高等代數(shù)課程中“特征值與特征向量”專題化教學(xué)研究與實(shí)踐

劉雪梅

【摘要】矩陣的特征值與特征向量是高等代數(shù)課程中矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分.本文主要研究了如何把講解特征值和特征向量這一專題的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)這一專題有機(jī)地結(jié)合起來，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)產(chǎn)生濃厚的興趣，并培養(yǎng)學(xué)生把理論應(yīng)用于實(shí)踐的能力.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；特征值與特征向量；數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)；研究與實(shí)踐

【基金項(xiàng)目】中國民航大學(xué)教育教學(xué)研究課題（CAUCETRN2013-68）

一、引 言

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課，而特征值與特征向量是高等代數(shù)課程中非常重要的一部分內(nèi)容，在現(xiàn)代科技的信號(hào)處理、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)等各個(gè)方面都有廣泛的應(yīng)用，但特征值與特征向量的相關(guān)內(nèi)容比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來沒有興趣，因此有必要研究一下如何講解才能既提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能使學(xué)生很好地理解這一部分內(nèi)容.

目前，隨著現(xiàn)代科技的飛速發(fā)展，現(xiàn)實(shí)生活中有大量的信息是用數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)、壓縮、處理和傳送，而存儲(chǔ)器容量大小、傳輸帶寬、速度等都有一定的限制，所以數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)很重要.數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)是信息時(shí)代快速發(fā)展的核心技術(shù)，在圖像文件中的應(yīng)用也很重要.數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)的模型可以通過矩陣的奇異值分解來建立，而這主要依賴于矩陣的特征值和特征向量的相關(guān)知識(shí)，因此考慮把講解特征值和特征向量的相關(guān)知識(shí)與數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)有機(jī)地結(jié)合起來，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

本文主要研究在給出數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)原理的前提下，如何把特征值與特征向量基礎(chǔ)知識(shí)的講解融會(huì)在數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)模型中.把講解特征值與特征向量這一專題的基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)有機(jī)地結(jié)合起來，在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，掌握它們?cè)趫D像壓縮技術(shù)中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生把理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的能力，確實(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的實(shí)踐化教學(xué).

二、“特征值與特征向量”教學(xué)研究與實(shí)踐

對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，在實(shí)際教學(xué)中往往注重學(xué)生理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用介紹得很少或沒有具體的介紹，這樣學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)只是被動(dòng)地接受，沒有學(xué)習(xí)的自主性和積極性.針對(duì)這些特點(diǎn)，在講授特征值與特征向量的概念和相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以把具體的應(yīng)用實(shí)例引入課堂，讓學(xué)生在體會(huì)到它們的實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)上，帶著問題和興趣去學(xué)習(xí).

具體的教學(xué)過程我們可以按照如下幾個(gè)步驟來進(jìn)行：

（一）數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)模型的引入

在講解特征值與特征向量這一內(nèi)容之前，給學(xué)生提供關(guān)于數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)的相關(guān)資料，讓學(xué)生通過自主的閱讀和學(xué)習(xí)，初步了解數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)原理和模型，找出與原理和模型相關(guān)的未知的概念和結(jié)論.為激起學(xué)生的閱讀興趣，教師所提供的資料或文獻(xiàn)應(yīng)具有吸引力，并且簡單易懂，最好圖文并茂.

（二）數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)原理的講解

在課堂上講解數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)原理，講解的過程中可適當(dāng)進(jìn)行提問，檢驗(yàn)學(xué)生閱讀資料的效果.在此過程中也可允許學(xué)生適量地提出一些問題，以便于把握學(xué)生對(duì)這一原理的理解程度，進(jìn)一步明確這一原理需要哪些數(shù)學(xué)知識(shí)做準(zhǔn)備，特別是有關(guān)于特征值與特征向量的概念和定理的一些知識(shí)，使學(xué)生帶著問題去聽課.

（三）特征值與特征向量相關(guān)知識(shí)的講解

在前面準(zhǔn)備工作做完的基礎(chǔ)上，開始系統(tǒng)講解特征值與特征向量的概念、性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，此時(shí)，學(xué)生的目的比較明確，聽課時(shí)積極性很高，與老師的互動(dòng)進(jìn)行得很好，改變了以往只是被動(dòng)在聽的情況，絕大多數(shù)同學(xué)都能跟上思路，并能主動(dòng)地分析問題和解決問題，課堂氣氛比較活躍.

（四）作業(yè)的布置

通過講解，學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)圖像壓縮技術(shù)原理和模型中有關(guān)特征值與特征向量的相關(guān)問題已基本理解和掌握，可以布置每名同學(xué)選擇圖像數(shù)據(jù)，自己建立模型把圖像進(jìn)行壓縮并通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行恢復(fù)，把所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的實(shí)際意義.這對(duì)今后課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)有很大的促進(jìn)作用.

（五）特征值與特征向量在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的講解

針對(duì)高等代數(shù)的課程內(nèi)容設(shè)置，講解利用特征值和特征向量在矩陣的對(duì)角化、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化等問題中的應(yīng)用，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)到特征值和特征向量相關(guān)內(nèi)容的重要性.并向?qū)W生表明我們所學(xué)的每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都有它重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

三、研究與實(shí)踐的效果

通過教學(xué)實(shí)踐，這種教學(xué)方式取得了很好的效果，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（一）學(xué)生普遍歡迎這種新的教學(xué)方法，學(xué)習(xí)興趣和積極性比以前大為提高.

（二）學(xué)生的上課紀(jì)律明顯好轉(zhuǎn)，自覺性提高，平時(shí)不愛學(xué)習(xí)，成績較差的同學(xué)課堂表現(xiàn)也很出色.

（三）這種教學(xué)方式促進(jìn)了老師與學(xué)生的互動(dòng)，學(xué)生可以大膽地提問，并能得到及時(shí)的解答，學(xué)生普遍反映跟得上老師的思路，覺得數(shù)學(xué)也很有意思.

（四）由于理論與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合，使所學(xué)知識(shí)掌握得更牢固，分析問題和解決問題的能力得到了提高.

（五）學(xué)生增強(qiáng)了自主學(xué)習(xí)的積極性，經(jīng)常有學(xué)生詢問一些關(guān)于數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用問題以及教材和課堂以外的一些數(shù)學(xué)知識(shí)，這對(duì)于他們參加大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽和大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽并取得好成績有很大的促進(jìn)作用.

四、結(jié)束語

以上是作者通過多年在高等代數(shù)課程的教學(xué)過程中，不斷摸索和研究得到的一點(diǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，希望通過本文，可以對(duì)高等代數(shù)的教學(xué)工作起到一定的促進(jìn)作用.以上觀點(diǎn)和方法僅為一家之說，對(duì)高等代數(shù)課程教學(xué)的探討是無止境的，只有在教學(xué)過程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，不斷改革教學(xué)方法，通過實(shí)踐去努力講好每一節(jié)課.