復(fù)習(xí)

1.筆算：375÷9 92÷3

2.反饋設(shè)問(wèn)。

（1）口述計(jì)算過(guò)程。

（2）除數(shù)都是一位數(shù)，而被除數(shù)位數(shù)不同，為什么商都是兩位數(shù)？

生：375除以9，百位不夠除，看前兩位，商的最高位在十位；92除以3，十位夠除，商的最高位也在十位。

……

師：除數(shù)是一位數(shù)的除法，先看被除數(shù)的前一位，不夠除再看被除數(shù)前兩位。

（二）談話導(dǎo)入

師：老師在書店看到了一套書，很喜歡，想買下來(lái)。一看單價(jià)是30元一本，一摸口袋，摸出了9□元。大家?guī)臀蚁胍幌?，我這些錢最多可以買幾本？

生：最多買3本。（異口同聲）

師：說(shuō)說(shuō)你們是怎么想的？

生：1本30元，3本90元，4本要120元，而老師的錢是90元多一點(diǎn)，只能買到3本。

生：我把“9□”估成90，90除以30等于3。

生：老師帶的錢是“9□”元，比100元少，而100里面最多有3個(gè)30。

片段一的教學(xué)從學(xué)生的原有認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)（除數(shù)是一位數(shù)的除法、除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算、除數(shù)是兩位整十?dāng)?shù)的估算），激活舊知，充分鋪墊。通過(guò)對(duì)買書情境的適當(dāng)改編，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“九十幾里面最多有多少個(gè)三十”，在思考時(shí)把除數(shù)30看成一個(gè)整體。通過(guò)這一教學(xué)過(guò)程，教師可以有效避免了“92÷30=30……2”這種錯(cuò)例的產(chǎn)生，并使新知學(xué)習(xí)建構(gòu)在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上。

三、激發(fā)認(rèn)知沖突，實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變的契機(jī)

學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)與科學(xué)概念一致的新概念的過(guò)程，這種建構(gòu)是他人無(wú)法代替的。當(dāng)學(xué)生用相異構(gòu)想的概念來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題而產(chǎn)生矛盾時(shí)，即原有概念與科學(xué)概念之間發(fā)生了“沖突”，而原有的概念無(wú)力解決“沖突”時(shí)，學(xué)生才會(huì)自愿放棄舊的概念。

【教學(xué)片段二】

（一）情境串聯(lián)，引入主題

1. 師（在“□”中填上2）：原來(lái)老師帶的是92元，那么請(qǐng)你幫老師算一算到底能買幾本？還剩幾元呢？endprint

2.交流反饋。

生：買3本，多2元。[板書：92÷30=3（本）……2（元）]

生：“□”里不管填幾，商都是3本，填幾余數(shù)就是幾。

生：“□”里的數(shù)改變余數(shù)，不改變商。

（二）話題討論，完善豎式

師：除了口算和估算，我們還可以用豎式計(jì)算。（板書：）

師：商3寫在什么數(shù)位上？

生：商3應(yīng)該寫在個(gè)位上，因?yàn)楸硎?個(gè)30。

生：商3應(yīng)該寫在十位上，因?yàn)槭怯檬簧系?除以十位上的3，除到十位，商寫十位上。

生：不同意他的想法，是用92除以30，已經(jīng)除到了個(gè)位。商寫在個(gè)位上。

師：究竟是用92除以30，還是用9除以3？

生：是把30看成一個(gè)整體計(jì)算的，是用92除以30。

生：那就應(yīng)該除到92的個(gè)位，把3商在個(gè)位上。

片段二的教學(xué)，圍繞“商3寫在什么數(shù)位上？”展開(kāi)積極的辨析，延續(xù)用除數(shù)整體試商的方法，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生走出誤區(qū)。因?yàn)榻處熞呀?jīng)對(duì)學(xué)生在此知識(shí)點(diǎn)上可能發(fā)生的錯(cuò)誤有了充分的準(zhǔn)備，所以能合理利用學(xué)生在課堂上生成的錯(cuò)誤，恰到好處地抓住這一看似“偶然”實(shí)則“必然”的契機(jī)，繼而通過(guò)學(xué)生討論辨析幫助學(xué)生理解算理、理清思路，從而調(diào)整、擴(kuò)充和優(yōu)化原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)新知，建立起新舊知識(shí)穩(wěn)固的聯(lián)結(jié)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、借助幾何直觀，糾正相異構(gòu)想

建構(gòu)主義重視舊經(jīng)驗(yàn)在構(gòu)建新知識(shí)過(guò)程中的作用，而很多相異構(gòu)想的形成，恰恰是因?yàn)閷W(xué)生缺乏建構(gòu)新知識(shí)所必需的感性經(jīng)驗(yàn)。這時(shí)，如果教師還是僅按知識(shí)的邏輯進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生則往往難以真正理解，充其量會(huì)覺(jué)得“似乎有些道理”，可自己原來(lái)的認(rèn)識(shí)也是“有道理”的，于是兼收并蓄，在記住書上結(jié)論的同時(shí)也保留了原來(lái)的“合理內(nèi)核”，形成了一種模糊混亂的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)實(shí)踐證明，為學(xué)生提供必要的感性材料，是糾正相異構(gòu)想的關(guān)鍵之一，可以促進(jìn)學(xué)生自主解除相異構(gòu)想，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

【教學(xué)片段三】

師：在小棒圖上找一找、圈一圈，說(shuō)說(shuō)算式中的“90”和“2”分別代表什么。

生：一捆小棒有10根，可以把3捆圈起來(lái)，表示30。

生：一共圈3個(gè)30，還多2根。

生：90表示3個(gè)30的積，2表示余數(shù)，也就是剩下2根。

師生板演完整豎式，理解豎式各部分表示的意義。

小結(jié)方法：除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法，除的時(shí)候先看被除數(shù)的前兩位。

五、設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)，重組學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)

人的一般認(rèn)知發(fā)展，包括認(rèn)知能力的發(fā)展和認(rèn)知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)的目的不僅是鞏固知識(shí)，更重要的是通過(guò)“超鏈接”讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，主動(dòng)尋求知識(shí)之間潛在的“連結(jié)”，使學(xué)生把知識(shí)連點(diǎn)成線結(jié)網(wǎng)，重組學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)片段四】

結(jié)合小棒圖，比較92÷30=3……2（包含除）與92÷3=30……2（等分除）兩個(gè)算式（見(jiàn)下圖），討論以下話題：

商3的位置為什么不同？

生：豎式1是先用十位上的9除以3，9在十位上，所以商在十位。

生：豎式2是看92里面有多少個(gè)30，有3個(gè)，所以商個(gè)位。

師：對(duì)小棒圖進(jìn)行分析，3和30各代表什么？

生：3代表分的份數(shù)，30代表每份的根數(shù)。

結(jié)合小棒圖說(shuō)說(shuō)兩個(gè)乘積為什么分別是“9”和“90”？

生：9表示有9個(gè)十，也就是9捆。

生：90表示一共圈了90根，也就是3個(gè)30根。

……

在片段三和片段四的教學(xué)中，通過(guò)對(duì)比“92÷30=3……2”與“92÷3=30……2”兩個(gè)豎式，借助小棒圖圈一圈、說(shuō)一說(shuō)，利用直觀的表象理清兩個(gè)豎式里的各個(gè)數(shù)據(jù)與小棒圖的關(guān)系，讓學(xué)生更好地理解豎式1“為什么商是30，而且要把3寫在十位上，乘積為什么是9，而不是90”，豎式2“為什么商是3，而且要寫在個(gè)位上，乘積為什么是90，而不是9”。通過(guò)新舊知識(shí)的比較溝通，使新知順利同化到已有知識(shí)的結(jié)構(gòu)中去。

有了這些研究做基礎(chǔ)，開(kāi)發(fā)錯(cuò)例的教學(xué)就顯得容易多了。錯(cuò)例展示了學(xué)生答題時(shí)的真實(shí)想法，便于教師找出“出錯(cuò)”的節(jié)點(diǎn)，對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行歸因分析，為教學(xué)提供了準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，為教學(xué)設(shè)計(jì)找到了新的基點(diǎn)。

（浙江省湖州市月河小學(xué) 313000）endprint

2.交流反饋。

生：買3本，多2元。[板書：92÷30=3（本）……2（元）]

生：“□”里不管填幾，商都是3本，填幾余數(shù)就是幾。

生：“□”里的數(shù)改變余數(shù)，不改變商。

（二）話題討論，完善豎式

師：除了口算和估算，我們還可以用豎式計(jì)算。（板書：）

師：商3寫在什么數(shù)位上？

生：商3應(yīng)該寫在個(gè)位上，因?yàn)楸硎?個(gè)30。

生：商3應(yīng)該寫在十位上，因?yàn)槭怯檬簧系?除以十位上的3，除到十位，商寫十位上。

生：不同意他的想法，是用92除以30，已經(jīng)除到了個(gè)位。商寫在個(gè)位上。

師：究竟是用92除以30，還是用9除以3？

生：是把30看成一個(gè)整體計(jì)算的，是用92除以30。

生：那就應(yīng)該除到92的個(gè)位，把3商在個(gè)位上。

片段二的教學(xué)，圍繞“商3寫在什么數(shù)位上？”展開(kāi)積極的辨析，延續(xù)用除數(shù)整體試商的方法，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生走出誤區(qū)。因?yàn)榻處熞呀?jīng)對(duì)學(xué)生在此知識(shí)點(diǎn)上可能發(fā)生的錯(cuò)誤有了充分的準(zhǔn)備，所以能合理利用學(xué)生在課堂上生成的錯(cuò)誤，恰到好處地抓住這一看似“偶然”實(shí)則“必然”的契機(jī)，繼而通過(guò)學(xué)生討論辨析幫助學(xué)生理解算理、理清思路，從而調(diào)整、擴(kuò)充和優(yōu)化原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)新知，建立起新舊知識(shí)穩(wěn)固的聯(lián)結(jié)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、借助幾何直觀，糾正相異構(gòu)想

建構(gòu)主義重視舊經(jīng)驗(yàn)在構(gòu)建新知識(shí)過(guò)程中的作用，而很多相異構(gòu)想的形成，恰恰是因?yàn)閷W(xué)生缺乏建構(gòu)新知識(shí)所必需的感性經(jīng)驗(yàn)。這時(shí)，如果教師還是僅按知識(shí)的邏輯進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生則往往難以真正理解，充其量會(huì)覺(jué)得“似乎有些道理”，可自己原來(lái)的認(rèn)識(shí)也是“有道理”的，于是兼收并蓄，在記住書上結(jié)論的同時(shí)也保留了原來(lái)的“合理內(nèi)核”，形成了一種模糊混亂的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)實(shí)踐證明，為學(xué)生提供必要的感性材料，是糾正相異構(gòu)想的關(guān)鍵之一，可以促進(jìn)學(xué)生自主解除相異構(gòu)想，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

【教學(xué)片段三】

師：在小棒圖上找一找、圈一圈，說(shuō)說(shuō)算式中的“90”和“2”分別代表什么。

生：一捆小棒有10根，可以把3捆圈起來(lái)，表示30。

生：一共圈3個(gè)30，還多2根。

生：90表示3個(gè)30的積，2表示余數(shù)，也就是剩下2根。

師生板演完整豎式，理解豎式各部分表示的意義。

小結(jié)方法：除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法，除的時(shí)候先看被除數(shù)的前兩位。

五、設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)，重組學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)

人的一般認(rèn)知發(fā)展，包括認(rèn)知能力的發(fā)展和認(rèn)知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)的目的不僅是鞏固知識(shí)，更重要的是通過(guò)“超鏈接”讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，主動(dòng)尋求知識(shí)之間潛在的“連結(jié)”，使學(xué)生把知識(shí)連點(diǎn)成線結(jié)網(wǎng)，重組學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)片段四】

結(jié)合小棒圖，比較92÷30=3……2（包含除）與92÷3=30……2（等分除）兩個(gè)算式（見(jiàn)下圖），討論以下話題：

商3的位置為什么不同？

生：豎式1是先用十位上的9除以3，9在十位上，所以商在十位。

生：豎式2是看92里面有多少個(gè)30，有3個(gè)，所以商個(gè)位。

師：對(duì)小棒圖進(jìn)行分析，3和30各代表什么？

生：3代表分的份數(shù)，30代表每份的根數(shù)。

結(jié)合小棒圖說(shuō)說(shuō)兩個(gè)乘積為什么分別是“9”和“90”？

生：9表示有9個(gè)十，也就是9捆。

生：90表示一共圈了90根，也就是3個(gè)30根。

……

在片段三和片段四的教學(xué)中，通過(guò)對(duì)比“92÷30=3……2”與“92÷3=30……2”兩個(gè)豎式，借助小棒圖圈一圈、說(shuō)一說(shuō)，利用直觀的表象理清兩個(gè)豎式里的各個(gè)數(shù)據(jù)與小棒圖的關(guān)系，讓學(xué)生更好地理解豎式1“為什么商是30，而且要把3寫在十位上，乘積為什么是9，而不是90”，豎式2“為什么商是3，而且要寫在個(gè)位上，乘積為什么是90，而不是9”。通過(guò)新舊知識(shí)的比較溝通，使新知順利同化到已有知識(shí)的結(jié)構(gòu)中去。

有了這些研究做基礎(chǔ)，開(kāi)發(fā)錯(cuò)例的教學(xué)就顯得容易多了。錯(cuò)例展示了學(xué)生答題時(shí)的真實(shí)想法，便于教師找出“出錯(cuò)”的節(jié)點(diǎn)，對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行歸因分析，為教學(xué)提供了準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，為教學(xué)設(shè)計(jì)找到了新的基點(diǎn)。

（浙江省湖州市月河小學(xué) 313000）endprint

2.交流反饋。

生：買3本，多2元。[板書：92÷30=3（本）……2（元）]

生：“□”里不管填幾，商都是3本，填幾余數(shù)就是幾。

生：“□”里的數(shù)改變余數(shù)，不改變商。

（二）話題討論，完善豎式

師：除了口算和估算，我們還可以用豎式計(jì)算。（板書：）

師：商3寫在什么數(shù)位上？

生：商3應(yīng)該寫在個(gè)位上，因?yàn)楸硎?個(gè)30。

生：商3應(yīng)該寫在十位上，因?yàn)槭怯檬簧系?除以十位上的3，除到十位，商寫十位上。

生：不同意他的想法，是用92除以30，已經(jīng)除到了個(gè)位。商寫在個(gè)位上。

師：究竟是用92除以30，還是用9除以3？

生：是把30看成一個(gè)整體計(jì)算的，是用92除以30。

生：那就應(yīng)該除到92的個(gè)位，把3商在個(gè)位上。

片段二的教學(xué)，圍繞“商3寫在什么數(shù)位上？”展開(kāi)積極的辨析，延續(xù)用除數(shù)整體試商的方法，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生走出誤區(qū)。因?yàn)榻處熞呀?jīng)對(duì)學(xué)生在此知識(shí)點(diǎn)上可能發(fā)生的錯(cuò)誤有了充分的準(zhǔn)備，所以能合理利用學(xué)生在課堂上生成的錯(cuò)誤，恰到好處地抓住這一看似“偶然”實(shí)則“必然”的契機(jī)，繼而通過(guò)學(xué)生討論辨析幫助學(xué)生理解算理、理清思路，從而調(diào)整、擴(kuò)充和優(yōu)化原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)新知，建立起新舊知識(shí)穩(wěn)固的聯(lián)結(jié)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、借助幾何直觀，糾正相異構(gòu)想

建構(gòu)主義重視舊經(jīng)驗(yàn)在構(gòu)建新知識(shí)過(guò)程中的作用，而很多相異構(gòu)想的形成，恰恰是因?yàn)閷W(xué)生缺乏建構(gòu)新知識(shí)所必需的感性經(jīng)驗(yàn)。這時(shí)，如果教師還是僅按知識(shí)的邏輯進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生則往往難以真正理解，充其量會(huì)覺(jué)得“似乎有些道理”，可自己原來(lái)的認(rèn)識(shí)也是“有道理”的，于是兼收并蓄，在記住書上結(jié)論的同時(shí)也保留了原來(lái)的“合理內(nèi)核”，形成了一種模糊混亂的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)實(shí)踐證明，為學(xué)生提供必要的感性材料，是糾正相異構(gòu)想的關(guān)鍵之一，可以促進(jìn)學(xué)生自主解除相異構(gòu)想，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

【教學(xué)片段三】

師：在小棒圖上找一找、圈一圈，說(shuō)說(shuō)算式中的“90”和“2”分別代表什么。

生：一捆小棒有10根，可以把3捆圈起來(lái)，表示30。

生：一共圈3個(gè)30，還多2根。

生：90表示3個(gè)30的積，2表示余數(shù)，也就是剩下2根。

師生板演完整豎式，理解豎式各部分表示的意義。

小結(jié)方法：除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法，除的時(shí)候先看被除數(shù)的前兩位。

五、設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)，重組學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)

人的一般認(rèn)知發(fā)展，包括認(rèn)知能力的發(fā)展和認(rèn)知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)的目的不僅是鞏固知識(shí)，更重要的是通過(guò)“超鏈接”讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，主動(dòng)尋求知識(shí)之間潛在的“連結(jié)”，使學(xué)生把知識(shí)連點(diǎn)成線結(jié)網(wǎng)，重組學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)片段四】

結(jié)合小棒圖，比較92÷30=3……2（包含除）與92÷3=30……2（等分除）兩個(gè)算式（見(jiàn)下圖），討論以下話題：

商3的位置為什么不同？

生：豎式1是先用十位上的9除以3，9在十位上，所以商在十位。

生：豎式2是看92里面有多少個(gè)30，有3個(gè)，所以商個(gè)位。

師：對(duì)小棒圖進(jìn)行分析，3和30各代表什么？

生：3代表分的份數(shù)，30代表每份的根數(shù)。

結(jié)合小棒圖說(shuō)說(shuō)兩個(gè)乘積為什么分別是“9”和“90”？

生：9表示有9個(gè)十，也就是9捆。

生：90表示一共圈了90根，也就是3個(gè)30根。

……

在片段三和片段四的教學(xué)中，通過(guò)對(duì)比“92÷30=3……2”與“92÷3=30……2”兩個(gè)豎式，借助小棒圖圈一圈、說(shuō)一說(shuō)，利用直觀的表象理清兩個(gè)豎式里的各個(gè)數(shù)據(jù)與小棒圖的關(guān)系，讓學(xué)生更好地理解豎式1“為什么商是30，而且要把3寫在十位上，乘積為什么是9，而不是90”，豎式2“為什么商是3，而且要寫在個(gè)位上，乘積為什么是90，而不是9”。通過(guò)新舊知識(shí)的比較溝通，使新知順利同化到已有知識(shí)的結(jié)構(gòu)中去。

有了這些研究做基礎(chǔ)，開(kāi)發(fā)錯(cuò)例的教學(xué)就顯得容易多了。錯(cuò)例展示了學(xué)生答題時(shí)的真實(shí)想法，便于教師找出“出錯(cuò)”的節(jié)點(diǎn)，對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行歸因分析，為教學(xué)提供了準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，為教學(xué)設(shè)計(jì)找到了新的基點(diǎn)。

（浙江省湖州市月河小學(xué) 313000）endprint