“數(shù)與代數(shù)”概念教學(xué)策略探索與實(shí)踐

華中科技大學(xué)附屬小學(xué)課題組

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的前提。因此，探究有效的概念教學(xué)方式應(yīng)受到重視。

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵非常豐富。有些概念處于核心位置，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯(lián)系；有些概念相互關(guān)聯(lián)、前后承接，需要彼此比較和辨析；有些概念也并不僅僅用文字表征，圖形、符號(hào)、模型等都可能更貼近本質(zhì)。概念的教學(xué)如果只靠講授和練習(xí)，很容易使學(xué)生“依葫蘆畫(huà)瓢”、思維僵化。

在課題研究過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念的掌握，主要是通過(guò)概念形成和概念同化這兩個(gè)基本途徑來(lái)建構(gòu)。需要指出的是：這兩種概念形成過(guò)程是根據(jù)數(shù)學(xué)概念自身特點(diǎn)進(jìn)行合理運(yùn)用的，但概念形成和概念同化都需要內(nèi)部和外部?jī)煞矫娴臈l件，具體見(jiàn)下表。

[概念形成和概念同化的基本過(guò)程＼&＼&概念形成＼&概念同化＼&基

本

過(guò)

程＼&①感知具體對(duì)象階段；

②嘗試建立表象階段；

③抽象本質(zhì)屬性階段；

④符號(hào)表征階段；

⑤概念的運(yùn)用介紹。＼&①喚起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念；

②進(jìn)一步抽象形成新概念；

③分離新概念的關(guān)鍵屬性。＼&內(nèi)部

條件＼&學(xué)生積極地對(duì)概念的正反例證進(jìn)行辨析。＼&學(xué)生具備有意義的意向和相應(yīng)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。＼&外部

條件＼&教師必須對(duì)學(xué)生提出的概念的本質(zhì)屬性作出肯定或否定的反應(yīng)，學(xué)生通過(guò)對(duì)外界的肯定或否定反應(yīng)所獲得的反饋信息不斷進(jìn)行選擇，從而概括出概念的本質(zhì)屬性。＼&新學(xué)習(xí)的概念必須與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某些概念或表象有著密切的聯(lián)系。＼&]

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)通常分為引入概念、形成概念、鞏固與應(yīng)用概念三個(gè)階段，但由于概念自身的特點(diǎn)、學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)等許多因素影響，每個(gè)階段的有效教學(xué)策略也不盡相同。

一、“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域概念有效教學(xué)的引入策略

1.在現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境中，引入概念。

在本領(lǐng)域的概念中，有些概念與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切，我們可以在現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境中，引入概念。豐富的現(xiàn)實(shí)情境不僅能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，而且還有助于學(xué)生主動(dòng)的觀(guān)察和積極思考，還有利于培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察和思考，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題的能力。如學(xué)生在三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，是從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的數(shù)概念的一次擴(kuò)展，因此要利用學(xué)生熟悉的生活情境幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。教材上提供了一個(gè)學(xué)生和教師在公園里玩耍、野餐的情境圖，圖中有許多分?jǐn)?shù)的例子，如蘋(píng)果一人一半，一個(gè)西瓜平均分成了8塊，一個(gè)月餅平分成了兩塊等許多“平均分”的生活原型。通過(guò)以上素材，可以使學(xué)生看到生活中把一個(gè)物體平分成若干份的現(xiàn)象到處存在，認(rèn)識(shí)到產(chǎn)生分?jǐn)?shù)的必要性。

2.在學(xué)生已有概念的基礎(chǔ)上，引入新概念。

數(shù)學(xué)具有完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，許多知識(shí)之間有著密切的聯(lián)系。本領(lǐng)域的概念中，許多概念聯(lián)系十分密切，如“數(shù)的整除”這部分內(nèi)容中許多概念內(nèi)在聯(lián)系密切，而且它們都是基于“整除”的概念而產(chǎn)生的。因此，在學(xué)生已有概念的基礎(chǔ)上，引入新概念是本領(lǐng)域概念引入的較為常見(jiàn)的策略。如學(xué)生在學(xué)習(xí)《認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)》時(shí)，是通過(guò)“找出1-20各數(shù)的因數(shù)，看看它們的因數(shù)的個(gè)數(shù)有什么規(guī)律”的過(guò)程，來(lái)發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的特點(diǎn)的；又如學(xué)生在學(xué)習(xí)《認(rèn)識(shí)乘法》時(shí)，是通過(guò)發(fā)現(xiàn)“加數(shù)相同”加法算式來(lái)引入的。這樣的引入方式，學(xué)生已有概念不僅能構(gòu)成他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，同時(shí)也有利于形成數(shù)學(xué)概念體系。

3.在學(xué)生具體計(jì)算的基礎(chǔ)上，引入概念。

在本領(lǐng)域的概念中，有部分概念是基于具體計(jì)算環(huán)境產(chǎn)生的概念，如余數(shù)、近似數(shù)、循環(huán)小數(shù)以及方程的解等概念。這些概念的引入方式需要結(jié)合它們的產(chǎn)生背景，也就是在學(xué)生具體計(jì)算的基礎(chǔ)上，引入概念。如五年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生分組計(jì)算“1÷4、1.7÷1.6、28÷18和78.6÷11”四道計(jì)算題，在計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“1÷4=0.25、1.7÷1.6=1.0625、28÷18=1.5555……、78.6÷11=7.1454545……”進(jìn)而借助“28÷18、78.6÷11”理解循環(huán)小數(shù)的含義。這樣有助于讓學(xué)生在計(jì)算的基礎(chǔ)上經(jīng)歷相關(guān)概念的形成過(guò)程，更好認(rèn)識(shí)這些概念的特征。

4.在數(shù)學(xué)文化的傳播和介紹中，引入概念。

在本領(lǐng)域的概念中，少數(shù)概念在現(xiàn)實(shí)生活難以找到原型，還有些概念有一定的文化背景。因此，在數(shù)學(xué)文化的傳播和介紹中引入概念，可以豐富學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。如作為數(shù)學(xué)概念的因數(shù)和倍數(shù)，很難在生活實(shí)際中找到直接的運(yùn)用，怎樣讓學(xué)生體會(huì)它們產(chǎn)生的必要性呢？教學(xué)伊始，教師可以談話(huà)交流有關(guān)“哥德巴赫猜想”的知識(shí)，引出了因數(shù)和倍數(shù)，進(jìn)而揭示課題，讓學(xué)生體會(huì)到因數(shù)和倍數(shù)是以后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的必要性，既揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)性，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域概念有效教學(xué)的形成策略

1.在抽象、概括的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，建立概念。

本領(lǐng)域中，有許多概念屬于上位概念，并且采用定義的方式來(lái)呈現(xiàn)，如方程、比、比例等概念。學(xué)生在最初學(xué)習(xí)這些概念時(shí)，并不是從表述概念的意義出發(fā)，而是從直觀(guān)特征出發(fā)再通過(guò)歸納的方式而獲取其意義的表述的。因此，這些概念需要在抽象、概括的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中建立概念，基本過(guò)程是：提供具體的實(shí)例→通過(guò)比較、類(lèi)比等方法發(fā)現(xiàn)共同屬性→抽象、確定本質(zhì)屬性→形成概念。如學(xué)生在六年級(jí)學(xué)習(xí)《比例》時(shí)，教學(xué)流程如下：

①提出要求：請(qǐng)你任意選擇兩面國(guó)旗寫(xiě)出它們長(zhǎng)與寬的比，并算出比值，想一想它們之間有什么關(guān)系？

學(xué)生回答，教師板書(shū)：[5：103]=2.4：1.6

60：40=15：10或[6040=1510]

2.4：1.6=60：40 ……

②啟發(fā)思考，引導(dǎo)比較：觀(guān)察這些式子，它們有什么共同的特點(diǎn)？endprint

生1：有兩個(gè)比。（板書(shū)：兩個(gè)比）

生2：都是等式。（板書(shū)：相等）

生3：都是式子。（板書(shū)：式子）

③教師評(píng)價(jià)，引導(dǎo)概括：大家說(shuō)得真好！像這樣的式子，我們叫做比例。請(qǐng)大家議一議：什么是比例呢？

生1：有兩個(gè)比相等的等式叫比例。

生2：表示兩個(gè)比用等號(hào)連接的式子叫比例。

生3：表示兩個(gè)比相等的式子叫比例。

④師生歸納，形成概念：通過(guò)大家的交流，我們知道了像這樣表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

在比例概念建立的教學(xué)片斷中，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷了從具體到抽象的概念形成過(guò)程，對(duì)比例的本質(zhì)屬性“兩個(gè)相等的比”有了清晰的認(rèn)識(shí)后，能準(zhǔn)確地概括比例的概念。

2.在遷移、類(lèi)推的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，建立概念。

在本領(lǐng)域的概念中，有些概念與其他概念有著密切的聯(lián)系，屬于下位概念，如乘法和倍、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)等。因此，這些概念只需要在遷移、類(lèi)推的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，建立概念。如學(xué)生認(rèn)識(shí)“倍”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了乘法，而倍則是根據(jù)乘法的意義描述兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，其實(shí)質(zhì)還是表示“幾個(gè)幾”。在教學(xué)時(shí)，在初步認(rèn)識(shí)倍的含義后，需要引導(dǎo)學(xué)生遷移、類(lèi)推出用倍來(lái)描述其他數(shù)量之間的關(guān)系。

①課件展示：幾個(gè)同學(xué)正在用小棒擺圖形呢，看，小紅擺出了什么圖形，用了幾根小棒？（4根）可以說(shuō)成幾個(gè)幾？（1個(gè)4）

②接下來(lái)，小麗擺出了什么？用了幾根小棒？（2個(gè)4）

③小明擺出了什么？用了幾根小棒？（3個(gè)4）3個(gè)4也可以說(shuō)成4的3倍。

④下面物體的個(gè)數(shù)是幾個(gè)幾？也可以說(shuō)成是幾的幾倍？

（3個(gè)2，也可以說(shuō)是2的3倍。）

（5個(gè)3，也可以說(shuō)成是3的5倍。）

⑤讓我們回到小棒圖，剛才小麗擺出了2個(gè)4，也可以說(shuō)成是幾的幾倍？（4的2倍）1個(gè)4呢？（4的1倍）

在上面的教學(xué)片斷中，我們提供給學(xué)生大量熟悉的“幾個(gè)幾”素材，讓學(xué)生在新舊知識(shí)間找到合理的生長(zhǎng)點(diǎn)，順利從“幾個(gè)幾”過(guò)渡到“幾的幾倍”。

3.在概念間的對(duì)比和聯(lián)系中，建立概念體系。

為了幫助學(xué)生有效地建立概念，我們應(yīng)多次從所學(xué)數(shù)學(xué)概念出發(fā)，注重每一階段該數(shù)學(xué)概念的擴(kuò)充和發(fā)展，不斷強(qiáng)化對(duì)其的理解。加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，形成概念體系，引導(dǎo)學(xué)生分析概念的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生建立完善的概念體系。在本領(lǐng)域中，有部分概念內(nèi)在聯(lián)系十分密切，需要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)比較概念間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，幫助學(xué)生更好理解概念的本質(zhì)屬性。如六年級(jí)學(xué)習(xí)《比的意義》時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、除法和比這三個(gè)不同的概念，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的教學(xué)流程：

①引導(dǎo)思考：請(qǐng)同學(xué)們看看這張表，在15：10=1.5這個(gè)比中，這三個(gè)數(shù)分別是什么？在15÷10=1.5這個(gè)算式中，它們又分別是什么？在[1510]=1.5這個(gè)分?jǐn)?shù)中呢？請(qǐng)大家將這個(gè)表格填寫(xiě)完整。

如圖，比、分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系：

[＼&15＼&10＼&1.5＼&比 15：10=1.5＼&前項(xiàng)＼&后項(xiàng)＼&比值＼&除法 15÷10=1.5＼&被除數(shù)＼&除數(shù)＼&商＼&分?jǐn)?shù) [1510]=1.5＼&分子＼&分母＼&分?jǐn)?shù)值＼&]

②溝通關(guān)系：通過(guò)觀(guān)察、比較我們可以發(fā)現(xiàn)比、分?jǐn)?shù)和除法之間有著怎樣的聯(lián)系和區(qū)別呢？

第一次交流：比的前項(xiàng)相當(dāng)于除法的被除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子；比的后項(xiàng)相當(dāng)于除法的除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分母；比的比值相當(dāng)于除法的商、分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值；比號(hào)相當(dāng)于除號(hào)和分?jǐn)?shù)線(xiàn)。

過(guò)渡：我們知道分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)。而除法和比呢？

第二次交流：分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，除法是一種運(yùn)算，比表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。

③明確特性：比的后項(xiàng)可以是0嗎？

第三次交流：比的后項(xiàng)不能為0，這與除數(shù)不能為0和分母不能為0是一個(gè)道理！

三、“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域概念有效教學(xué)的鞏固與應(yīng)用策略

1.在概念的正、反例證辨析中，理解概念內(nèi)涵。

在數(shù)學(xué)概念建立后，及時(shí)運(yùn)用正、反例證的辨析，有助于促進(jìn)學(xué)生思考，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解。這也是概念教學(xué)的重要策略。如在學(xué)生初步建立因數(shù)和倍數(shù)概念后，可以出示一組判斷題：

①5×0.8=4，所以5和0.8是4的因數(shù)，4是5和0.8的倍數(shù)。 （ ）

②4是因數(shù)，5也是因數(shù)，20是倍數(shù)。 （ ）

③72是8的倍數(shù)。 （ ）

④18的因數(shù)只有2和9。 （ ）

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)其本質(zhì)屬性進(jìn)行變化，在與正例的比較中，以正激反，從反面突出內(nèi)涵。通過(guò)質(zhì)疑，學(xué)生發(fā)現(xiàn)因數(shù)和倍數(shù)之間是一種相互依存的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)因數(shù)和倍數(shù)的研究范圍是“整數(shù)（一般不包括0）”。

2.在概念的變式訓(xùn)練中，凸顯概念內(nèi)涵。

變式訓(xùn)練就是改變概念在最初學(xué)習(xí)時(shí)的呈現(xiàn)狀態(tài)，目的就是進(jìn)一步凸顯對(duì)象的本質(zhì)屬性和概念內(nèi)涵。當(dāng)學(xué)生面對(duì)討論對(duì)象的多種不同呈現(xiàn)狀態(tài)時(shí)，通過(guò)判斷訓(xùn)練來(lái)加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，鞏固對(duì)概念的掌握。在上面的判斷題中“72是8的倍數(shù)”，改變了教材中根據(jù)乘法算式，描述因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的“標(biāo)準(zhǔn)”說(shuō)法，直接讓學(xué)生思考72和8之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生從乘法和除法兩個(gè)角度去思考，發(fā)現(xiàn)乘法和除法之間是一種互逆的關(guān)系，但都可以研究因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。究其原因是因?yàn)?能整除72，這種“整除”的意識(shí)又一次得到了滲透。

3.在概念的運(yùn)用和反思中，豐富概念外延。

概念教學(xué)中，不僅要重視由具體到抽象的思維過(guò)程，更要重視由抽象到具體的運(yùn)用過(guò)程，即將抽象的概念在思維中具體化。這也是激發(fā)學(xué)生深入思考、綜合運(yùn)用、培養(yǎng)思維能力的重要手段。

例如，五年級(jí)教材在教學(xué)“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念后，安排了例1（找因數(shù)）和例2（找倍數(shù)）兩題，不僅幫助學(xué)生加深了對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的理解，還探索了找因數(shù)和倍數(shù)的方法，而且引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、思考、歸納出因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，豐富了數(shù)學(xué)概念的外延。

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中概念教學(xué)策略的研究，還有很多值得我們?nèi)ヌ剿?、總結(jié)和反思的地方。我們將為此作更多探索和實(shí)踐為數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的教學(xué)策略研究提供可借鑒的研究方法和操作策略。

注：本文系湖北省基礎(chǔ)教育研究課題《“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中概念教學(xué)有效性的案例研究》（項(xiàng)目編號(hào)2010年C0018號(hào)）階段性成果。執(zhí)筆：馮勝、李偉，指導(dǎo)：馮回祥、楊道吉。

生1：有兩個(gè)比。（板書(shū)：兩個(gè)比）

生2：都是等式。（板書(shū)：相等）

生3：都是式子。（板書(shū)：式子）

③教師評(píng)價(jià)，引導(dǎo)概括：大家說(shuō)得真好！像這樣的式子，我們叫做比例。請(qǐng)大家議一議：什么是比例呢？

生1：有兩個(gè)比相等的等式叫比例。

生2：表示兩個(gè)比用等號(hào)連接的式子叫比例。

生3：表示兩個(gè)比相等的式子叫比例。

④師生歸納，形成概念：通過(guò)大家的交流，我們知道了像這樣表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

在比例概念建立的教學(xué)片斷中，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷了從具體到抽象的概念形成過(guò)程，對(duì)比例的本質(zhì)屬性“兩個(gè)相等的比”有了清晰的認(rèn)識(shí)后，能準(zhǔn)確地概括比例的概念。

2.在遷移、類(lèi)推的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，建立概念。

在本領(lǐng)域的概念中，有些概念與其他概念有著密切的聯(lián)系，屬于下位概念，如乘法和倍、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)等。因此，這些概念只需要在遷移、類(lèi)推的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，建立概念。如學(xué)生認(rèn)識(shí)“倍”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了乘法，而倍則是根據(jù)乘法的意義描述兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，其實(shí)質(zhì)還是表示“幾個(gè)幾”。在教學(xué)時(shí)，在初步認(rèn)識(shí)倍的含義后，需要引導(dǎo)學(xué)生遷移、類(lèi)推出用倍來(lái)描述其他數(shù)量之間的關(guān)系。

①課件展示：幾個(gè)同學(xué)正在用小棒擺圖形呢，看，小紅擺出了什么圖形，用了幾根小棒？（4根）可以說(shuō)成幾個(gè)幾？（1個(gè)4）

②接下來(lái)，小麗擺出了什么？用了幾根小棒？（2個(gè)4）

③小明擺出了什么？用了幾根小棒？（3個(gè)4）3個(gè)4也可以說(shuō)成4的3倍。

④下面物體的個(gè)數(shù)是幾個(gè)幾？也可以說(shuō)成是幾的幾倍？

（3個(gè)2，也可以說(shuō)是2的3倍。）

（5個(gè)3，也可以說(shuō)成是3的5倍。）

⑤讓我們回到小棒圖，剛才小麗擺出了2個(gè)4，也可以說(shuō)成是幾的幾倍？（4的2倍）1個(gè)4呢？（4的1倍）

在上面的教學(xué)片斷中，我們提供給學(xué)生大量熟悉的“幾個(gè)幾”素材，讓學(xué)生在新舊知識(shí)間找到合理的生長(zhǎng)點(diǎn)，順利從“幾個(gè)幾”過(guò)渡到“幾的幾倍”。

3.在概念間的對(duì)比和聯(lián)系中，建立概念體系。

為了幫助學(xué)生有效地建立概念，我們應(yīng)多次從所學(xué)數(shù)學(xué)概念出發(fā)，注重每一階段該數(shù)學(xué)概念的擴(kuò)充和發(fā)展，不斷強(qiáng)化對(duì)其的理解。加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，形成概念體系，引導(dǎo)學(xué)生分析概念的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生建立完善的概念體系。在本領(lǐng)域中，有部分概念內(nèi)在聯(lián)系十分密切，需要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)比較概念間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，幫助學(xué)生更好理解概念的本質(zhì)屬性。如六年級(jí)學(xué)習(xí)《比的意義》時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、除法和比這三個(gè)不同的概念，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的教學(xué)流程：

①引導(dǎo)思考：請(qǐng)同學(xué)們看看這張表，在15：10=1.5這個(gè)比中，這三個(gè)數(shù)分別是什么？在15÷10=1.5這個(gè)算式中，它們又分別是什么？在[1510]=1.5這個(gè)分?jǐn)?shù)中呢？請(qǐng)大家將這個(gè)表格填寫(xiě)完整。

如圖，比、分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系：

[＼&15＼&10＼&1.5＼&比 15：10=1.5＼&前項(xiàng)＼&后項(xiàng)＼&比值＼&除法 15÷10=1.5＼&被除數(shù)＼&除數(shù)＼&商＼&分?jǐn)?shù) [1510]=1.5＼&分子＼&分母＼&分?jǐn)?shù)值＼&]

②溝通關(guān)系：通過(guò)觀(guān)察、比較我們可以發(fā)現(xiàn)比、分?jǐn)?shù)和除法之間有著怎樣的聯(lián)系和區(qū)別呢？

第一次交流：比的前項(xiàng)相當(dāng)于除法的被除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子；比的后項(xiàng)相當(dāng)于除法的除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分母；比的比值相當(dāng)于除法的商、分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值；比號(hào)相當(dāng)于除號(hào)和分?jǐn)?shù)線(xiàn)。

過(guò)渡：我們知道分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)。而除法和比呢？

第二次交流：分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，除法是一種運(yùn)算，比表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。

③明確特性：比的后項(xiàng)可以是0嗎？

第三次交流：比的后項(xiàng)不能為0，這與除數(shù)不能為0和分母不能為0是一個(gè)道理！

三、“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域概念有效教學(xué)的鞏固與應(yīng)用策略

1.在概念的正、反例證辨析中，理解概念內(nèi)涵。

在數(shù)學(xué)概念建立后，及時(shí)運(yùn)用正、反例證的辨析，有助于促進(jìn)學(xué)生思考，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解。這也是概念教學(xué)的重要策略。如在學(xué)生初步建立因數(shù)和倍數(shù)概念后，可以出示一組判斷題：

①5×0.8=4，所以5和0.8是4的因數(shù)，4是5和0.8的倍數(shù)。 （ ）

②4是因數(shù)，5也是因數(shù)，20是倍數(shù)。 （ ）

③72是8的倍數(shù)。 （ ）

④18的因數(shù)只有2和9。 （ ）

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)其本質(zhì)屬性進(jìn)行變化，在與正例的比較中，以正激反，從反面突出內(nèi)涵。通過(guò)質(zhì)疑，學(xué)生發(fā)現(xiàn)因數(shù)和倍數(shù)之間是一種相互依存的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)因數(shù)和倍數(shù)的研究范圍是“整數(shù)（一般不包括0）”。

2.在概念的變式訓(xùn)練中，凸顯概念內(nèi)涵。

變式訓(xùn)練就是改變概念在最初學(xué)習(xí)時(shí)的呈現(xiàn)狀態(tài)，目的就是進(jìn)一步凸顯對(duì)象的本質(zhì)屬性和概念內(nèi)涵。當(dāng)學(xué)生面對(duì)討論對(duì)象的多種不同呈現(xiàn)狀態(tài)時(shí)，通過(guò)判斷訓(xùn)練來(lái)加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，鞏固對(duì)概念的掌握。在上面的判斷題中“72是8的倍數(shù)”，改變了教材中根據(jù)乘法算式，描述因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的“標(biāo)準(zhǔn)”說(shuō)法，直接讓學(xué)生思考72和8之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生從乘法和除法兩個(gè)角度去思考，發(fā)現(xiàn)乘法和除法之間是一種互逆的關(guān)系，但都可以研究因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。究其原因是因?yàn)?能整除72，這種“整除”的意識(shí)又一次得到了滲透。

3.在概念的運(yùn)用和反思中，豐富概念外延。

概念教學(xué)中，不僅要重視由具體到抽象的思維過(guò)程，更要重視由抽象到具體的運(yùn)用過(guò)程，即將抽象的概念在思維中具體化。這也是激發(fā)學(xué)生深入思考、綜合運(yùn)用、培養(yǎng)思維能力的重要手段。

例如，五年級(jí)教材在教學(xué)“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念后，安排了例1（找因數(shù)）和例2（找倍數(shù)）兩題，不僅幫助學(xué)生加深了對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的理解，還探索了找因數(shù)和倍數(shù)的方法，而且引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、思考、歸納出因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，豐富了數(shù)學(xué)概念的外延。

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中概念教學(xué)策略的研究，還有很多值得我們?nèi)ヌ剿?、總結(jié)和反思的地方。我們將為此作更多探索和實(shí)踐為數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的教學(xué)策略研究提供可借鑒的研究方法和操作策略。

注：本文系湖北省基礎(chǔ)教育研究課題《“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中概念教學(xué)有效性的案例研究》（項(xiàng)目編號(hào)2010年C0018號(hào)）階段性成果。執(zhí)筆：馮勝、李偉，指導(dǎo)：馮回祥、楊道吉。

生1：有兩個(gè)比。（板書(shū)：兩個(gè)比）

生2：都是等式。（板書(shū)：相等）

生3：都是式子。（板書(shū)：式子）

③教師評(píng)價(jià)，引導(dǎo)概括：大家說(shuō)得真好！像這樣的式子，我們叫做比例。請(qǐng)大家議一議：什么是比例呢？

生1：有兩個(gè)比相等的等式叫比例。

生2：表示兩個(gè)比用等號(hào)連接的式子叫比例。

生3：表示兩個(gè)比相等的式子叫比例。

④師生歸納，形成概念：通過(guò)大家的交流，我們知道了像這樣表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

在比例概念建立的教學(xué)片斷中，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷了從具體到抽象的概念形成過(guò)程，對(duì)比例的本質(zhì)屬性“兩個(gè)相等的比”有了清晰的認(rèn)識(shí)后，能準(zhǔn)確地概括比例的概念。

2.在遷移、類(lèi)推的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，建立概念。

在本領(lǐng)域的概念中，有些概念與其他概念有著密切的聯(lián)系，屬于下位概念，如乘法和倍、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)等。因此，這些概念只需要在遷移、類(lèi)推的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，建立概念。如學(xué)生認(rèn)識(shí)“倍”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了乘法，而倍則是根據(jù)乘法的意義描述兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，其實(shí)質(zhì)還是表示“幾個(gè)幾”。在教學(xué)時(shí)，在初步認(rèn)識(shí)倍的含義后，需要引導(dǎo)學(xué)生遷移、類(lèi)推出用倍來(lái)描述其他數(shù)量之間的關(guān)系。

①課件展示：幾個(gè)同學(xué)正在用小棒擺圖形呢，看，小紅擺出了什么圖形，用了幾根小棒？（4根）可以說(shuō)成幾個(gè)幾？（1個(gè)4）

②接下來(lái)，小麗擺出了什么？用了幾根小棒？（2個(gè)4）

③小明擺出了什么？用了幾根小棒？（3個(gè)4）3個(gè)4也可以說(shuō)成4的3倍。

④下面物體的個(gè)數(shù)是幾個(gè)幾？也可以說(shuō)成是幾的幾倍？

（3個(gè)2，也可以說(shuō)是2的3倍。）

（5個(gè)3，也可以說(shuō)成是3的5倍。）

⑤讓我們回到小棒圖，剛才小麗擺出了2個(gè)4，也可以說(shuō)成是幾的幾倍？（4的2倍）1個(gè)4呢？（4的1倍）

在上面的教學(xué)片斷中，我們提供給學(xué)生大量熟悉的“幾個(gè)幾”素材，讓學(xué)生在新舊知識(shí)間找到合理的生長(zhǎng)點(diǎn)，順利從“幾個(gè)幾”過(guò)渡到“幾的幾倍”。

3.在概念間的對(duì)比和聯(lián)系中，建立概念體系。

為了幫助學(xué)生有效地建立概念，我們應(yīng)多次從所學(xué)數(shù)學(xué)概念出發(fā)，注重每一階段該數(shù)學(xué)概念的擴(kuò)充和發(fā)展，不斷強(qiáng)化對(duì)其的理解。加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，形成概念體系，引導(dǎo)學(xué)生分析概念的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生建立完善的概念體系。在本領(lǐng)域中，有部分概念內(nèi)在聯(lián)系十分密切，需要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)比較概念間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，幫助學(xué)生更好理解概念的本質(zhì)屬性。如六年級(jí)學(xué)習(xí)《比的意義》時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、除法和比這三個(gè)不同的概念，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的教學(xué)流程：

①引導(dǎo)思考：請(qǐng)同學(xué)們看看這張表，在15：10=1.5這個(gè)比中，這三個(gè)數(shù)分別是什么？在15÷10=1.5這個(gè)算式中，它們又分別是什么？在[1510]=1.5這個(gè)分?jǐn)?shù)中呢？請(qǐng)大家將這個(gè)表格填寫(xiě)完整。

如圖，比、分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系：

[＼&15＼&10＼&1.5＼&比 15：10=1.5＼&前項(xiàng)＼&后項(xiàng)＼&比值＼&除法 15÷10=1.5＼&被除數(shù)＼&除數(shù)＼&商＼&分?jǐn)?shù) [1510]=1.5＼&分子＼&分母＼&分?jǐn)?shù)值＼&]

②溝通關(guān)系：通過(guò)觀(guān)察、比較我們可以發(fā)現(xiàn)比、分?jǐn)?shù)和除法之間有著怎樣的聯(lián)系和區(qū)別呢？

第一次交流：比的前項(xiàng)相當(dāng)于除法的被除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子；比的后項(xiàng)相當(dāng)于除法的除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分母；比的比值相當(dāng)于除法的商、分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值；比號(hào)相當(dāng)于除號(hào)和分?jǐn)?shù)線(xiàn)。

過(guò)渡：我們知道分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)。而除法和比呢？

第二次交流：分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，除法是一種運(yùn)算，比表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。

③明確特性：比的后項(xiàng)可以是0嗎？

第三次交流：比的后項(xiàng)不能為0，這與除數(shù)不能為0和分母不能為0是一個(gè)道理！

三、“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域概念有效教學(xué)的鞏固與應(yīng)用策略

1.在概念的正、反例證辨析中，理解概念內(nèi)涵。

在數(shù)學(xué)概念建立后，及時(shí)運(yùn)用正、反例證的辨析，有助于促進(jìn)學(xué)生思考，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解。這也是概念教學(xué)的重要策略。如在學(xué)生初步建立因數(shù)和倍數(shù)概念后，可以出示一組判斷題：

①5×0.8=4，所以5和0.8是4的因數(shù)，4是5和0.8的倍數(shù)。 （ ）

②4是因數(shù)，5也是因數(shù)，20是倍數(shù)。 （ ）

③72是8的倍數(shù)。 （ ）

④18的因數(shù)只有2和9。 （ ）

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)其本質(zhì)屬性進(jìn)行變化，在與正例的比較中，以正激反，從反面突出內(nèi)涵。通過(guò)質(zhì)疑，學(xué)生發(fā)現(xiàn)因數(shù)和倍數(shù)之間是一種相互依存的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)因數(shù)和倍數(shù)的研究范圍是“整數(shù)（一般不包括0）”。

2.在概念的變式訓(xùn)練中，凸顯概念內(nèi)涵。

變式訓(xùn)練就是改變概念在最初學(xué)習(xí)時(shí)的呈現(xiàn)狀態(tài)，目的就是進(jìn)一步凸顯對(duì)象的本質(zhì)屬性和概念內(nèi)涵。當(dāng)學(xué)生面對(duì)討論對(duì)象的多種不同呈現(xiàn)狀態(tài)時(shí)，通過(guò)判斷訓(xùn)練來(lái)加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，鞏固對(duì)概念的掌握。在上面的判斷題中“72是8的倍數(shù)”，改變了教材中根據(jù)乘法算式，描述因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的“標(biāo)準(zhǔn)”說(shuō)法，直接讓學(xué)生思考72和8之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生從乘法和除法兩個(gè)角度去思考，發(fā)現(xiàn)乘法和除法之間是一種互逆的關(guān)系，但都可以研究因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。究其原因是因?yàn)?能整除72，這種“整除”的意識(shí)又一次得到了滲透。

3.在概念的運(yùn)用和反思中，豐富概念外延。

概念教學(xué)中，不僅要重視由具體到抽象的思維過(guò)程，更要重視由抽象到具體的運(yùn)用過(guò)程，即將抽象的概念在思維中具體化。這也是激發(fā)學(xué)生深入思考、綜合運(yùn)用、培養(yǎng)思維能力的重要手段。

例如，五年級(jí)教材在教學(xué)“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念后，安排了例1（找因數(shù)）和例2（找倍數(shù)）兩題，不僅幫助學(xué)生加深了對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的理解，還探索了找因數(shù)和倍數(shù)的方法，而且引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、思考、歸納出因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，豐富了數(shù)學(xué)概念的外延。

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中概念教學(xué)策略的研究，還有很多值得我們?nèi)ヌ剿?、總結(jié)和反思的地方。我們將為此作更多探索和實(shí)踐為數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的教學(xué)策略研究提供可借鑒的研究方法和操作策略。

注：本文系湖北省基礎(chǔ)教育研究課題《“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中概念教學(xué)有效性的案例研究》（項(xiàng)目編號(hào)2010年C0018號(hào)）階段性成果。執(zhí)筆：馮勝、李偉，指導(dǎo)：馮回祥、楊道吉。