全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的分析

李勇　伍日清　羅群

【摘要】本文對(duì)近幾屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目進(jìn)行歸納、總結(jié)，并通過具體題目對(duì)解題方法進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)競(jìng)賽；數(shù)學(xué)分析；高等代數(shù)；解析幾何

1.引 言

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一項(xiàng)面向本科生的全國(guó)性高水平學(xué)科競(jìng)賽，以激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新型人才為目的.從2009年開始舉辦，每屆初賽定在當(dāng)年10月底，復(fù)賽定于次年3月，參賽人數(shù)逐年上升，已成為全國(guó)大學(xué)生中最具影響力的賽事之一.

本文針對(duì)這幾屆的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（數(shù)學(xué)類）做了一些歸納、分析，并通過例子對(duì)解題方法進(jìn)行一些總結(jié).

2.競(jìng)賽題目分析

通過對(duì)2009年以來初賽及復(fù)賽的競(jìng)賽題進(jìn)行分析，我們看出競(jìng)賽題主要包含數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何三門課程，其中數(shù)學(xué)分析的比重50%，高等代數(shù)的比重35%，解析幾何的比重15%，具體內(nèi)容如下：

涉及數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容主要包含一元函數(shù)、多元函數(shù)及級(jí)數(shù)等，具體有：利用Taylor公式求變限積分的極限，將微分中值定理應(yīng)用在確定函數(shù)或函數(shù)列零點(diǎn)等問題上，利用構(gòu)造連續(xù)函數(shù)的方法來證明推廣的微積分學(xué)基本定理，導(dǎo)函數(shù)的介值性在不等式方面的應(yīng)用，利用比較法則或被積函數(shù)的單調(diào)性討論反常積分的斂散性或反常積分的極限等問題，利用平均值不等式、Schwarz不等式、被積函數(shù)的單調(diào)性、變限積分等來證明積分不等式或反常積分不等式，用一元凸函數(shù)的連續(xù)性判斷二元函數(shù)的連續(xù)性，用Hesses矩陣求二元函數(shù)極值問題，將三元函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值問題，用Green公式、坐標(biāo)變換、冪級(jí)數(shù)展開等計(jì)算二重積分，用迫斂性及平均值不等式求數(shù)列極限，構(gòu)造條件收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)使其收斂于任何指定的數(shù)，利用Cauchy收斂準(zhǔn)則判斷函數(shù)列一致收斂，利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性討論和函數(shù)的性質(zhì)，利用冪級(jí)數(shù)展式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和等內(nèi)容.

涉及高等代數(shù)的內(nèi)容主要包含矩陣、線性空間與線性變換、線性函數(shù)等，具體有：利用列相等證明矩陣的相等，利用正定矩陣性質(zhì)來討論半正定矩陣同時(shí)對(duì)角化，利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型判斷矩陣方程是否有解，利用矩陣相似、合同的性質(zhì)求解矩陣中未知量，利用不變子空間證明矩陣相似于由可逆矩陣和冪零矩陣構(gòu)成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣，利用矩陣乘積AB與BA的非零特征值不變求解未知矩陣，利用多項(xiàng)式的性質(zhì)證明矩陣相似不會(huì)因數(shù)域的變化而改變，利用不變子空間來研究線性變換的特征值及特征向量，通過選取一組基來確定空間維數(shù)及線性變換可對(duì)角化，利用矩陣的跡推導(dǎo)線性變換的跡及其性質(zhì)，線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程組利用子空間的直和證明等式，利用雙線性函數(shù)是跡的應(yīng)用，利用線性函數(shù)的對(duì)偶基來證明所給定矩陣為數(shù)量矩陣.

涉及解析幾何的內(nèi)容主要包含空間直線及曲面方程等，具體有：利用向量垂直之間的關(guān)系確定直線方程，確定圓柱的軸線，從而確定圓柱面的方程，一條直線繞另一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成曲面的可能情形，給定曲面上的一些點(diǎn)判斷曲面的類型，利用過原點(diǎn)的求解截線為圓周的平面方程，利用直線的參數(shù)方程求解錐面方程，給定四個(gè)點(diǎn)利用球面的一般方程求解球面方程.

通過競(jìng)賽題所涉及知識(shí)分析看出，競(jìng)賽題目基本沒有超出這三門課程通常教材范圍，但是競(jìng)賽分?jǐn)?shù)卻不是太高，是何原因呢？我們認(rèn)為可能，由于學(xué)生掌握的基本知識(shí)不夠扎實(shí)，缺少一些獨(dú)立思考，還有知識(shí)間的聯(lián)系與運(yùn)用不太熟悉.因此，我們應(yīng)該在平時(shí)的學(xué)習(xí)中首先要從基礎(chǔ)抓起，做到?jīng)]有不熟悉的知識(shí)點(diǎn)，理解并掌握每個(gè)定義、定理的證明及應(yīng)用.其次建立知識(shí)框架，明晰知識(shí)之間的關(guān)系，以及知識(shí)在學(xué)科之間重合的部分，需要著重把握.最后我們應(yīng)該通過做一些綜合性比較強(qiáng)的題目，來熟練使用知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)獨(dú)立思考、分析問題的能力，還要學(xué)習(xí)一些解題技巧，從而提高數(shù)學(xué)思維，這樣可以更好地提高處理問題的能力.

3.實(shí)例分析

根據(jù)競(jìng)賽題所涉及知識(shí)的歸納總結(jié)，具體分析幾道題目的解題思維與方法，希望這些解題方法對(duì)參賽同學(xué)有所幫助.