多次隨機(jī)載荷下結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性預(yù)測(cè)的概率密度演化方法

方永鋒，陳建軍，閻 彬，曹鴻鈞

（1畢節(jié)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700；2西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710071）

多次隨機(jī)載荷下結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性預(yù)測(cè)的概率密度演化方法

方永鋒1，陳建軍2，閻 彬2，曹鴻鈞2

（1畢節(jié)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700；2西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710071）

文中給出了多次隨機(jī)載荷下結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性預(yù)測(cè)的概率密度演化方法。首先利用一次作用載荷的概率分布函數(shù)，求得多次作用載荷的概率密度函數(shù)。在考慮結(jié)構(gòu)承受多次隨機(jī)載荷作用下結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化和不退化的情況下，根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論和概率密度演化方法，建立了結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠度預(yù)測(cè)模型。應(yīng)用向前差分方法求解該模型中的概率密度演化微分方程，獲得任意時(shí)刻結(jié)構(gòu)強(qiáng)度裕度的概率密度函數(shù)，進(jìn)而再利用積分方法獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠度的預(yù)測(cè)結(jié)果。最后通過(guò)兩個(gè)算例表明，該方法實(shí)用易行，且具有較高的計(jì)算精度。

概率密度演化；隨機(jī)載荷；結(jié)構(gòu)；動(dòng)態(tài)可靠性；模型

1 引 言

結(jié)構(gòu)的可靠性是評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)性能的重要指標(biāo)之一。關(guān)于結(jié)構(gòu)的經(jīng)典可靠性研究已有很多文獻(xiàn)進(jìn)行了描述[1-3]，主要的方法有一次二階矩方法（First Order Second Moment Method，F(xiàn)OSMM）、蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method，MCM）等。文獻(xiàn)[4-7]研究了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性問(wèn)題，主要是針對(duì)結(jié)構(gòu)承受一次動(dòng)載荷進(jìn)行可靠性分析，但整個(gè)分析過(guò)程未考慮結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與時(shí)間的關(guān)系。在某些實(shí)際問(wèn)題中，結(jié)構(gòu)在其服役期內(nèi)不但承受的隨機(jī)載荷是時(shí)變的，且結(jié)構(gòu)本身因老化、腐蝕、磨損、振動(dòng)松弛等多種原因，使其強(qiáng)度值也隨時(shí)間退化。文獻(xiàn)[8-9]研究了機(jī)械零部件與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)可靠性問(wèn)題，表明零件與系統(tǒng)的失效率也是滿足浴盆曲線的。文獻(xiàn)[10]給出了一種考慮共同載荷下結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠性預(yù)測(cè)模型，該模型比較實(shí)用可行，但利用一次二階矩方法來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度，當(dāng)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和強(qiáng)度兩隨機(jī)變量之一不服從正態(tài)分布時(shí)，所得的結(jié)構(gòu)可靠度為近似值。多年來(lái)，人們一直在探索對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性精確計(jì)算的方法，而完全概率分析方法則提供了一種新的思路。該方法的基本作法是根據(jù)激勵(lì)隨機(jī)變量的分布概型和系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的傳遞函數(shù)關(guān)系，利用隨機(jī)數(shù)學(xué)中的相關(guān)方法，設(shè)法獲得結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)量完整的概率信息，包括響應(yīng)量的概率分布函數(shù)和數(shù)字特征，再利用可靠性分析中的積分方法，獲得結(jié)構(gòu)可靠度的準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)果。近年來(lái)出現(xiàn)了利用概率密度演化方法（Probability Density Evolution Method，PDEM）研究結(jié)構(gòu)的靜力和動(dòng)力可靠性問(wèn)題[11-13]，該方法能夠全面地反映隨機(jī)模型的概率信息，可得到隨機(jī)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力響應(yīng)量的概率密度函數(shù)。

本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，在已知載荷應(yīng)力與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的概率分布函數(shù)的前提下，根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，利用概率密度演化方法，建立了結(jié)構(gòu)承受多次隨機(jī)載荷且結(jié)構(gòu)強(qiáng)度隨時(shí)間不退化和退化的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)完全概率的可靠性預(yù)測(cè)模型，對(duì)該模型中的概率守恒微分方程利用向前差分方法求解。最后通過(guò)算例說(shuō)明文中模型的合理性和方法的可行性與精確性。

2 結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性的概率密度演化方程

2.1 強(qiáng)度不退化時(shí)的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性的概率密度演化方程

考慮結(jié)構(gòu)在其服役期內(nèi)，承受多次隨機(jī)載荷的作用，但結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度不退化。記一次載荷為S，與它對(duì)應(yīng)的應(yīng)力隨機(jī)變量為s，s的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為G（s）和g（s）。當(dāng)隨機(jī)載荷S對(duì)結(jié)構(gòu)作用n次時(shí)，相當(dāng)于從載荷母體中抽取了n個(gè)載荷樣本，若結(jié)構(gòu)在這n次隨機(jī)載荷中的最大載荷Smax作用下不失效，顯然結(jié)構(gòu)在這n次載荷作用下也不會(huì)失效。為此，從偏于安全的觀點(diǎn)，可用載荷樣本中最大載荷作用n次下結(jié)構(gòu)的可靠度作為n次隨機(jī)載荷作用下結(jié)構(gòu)的可靠度，即將n次最大載荷作為結(jié)構(gòu)可靠性預(yù)測(cè)的等效載荷。

隨機(jī)載荷作用n次時(shí)的等效載荷Smax的對(duì)應(yīng)的應(yīng)力隨機(jī)變量smax的概率分布函數(shù)為：

通常載荷的發(fā)生是服從參數(shù)為λ的Possion分布的[9]，由此則可得在t時(shí)刻應(yīng)力的概率分布函數(shù)為：

式中：N（t）為時(shí)段 [0,t]內(nèi)載荷出現(xiàn)的總次數(shù)，N（0）為在0初始時(shí)刻載荷出現(xiàn)的次數(shù)，n為從0到t時(shí)刻載荷發(fā)生的次數(shù)。

由（2）式可得在t時(shí)刻應(yīng)力對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為：

由于結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度隨機(jī)變量δ不隨時(shí)間退化，可設(shè)δ的概率密度函數(shù)為f（δ）且已知，則根據(jù)應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論，可得結(jié)構(gòu)在多次隨機(jī)載荷作用下其強(qiáng)度裕度隨機(jī)變量r（t）=δ-smax（t）的概率密度函數(shù)為：

將（4）中的變量 smax換為 s（）t，則該式可表為：

記結(jié)構(gòu)在多次隨機(jī)載荷作用下強(qiáng)度裕度的概率密度函數(shù)為：

由于在結(jié)構(gòu)服役過(guò)程中，無(wú)新的隨機(jī)因素加入，即沒(méi)有新的概率源產(chǎn)生，故p δ,t0（）滿足概率守恒原理，即滿足如下微分方程：

該方程為一維經(jīng)典的Liouville方程，其中a（）τ為Dirac函數(shù)，方程的初始條件為：

求解由（7）式和（8）式給出的偏微分方程初值問(wèn)題，即可獲得結(jié)構(gòu)強(qiáng)度裕度r（t）的概率密度函數(shù)p（δ,t），進(jìn)而再利用積分方法可得結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠度R（t）的精確計(jì)算表達(dá)式為：

上式即為結(jié)構(gòu)在多次隨機(jī)載荷作用且強(qiáng)度不退化情況下、在任意t時(shí)刻的動(dòng)態(tài)可靠度預(yù)測(cè)模型。

2.2 強(qiáng)度退化時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性的概率密度演化方程

考慮結(jié)構(gòu)在其服役期內(nèi)承受多次隨機(jī)載荷的作用，且結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度隨機(jī)變量將隨時(shí)間而退化，對(duì)于結(jié)構(gòu)在 τ時(shí)刻其剩余強(qiáng)度 δ（τ）的概率分布函數(shù)H[ δ（ τ ）]可以 Weibull分布來(lái)描述[15]，即：

式中：β（τ）、η（τ）和 γ（τ）為實(shí)時(shí)的Weibull分布參數(shù)，τ為結(jié)構(gòu)在服役期T內(nèi)的工作時(shí)間。

由上式，可得 δ（τ ）的概率密度函數(shù)h[ δ（ τ ）]為：

同前處理，由（5）式和（11）式可導(dǎo)得在多次隨機(jī)載荷作用下且結(jié)構(gòu)強(qiáng)度隨時(shí)間退化時(shí)，強(qiáng)度裕度隨機(jī)變量r（t）=δ（t）-smax（t）的概率密度函數(shù)為：

記在多次隨機(jī)載荷作用下且結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化時(shí)強(qiáng)度裕度的概率密度函數(shù)為：

由于在結(jié)構(gòu)服役過(guò)程中，無(wú)新的概率源產(chǎn)生，故q（ δ（ 0 ）,t0）滿足概率守恒原理，即滿足如下Liouville微分方程：

該方程對(duì)應(yīng)的初始條件為：

求解由（14）式和（15）式給出的偏微分方程初值問(wèn)題，即可獲得結(jié)構(gòu)強(qiáng)度裕度r（）t的概率密度函數(shù) q（ δ（ τ ）,t），進(jìn)而利用積分方法可得結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠度R（t）的精確計(jì)算表達(dá)式為：

上式即為結(jié)構(gòu)在多次隨機(jī)載荷作用下且強(qiáng)度退化、在任意t時(shí)刻的動(dòng)態(tài)可靠度預(yù)測(cè)模型。

3 概率密度演化方程的求解

由前建立的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠度預(yù)測(cè)模型即（9）式和（16）式顯見(jiàn)，問(wèn)題求解的關(guān)鍵須首先求解由概率密度演化微分方程（7）和（14）給出的偏微分方程初值問(wèn)題。此類方程的初值問(wèn)題在理論上存在著形式上的解析解[8]，但在實(shí)際計(jì)算中，該形式上的解析解通常是無(wú)法獲得的，需利用各種數(shù)值方法求解。本文則應(yīng)用了向前差分格式的數(shù)值算法，其算法的主要步驟如下：

Step1.對(duì)變量和初始條件進(jìn)行離散，初始條件（8）和（15）被分別離散化為：

其中：δi=i·Δδ，Δδ為 δ方向的劃分；δi（t）=i·Δδ（t），Δδ（t）為 δ（t ）方向上的劃分，i＝0，1，2，…。

對(duì)時(shí)間 t進(jìn)行離散，tj=j·Δt，Δt為 t方向的劃分， j＝0，1，2，…。

令網(wǎng)格比 λ1=Δt/Δδ，λ2=Δt/Δδ（τ），為了保證計(jì)算的收斂和穩(wěn)定，要求：0＜λ1a（t ），λ2a（t）≤1。

Step2.對(duì)方程（7）和（14），分別利用如下的向前差分遞推公式進(jìn)行計(jì)算：

通過(guò)上述過(guò)程的求解，即可獲得滿足方程（7）和（14）的解，即結(jié)構(gòu)強(qiáng)度裕度隨機(jī)變量r（t）隨時(shí)間演化的概率密度函數(shù)。

4 算 例

例1.某減速箱中的一軸，考慮其強(qiáng)度δ不退化的情況。設(shè)：δ服從均值為110 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為15 MPa的正態(tài)分布。取λ=1，工作應(yīng)力s服從均值為50 MPa、標(biāo)準(zhǔn)差為15 MPa的正態(tài)分布。在載荷作用多次時(shí)，取 λ1a（t）=0.5。

求解本文導(dǎo)出的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不退化情況下的強(qiáng)度裕度r（t）的概率密度演化方程（7），分別獲得了在t=0，25，100 單位時(shí)間時(shí) r（t）的概率密度函數(shù)曲線見(jiàn)圖1。從圖中可見(jiàn)，文中方法可以獲得在多次隨機(jī)載荷下結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不退化、在任意時(shí)刻的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度裕度r（t）的概率密度函數(shù)；在t=0時(shí)，r（t）的概率密度函數(shù)為正態(tài)分布，而在演化的過(guò)程中，如在t=25，t=100單位時(shí)間時(shí)，r（t）概率密度將不再為正態(tài)分布。這說(shuō)明概率密度演化方法能準(zhǔn)確刻畫結(jié)構(gòu)在多次載荷作用下的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不退化時(shí)的可靠度實(shí)時(shí)變化情況。由于能夠得到任意時(shí)刻r（t）的概率密度曲線，從而可得到r（t）在時(shí)域上的全部概率信息。

為進(jìn)行對(duì)比，表1中同時(shí)給出了利用本文方法PDEM以及FOSMM和MCM方法（模擬n=106次）求得的該軸在t=0，25，100單位時(shí)間對(duì)應(yīng)的可靠度預(yù)測(cè)結(jié)果。從計(jì)算結(jié)果看，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠度隨時(shí)間逐漸降低，這是因?yàn)榭紤]到載荷多次作用的緣故。

圖1 例1在t=0，25，100單位時(shí)間的概率密度Fig.1 The curves of the probability density under t=0，25，100 unit time in the example1

圖2 例2在t=0，25，100單位時(shí)間的概率密度Fig.2 The curves of the probability density under t=0，25，100 unit time in the example2

表1 例1的三種方法可靠度預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.1 The prediction results of the example1 by using three methods

表2 例2的三種方法可靠度預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.2 The prediction results of the example2 by using three methods

例2.結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)參數(shù)均同例1，但考慮結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度δ（t）隨時(shí)間退化的情況。

求解本文導(dǎo)出的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化情況下的強(qiáng)度裕度r（t）的概率密度演化方程（14），獲得在t=0，25，100 單位時(shí)間 r（t）的概率密度函數(shù)曲線見(jiàn)圖2。從圖中可見(jiàn)：隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，r（t）的概率密度曲線趨于復(fù)雜，與最初的正態(tài)分布相去甚遠(yuǎn)，故而此時(shí)利用一次二階矩方法給出的可靠度預(yù)測(cè)結(jié)果將產(chǎn)生顯著的偏差；另外，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，r（t）的概率密度函數(shù)曲線峰值降低，寬度增大，并且其漲落比隨機(jī)源的漲落顯著增強(qiáng)。這些表明：文中的方法可以給出多次隨機(jī)載荷下的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化、任意時(shí)刻的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度裕度的概率密度函數(shù)，能夠準(zhǔn)確地刻畫結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠度的實(shí)時(shí)變化情況。

為進(jìn)行對(duì)比，表2中同時(shí)給出了利用本文方法PDEM以及FOSMM和MCM方法（模擬n=106次）求得的該軸在t=0，25，100單位時(shí)間對(duì)應(yīng)的可靠度預(yù)測(cè)結(jié)果。該結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠度比例1中隨時(shí)間下降的幅度更大，即在同一時(shí)刻，考慮強(qiáng)度退化的結(jié)構(gòu)可靠度要低于強(qiáng)度不退化的結(jié)構(gòu)可靠度。

從圖1-2可見(jiàn)，利用向前差分方法求解微分方程（7）和（14），其解滿足概率密度函數(shù)的非負(fù)性、完備性（密度函數(shù)曲線在橫坐標(biāo)上所圍面積之和恒為1），表明本文方法關(guān)于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度裕度隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)演化計(jì)算方法的正確性。

從表1-2可見(jiàn)，由于強(qiáng)度裕度隨機(jī)變量r（）t在0時(shí)刻均服從正態(tài)分布，故三種方法在0時(shí)刻的可靠度預(yù)測(cè)結(jié)果均完全相同。但隨時(shí)間演化，r（）t將不再服從正態(tài)分布，但此時(shí)本文方法與MCM對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠度的預(yù)測(cè)結(jié)果基本是一致，而FOSMM的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差較大，這充分彰顯了本文方法計(jì)算結(jié)果的精確性。

5 結(jié) 論

（1）文中基于概率密度演化方法，建立了多次隨機(jī)載荷作用下結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化和不退化的動(dòng)態(tài)可靠性預(yù)測(cè)模型，能夠獲得任意時(shí)刻的應(yīng)力-強(qiáng)度兩干涉量的概率密度函數(shù)，從而可得到結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性的全部的概率信息，為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)全生命周期的可靠性提出了一種方法。

（2）利用向前差分方法求解概率密度演化微分方程，可以保證所求概率密度函數(shù)的非負(fù)性和完備性，且算法簡(jiǎn)單高效，易于編程實(shí)現(xiàn)。

（3）算例的結(jié)果表明，本文方法預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠度，實(shí)用易行且具有較高的精度。

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Probability density evolution method of the prediction model of structural reliability from the time response under several times stochastic loads

FANG Yong-feng1,CHEN Jian-jun2,YAN Bin2,CAO Hong-jun2

(1 School of Mechanical Engineering,Bijie University,Bijie 551700,China;2 Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design,Ministry of Education,Xidian University,Xi’an 710071,China)

The probability density evolution of the structural dynamic prediction models under several times random loads are presented.The probability density of several times stochastic loads can be obtained by the probability density of a time stochastic load.The prediction models of the structural reliability from the time response under several times stochastic loads with the strength degeneration and without degeneration over time are constructed by using the stress-strength interference theory and probability density evolution method.The differential equation in the models can be solved by using the forward differential method.The probability density functions of the structural strength redundancy in any time can be obtained.The structural dynamic prediction reliability can be obtained by using integral method.Finally,the two given examples show that this method is practicable,feasible and more accurately.

probability density evolution;stochastic load;structure,dynamic reliability;model

TB114.3

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.04.008

1007-7294（2014）04-0413-06

2013-07-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助（51175398）；畢節(jié)學(xué)院高層次人才科學(xué)研究項(xiàng)目（院科合字G2013007號(hào)）資助

方永鋒（1975-），男，博士，畢節(jié)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院副教授，E-mail:lijiemech@126.com；

陳建軍（1951-），男，西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。