借助直觀 建構(gòu)概念

陳新華+于萍

【教學(xué)內(nèi)容】人教版五年級下冊“認(rèn)識因數(shù)”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.借助直觀，建立因數(shù)的概念，學(xué)會找出全部因數(shù)的方法，發(fā)現(xiàn)因數(shù)的特點。

2.能進行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。

3.初步養(yǎng)成樂于思考、勇于質(zhì)疑、言必有據(jù)的良好品質(zhì)。

【教學(xué)過程與評析】

一、引入課題，初步感知因數(shù)是“表示1份”的數(shù)

（一）借助數(shù)球，找出12的因數(shù)

師：這有一串小球，如果請你這樣數(shù)：1份1份地數(shù)，數(shù)到最后1份恰好數(shù)完，每份幾個？

生：每份1個。

生：每份1個最保險，無論這串小球有多少個，都可以恰好數(shù)完。（教師協(xié)助學(xué)生1個1個地數(shù)小球，發(fā)現(xiàn)小球共12個）

師：現(xiàn)在知道一共有12個小球了，每份是幾個也可以恰好數(shù)完呢？

生：每份2個。

生：每份可以是3個。

……

教師將學(xué)生答出的每份數(shù)按順序板書到黑板上。

（評析：陳老師設(shè)計的“數(shù)球”活動是學(xué)生認(rèn)識因數(shù)、建立概念的重要經(jīng)歷，這個富有創(chuàng)造性的活動使學(xué)生形成了對因數(shù)形象的、整體的、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識，由此初步感受到因數(shù)就是“一個整數(shù)的單位”。）

（二）初步建立因數(shù)的概念

師：看來只有1、2、3、4、6、12這幾個整數(shù)，以它們?yōu)?份，可以恰好湊成12。這些數(shù)與12有著不一般的關(guān)系，它們是12的因數(shù)。因數(shù)這個詞雖然并不生疏，但今天要研究的是一個數(shù)的因數(shù)，特別要指出的是只有整數(shù)才能有因數(shù)，而且作為因數(shù)的數(shù)也必須是整數(shù)。這節(jié)課我們就來認(rèn)識因數(shù)。（教師板書課題：認(rèn)識因數(shù)）

（評析：通過“數(shù)球”活動，學(xué)生將“球的總數(shù)”就是要研究的“數(shù)”，“以幾個為一份”就是“這個數(shù)的因數(shù)”，“能否1份1份地恰好數(shù)完”是判斷“每份數(shù)”是否為“這個數(shù)”的因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，“這樣的每份數(shù)”能找到幾個，“這個數(shù)”的“因數(shù)”就有幾個……這種讓概念與“數(shù)球”活動建立起對應(yīng)關(guān)系的過程，是學(xué)生舊經(jīng)驗與新認(rèn)知對接的過程，也是逐步認(rèn)識概念、理解概念的過程。）

二、教學(xué)新知

（一）了解因數(shù)與乘除法有關(guān)

1.判斷并說明理由。

（1） 7是14的因數(shù)。

生：對，因為14÷7=2。

生：我也認(rèn)為是對的，好比你有14個小球，7個、7個地數(shù)，數(shù)2次正好數(shù)完。

（2） 5×6=30，5是30的因數(shù)。

生：我認(rèn)為是對的。5×6=30，說明6個5是30，也就是30個小球，每份5個，數(shù)6次正好數(shù)完。

（3） 5×6=30，6是30的因數(shù)。

生：當(dāng)然也是對的。5是，6也一定是。

生：我同意，因為5×6=30，30÷5=6，30÷6=5。

生：（30個小球）5個、5個地數(shù)，數(shù)6次；6個、6個地數(shù)，數(shù)5次。

（評析：學(xué)生主動用“小球”來理解、分析和解釋新問題，直觀的模型成為了學(xué)生認(rèn)識抽象概念的重要支撐，這正是直觀的價值。）

2.根據(jù)算式找因數(shù)。

師：根據(jù)“5×6=30”這個算式，能找出30的兩個因數(shù)。誰能再說一個算式，讓大家也能找到某個數(shù)的兩個因數(shù)。（一個學(xué)生說算式，大家根據(jù)算式找出某個數(shù)的兩個因數(shù)）

3.歸納因數(shù)的概念。

師：這樣舉下去，例子太多了，能不能概括一下什么情況下我們就說a和b都是c的因數(shù)了。

生：當(dāng)c÷a=b時，a和b都是c的因數(shù)。

生：或者用乘法，當(dāng)a×b=c時也行。

師：“數(shù)球”讓我們形象地認(rèn)識了因數(shù)就是可以作為整體中1份的那些整數(shù)，字母則概括出根據(jù)這種都是整數(shù)的乘法或者除法算式，一下可以找到一個數(shù)的兩個因數(shù)，因數(shù)總是成對出現(xiàn)的。那12的因數(shù)是不是一對一對的？（根據(jù)學(xué)生的回答，教師將12的因數(shù)一對一對地畫上線）

（評析：“因數(shù)”刻畫的是整數(shù)之間的一種特殊關(guān)系，這種“關(guān)系”是隱形的，不容易被學(xué)生察覺、認(rèn)識和理解，而“數(shù)球”活動讓這種關(guān)系外顯，易于感知，同時調(diào)動了已有的認(rèn)知經(jīng)驗，使其“易于理解”。）

（二）研究找因數(shù)的方法

1.嘗試盡可能多地找出28的因數(shù)。

學(xué)生先獨立嘗試盡可能多地找出28的因數(shù)，之后進行小組交流：28是不是只有剛才同學(xué)們找到的這些因數(shù)，然后教師組織學(xué)生匯報找因數(shù)的方法，并將28的因數(shù)按從小到大的順序?qū)懺诤诎迳稀?/p>

2.借助數(shù)軸，感悟找全因數(shù)的方法。

師：28的因數(shù)中有最小的嗎？最大的呢？

生：28最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是28。（課件演示：出現(xiàn)數(shù)軸，數(shù)軸上出現(xiàn)1和28）

師：如果還有因數(shù)應(yīng)該在1和28這對因數(shù)之間，在這個范圍內(nèi)，最小的是幾，最大的呢？

生：最小的是2，最大的應(yīng)該是14。（課件演示：數(shù)軸上出現(xiàn)2和14）

師：最小的好說，最大的為什么就是14呢？

生：最小的如果是2，2×14=28，最大的就應(yīng)該是28。

生：15～27都不可能，它們乘1比28小，乘2就比28大了。

師：如果還有因數(shù)就應(yīng)該在2和14之間，在這個范圍內(nèi)，最小的是幾，最大的呢？

生：最小的是4，最大的是7。（課件演示：數(shù)軸上出現(xiàn)4和7）

生：本來最小的應(yīng)該是3，但3不是28的因數(shù)，就可以試試4，4×7=28。

師：如果還有因數(shù)就應(yīng)該在4和7之間了？

生：但是5和6都不是。

師：借助數(shù)軸，我們可以看到，如果按順序1和幾，2是嗎；2和幾，3是嗎；3和幾……一對一對地找因數(shù)，實際上是在不斷地縮小范圍，自然就可以找出全部的因數(shù)了。endprint

（評析：借助數(shù)軸找一個數(shù)的因數(shù)，使得學(xué)生在探尋找因數(shù)的方法時能夠更“有感覺”地找，這種感覺來自于數(shù)軸上點與點之間的位置關(guān)系，它使得學(xué)生對“因數(shù)”的認(rèn)識更富有位置感和聯(lián)系感，進而更好地理解并掌握找因數(shù)的方法。）

3.練習(xí)：找出33和36的全部因數(shù)。

學(xué)生分別找出33和36的全部因數(shù)，教師組織學(xué)生進行匯報、訂正并板書。

（三）歸納因數(shù)的特點

師：觀察黑板上12、28、33和36的因數(shù)，有什么共同點？

生：它們的因數(shù)中都有1。

生：它們的因數(shù)中最大的都是自己。

師：想一想，其他數(shù)的因數(shù)也具備這個特點嗎，為什么？

生：最小的因數(shù)一定是1，無論多少個小球，肯定都能1個、1個地數(shù)。

生：任何數(shù)都能寫成1乘它本身，1是最小的，對應(yīng)著它本身就應(yīng)該是最大的。

（評析：此時分析一個數(shù)的因數(shù)特征，學(xué)生已經(jīng)有了豐富的認(rèn)知基礎(chǔ)，“數(shù)球”活動和數(shù)軸，讓“因數(shù)”這一概念變得更容易理解，更容易學(xué)會。）

三、練習(xí)

教師課件出示問題：用12個小正方形擺長方形，能擺出哪幾種不同的長方形？（學(xué)生讀題后，嘗試完成，教師巡視）

師：這道題與因數(shù)有關(guān)系嗎？

生：有關(guān)系，長方形的長、寬都是12的因數(shù)。

師：12的因數(shù)一共有6個，應(yīng)該能擺出六種吧？

生：對，1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1，六種。

生：不對，應(yīng)該是三種，3×4和4×3是一種。

生：（拿著自己畫的圖）這個長方形，這么看是4×3，轉(zhuǎn)一下就是3×4了，其實還是同一個長方形。

師：這樣畫一畫，大家一下子就明白了3×4、4×3是同一個長方形。以后在給別人講道理或者自己解決問題時，也可以采取這樣畫圖的方式。（結(jié)合課件演示）我們將圖畫得規(guī)范些會看到，一對一對的因數(shù)就是長方形的長、寬，我們在數(shù)軸上看到一對一對的因數(shù)距離越來越接近，畫成的長方形就越來越像正方形。

（評析：“擺長方形”的活動也是幫助學(xué)生認(rèn)識因數(shù)的直觀形式，它與數(shù)軸相呼應(yīng)，幫助學(xué)生感受到因數(shù)是“一對一對地出現(xiàn)”，只要有序地找，“一對一對”的因數(shù)就會越來越接近。這一活動讓“找因數(shù)”“用因數(shù)”的過程變得更形象、更容易。同時，教師還注重點撥學(xué)生，當(dāng)遇到想不清、說不明的問題時，選個直觀的方式就能夠很好地解決問題。讓學(xué)生感受到了“直觀”不僅僅是一種方法，也是一種表達(dá)方式。）

四、總結(jié)質(zhì)疑

師：關(guān)于因數(shù)，你還有什么不明白或者想知道的嗎？

生：更大的數(shù)也是這樣一對一對地找因數(shù)嗎？

生：為什么只有整數(shù)才有因數(shù)呢？

……

【總評】

通?！耙驍?shù)”與“倍數(shù)”兩個概念是安排在一起教學(xué)的，重在揭示兩個數(shù)之間因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。而本課將“認(rèn)識因數(shù)”單獨作為一課時進行教學(xué)，主要原因在于學(xué)生真正理解“因數(shù)”是存在一定困難的，主要表現(xiàn)在兩方面。第一，難在從“關(guān)系”的視角研究數(shù)，在教學(xué)本課之前學(xué)生都是獨立地研究整數(shù)，而“因數(shù)”是對兩個或幾個整數(shù)之間“特殊”關(guān)系的研究，這種研究視角的改變造成了學(xué)生認(rèn)知的困難；第二，難在形成對“方法”的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識，雖然學(xué)生“找到因數(shù)”并不難，但有序、全面地找因數(shù)，并理解這樣做的道理是存在困難的。然而這種理解又是非常有必要的，能為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)。陳老師通過深入分析學(xué)生的認(rèn)知需求，立足于對教材內(nèi)容的活化與開發(fā)，將“認(rèn)識因數(shù)”單獨進行教學(xué)，這便可以有更充分的時間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷感悟的過程，突破認(rèn)知難點，進而建立概念，掌握方法。

課堂上，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，借助多種直觀材料，層層深入地認(rèn)識并理解數(shù)學(xué)概念、并在主動思考的過程中探尋方法。“直觀”起到了積極的促進作用，讓數(shù)學(xué)概念“更易于理解”，讓數(shù)學(xué)思考“更有方法”，讓數(shù)學(xué)變得“更容易學(xué)”，創(chuàng)造更適合兒童的數(shù)學(xué)教育。

（北京小學(xué) 100053）endprint

（評析：借助數(shù)軸找一個數(shù)的因數(shù)，使得學(xué)生在探尋找因數(shù)的方法時能夠更“有感覺”地找，這種感覺來自于數(shù)軸上點與點之間的位置關(guān)系，它使得學(xué)生對“因數(shù)”的認(rèn)識更富有位置感和聯(lián)系感，進而更好地理解并掌握找因數(shù)的方法。）

3.練習(xí)：找出33和36的全部因數(shù)。

學(xué)生分別找出33和36的全部因數(shù)，教師組織學(xué)生進行匯報、訂正并板書。

（三）歸納因數(shù)的特點

師：觀察黑板上12、28、33和36的因數(shù)，有什么共同點？

生：它們的因數(shù)中都有1。

生：它們的因數(shù)中最大的都是自己。

師：想一想，其他數(shù)的因數(shù)也具備這個特點嗎，為什么？

生：最小的因數(shù)一定是1，無論多少個小球，肯定都能1個、1個地數(shù)。

生：任何數(shù)都能寫成1乘它本身，1是最小的，對應(yīng)著它本身就應(yīng)該是最大的。

（評析：此時分析一個數(shù)的因數(shù)特征，學(xué)生已經(jīng)有了豐富的認(rèn)知基礎(chǔ)，“數(shù)球”活動和數(shù)軸，讓“因數(shù)”這一概念變得更容易理解，更容易學(xué)會。）

三、練習(xí)

教師課件出示問題：用12個小正方形擺長方形，能擺出哪幾種不同的長方形？（學(xué)生讀題后，嘗試完成，教師巡視）

師：這道題與因數(shù)有關(guān)系嗎？

生：有關(guān)系，長方形的長、寬都是12的因數(shù)。

師：12的因數(shù)一共有6個，應(yīng)該能擺出六種吧？

生：對，1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1，六種。

生：不對，應(yīng)該是三種，3×4和4×3是一種。

生：（拿著自己畫的圖）這個長方形，這么看是4×3，轉(zhuǎn)一下就是3×4了，其實還是同一個長方形。

師：這樣畫一畫，大家一下子就明白了3×4、4×3是同一個長方形。以后在給別人講道理或者自己解決問題時，也可以采取這樣畫圖的方式。（結(jié)合課件演示）我們將圖畫得規(guī)范些會看到，一對一對的因數(shù)就是長方形的長、寬，我們在數(shù)軸上看到一對一對的因數(shù)距離越來越接近，畫成的長方形就越來越像正方形。

（評析：“擺長方形”的活動也是幫助學(xué)生認(rèn)識因數(shù)的直觀形式，它與數(shù)軸相呼應(yīng)，幫助學(xué)生感受到因數(shù)是“一對一對地出現(xiàn)”，只要有序地找，“一對一對”的因數(shù)就會越來越接近。這一活動讓“找因數(shù)”“用因數(shù)”的過程變得更形象、更容易。同時，教師還注重點撥學(xué)生，當(dāng)遇到想不清、說不明的問題時，選個直觀的方式就能夠很好地解決問題。讓學(xué)生感受到了“直觀”不僅僅是一種方法，也是一種表達(dá)方式。）

四、總結(jié)質(zhì)疑

師：關(guān)于因數(shù)，你還有什么不明白或者想知道的嗎？

生：更大的數(shù)也是這樣一對一對地找因數(shù)嗎？

生：為什么只有整數(shù)才有因數(shù)呢？

……

【總評】

通常“因數(shù)”與“倍數(shù)”兩個概念是安排在一起教學(xué)的，重在揭示兩個數(shù)之間因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。而本課將“認(rèn)識因數(shù)”單獨作為一課時進行教學(xué)，主要原因在于學(xué)生真正理解“因數(shù)”是存在一定困難的，主要表現(xiàn)在兩方面。第一，難在從“關(guān)系”的視角研究數(shù)，在教學(xué)本課之前學(xué)生都是獨立地研究整數(shù)，而“因數(shù)”是對兩個或幾個整數(shù)之間“特殊”關(guān)系的研究，這種研究視角的改變造成了學(xué)生認(rèn)知的困難；第二，難在形成對“方法”的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識，雖然學(xué)生“找到因數(shù)”并不難，但有序、全面地找因數(shù)，并理解這樣做的道理是存在困難的。然而這種理解又是非常有必要的，能為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)。陳老師通過深入分析學(xué)生的認(rèn)知需求，立足于對教材內(nèi)容的活化與開發(fā)，將“認(rèn)識因數(shù)”單獨進行教學(xué)，這便可以有更充分的時間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷感悟的過程，突破認(rèn)知難點，進而建立概念，掌握方法。

課堂上，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，借助多種直觀材料，層層深入地認(rèn)識并理解數(shù)學(xué)概念、并在主動思考的過程中探尋方法。“直觀”起到了積極的促進作用，讓數(shù)學(xué)概念“更易于理解”，讓數(shù)學(xué)思考“更有方法”，讓數(shù)學(xué)變得“更容易學(xué)”，創(chuàng)造更適合兒童的數(shù)學(xué)教育。

（北京小學(xué) 100053）endprint

（評析：借助數(shù)軸找一個數(shù)的因數(shù)，使得學(xué)生在探尋找因數(shù)的方法時能夠更“有感覺”地找，這種感覺來自于數(shù)軸上點與點之間的位置關(guān)系，它使得學(xué)生對“因數(shù)”的認(rèn)識更富有位置感和聯(lián)系感，進而更好地理解并掌握找因數(shù)的方法。）

3.練習(xí)：找出33和36的全部因數(shù)。

學(xué)生分別找出33和36的全部因數(shù)，教師組織學(xué)生進行匯報、訂正并板書。

（三）歸納因數(shù)的特點

師：觀察黑板上12、28、33和36的因數(shù)，有什么共同點？

生：它們的因數(shù)中都有1。

生：它們的因數(shù)中最大的都是自己。

師：想一想，其他數(shù)的因數(shù)也具備這個特點嗎，為什么？

生：最小的因數(shù)一定是1，無論多少個小球，肯定都能1個、1個地數(shù)。

生：任何數(shù)都能寫成1乘它本身，1是最小的，對應(yīng)著它本身就應(yīng)該是最大的。

（評析：此時分析一個數(shù)的因數(shù)特征，學(xué)生已經(jīng)有了豐富的認(rèn)知基礎(chǔ)，“數(shù)球”活動和數(shù)軸，讓“因數(shù)”這一概念變得更容易理解，更容易學(xué)會。）

三、練習(xí)

教師課件出示問題：用12個小正方形擺長方形，能擺出哪幾種不同的長方形？（學(xué)生讀題后，嘗試完成，教師巡視）

師：這道題與因數(shù)有關(guān)系嗎？

生：有關(guān)系，長方形的長、寬都是12的因數(shù)。

師：12的因數(shù)一共有6個，應(yīng)該能擺出六種吧？

生：對，1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1，六種。

生：不對，應(yīng)該是三種，3×4和4×3是一種。

生：（拿著自己畫的圖）這個長方形，這么看是4×3，轉(zhuǎn)一下就是3×4了，其實還是同一個長方形。

師：這樣畫一畫，大家一下子就明白了3×4、4×3是同一個長方形。以后在給別人講道理或者自己解決問題時，也可以采取這樣畫圖的方式。（結(jié)合課件演示）我們將圖畫得規(guī)范些會看到，一對一對的因數(shù)就是長方形的長、寬，我們在數(shù)軸上看到一對一對的因數(shù)距離越來越接近，畫成的長方形就越來越像正方形。

（評析：“擺長方形”的活動也是幫助學(xué)生認(rèn)識因數(shù)的直觀形式，它與數(shù)軸相呼應(yīng)，幫助學(xué)生感受到因數(shù)是“一對一對地出現(xiàn)”，只要有序地找，“一對一對”的因數(shù)就會越來越接近。這一活動讓“找因數(shù)”“用因數(shù)”的過程變得更形象、更容易。同時，教師還注重點撥學(xué)生，當(dāng)遇到想不清、說不明的問題時，選個直觀的方式就能夠很好地解決問題。讓學(xué)生感受到了“直觀”不僅僅是一種方法，也是一種表達(dá)方式。）

四、總結(jié)質(zhì)疑

師：關(guān)于因數(shù)，你還有什么不明白或者想知道的嗎？

生：更大的數(shù)也是這樣一對一對地找因數(shù)嗎？

生：為什么只有整數(shù)才有因數(shù)呢？

……

【總評】

通?！耙驍?shù)”與“倍數(shù)”兩個概念是安排在一起教學(xué)的，重在揭示兩個數(shù)之間因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。而本課將“認(rèn)識因數(shù)”單獨作為一課時進行教學(xué)，主要原因在于學(xué)生真正理解“因數(shù)”是存在一定困難的，主要表現(xiàn)在兩方面。第一，難在從“關(guān)系”的視角研究數(shù)，在教學(xué)本課之前學(xué)生都是獨立地研究整數(shù)，而“因數(shù)”是對兩個或幾個整數(shù)之間“特殊”關(guān)系的研究，這種研究視角的改變造成了學(xué)生認(rèn)知的困難；第二，難在形成對“方法”的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識，雖然學(xué)生“找到因數(shù)”并不難，但有序、全面地找因數(shù)，并理解這樣做的道理是存在困難的。然而這種理解又是非常有必要的，能為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)。陳老師通過深入分析學(xué)生的認(rèn)知需求，立足于對教材內(nèi)容的活化與開發(fā)，將“認(rèn)識因數(shù)”單獨進行教學(xué)，這便可以有更充分的時間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷感悟的過程，突破認(rèn)知難點，進而建立概念，掌握方法。

課堂上，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，借助多種直觀材料，層層深入地認(rèn)識并理解數(shù)學(xué)概念、并在主動思考的過程中探尋方法?！爸庇^”起到了積極的促進作用，讓數(shù)學(xué)概念“更易于理解”，讓數(shù)學(xué)思考“更有方法”，讓數(shù)學(xué)變得“更容易學(xué)”，創(chuàng)造更適合兒童的數(shù)學(xué)教育。

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