解決直線和圓錐曲線綜合問題的三步策略

施雯

直線交圓錐曲線就會(huì)在曲線內(nèi)形成弦，在曲線上產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)。這一弦，兩點(diǎn)就構(gòu)成了命題的基礎(chǔ)元素：有弦可以涉及到弦長，有點(diǎn)必要研究坐標(biāo)。若再和其他的一些特殊點(diǎn)結(jié)合在一起，形成一些特殊關(guān)系，題型就會(huì)進(jìn)一步復(fù)雜化，對(duì)學(xué)生分析問題，解決問題的能力層次要求較高，運(yùn)算能力要求強(qiáng)。學(xué)生在解答時(shí)，往往表現(xiàn)為無從下手或者半途而廢。

結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為解決直線與圓錐曲線的問題可以采用以下策略：

一、通觀全局，局部入手，找準(zhǔn)切入點(diǎn)解析幾何是用代數(shù)的方法來研究幾何問題的一門學(xué)科，因此正確，精準(zhǔn)地找出題目中所蘊(yùn)含的幾何特征是解決這類問題的先決條件。高三第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，我都會(huì)問學(xué)生同一個(gè)問題：“在直線與圓錐曲線的相交問題中，關(guān)鍵的幾何特征是什么？”每次得到的回答幾乎是驚人的一致：“直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)唄！”我笑而不答，卻出示了下列這一題組。

已知過點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于兩點(diǎn)

設(shè)A ，若 ，求直線 的斜率

B是橢圓的右頂點(diǎn)，且 的角平分線是 軸，求直線 的斜率

以線段 為鄰邊做平行四邊形 ，其中頂點(diǎn) 在橢圓 上， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 到直線 距離的最小值

若以 為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線 的斜率

點(diǎn) 為直線 與該橢圓在第一象限的交點(diǎn)，平行于 的直線 交橢圓于 兩點(diǎn)，求證：直線 與 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形

該例題以直線 與橢圓交于兩點(diǎn)作為公共條件，但在此條件下，卻展現(xiàn)了五種不同的問題情境。讀完此題組，同學(xué)們頓悟：直線 與橢圓交于兩點(diǎn)只是這一類問題的背景，而直線或交點(diǎn)與一些特殊點(diǎn)結(jié)合在一起，繼而形成的那些特殊關(guān)系才是問題所要呈現(xiàn)的真正的幾何特征。將其表述出來，即為

（1） （2） 的角平分線是 軸（3）以線段 為鄰邊做平行四邊形 ，其中頂點(diǎn) 在橢圓 上（4）以 為直徑的圓過原點(diǎn)（5）直線 與 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形，這樣的閱讀，尋找和表述，使同學(xué)們通觀全局將直線 及其兩個(gè)交點(diǎn)納入題目整體的范圍；又將它們和其他關(guān)鍵要素進(jìn)行整合，局部入手，找尋在相交背景之下，每一題所呈現(xiàn)出的特殊幾何特征。為成功解決問題找準(zhǔn)了切入點(diǎn)。

二、、由表及里，把握本質(zhì)，適當(dāng)轉(zhuǎn)化

不少學(xué)生在找到了幾何特征后，都迫不及待地要將該幾何特征轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系了。但當(dāng)他們用代數(shù)關(guān)系表示出第（1）小題的幾何特征后，卻一籌莫展了。究其原因，是由于學(xué)生直接從 入手，想用兩點(diǎn)間距離公式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于斜率 的方程。聯(lián)立方程后所得的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ， 。此時(shí)。很多學(xué)生都停下了筆，因?yàn)樗麄円呀?jīng)從 的值上預(yù)見了此方程的復(fù)雜性，覺得自己沒有能力再解到底了

從學(xué)生的解法中可以看出，使他們半途而廢的癥結(jié)所在，是直接將幾何條件 用代數(shù)關(guān)系來表示。事實(shí)上要將有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)的等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于斜率 的方程，不外乎兩條路：其一是將直線方程代入二次曲線方程，消元，得到關(guān)于 的一元二次方程，然后利用求根公式求解，此法計(jì)算量較大 ；其二是構(gòu)造交點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)稱關(guān)系式，雖然也要代入，消元，得到一元二次方程，但可利用韋達(dá)定理整體代換 ，無需利用求根公式求解，因此運(yùn)算量要比“法一”低。

解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)的局部勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏看不清問題的實(shí)質(zhì)所在。就像例題中的條件“ ”就只是浮在問題表面的幾何特征而絕非本質(zhì)特征。因此要想明確該題究竟是利用 “途徑一”還是“途徑二”解決，就必須由表及里，分析出幾何條件的本質(zhì)特征。為了幫助學(xué)生明確這一點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了如下表格請(qǐng)學(xué)生填寫：

幾何條件 本質(zhì)特征 轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)關(guān)系

通過表格中的三步轉(zhuǎn)化，學(xué)生看出，雖然還沒有開始解題，但對(duì)于利用途徑一還是途徑二去解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)。提高了“從現(xiàn)象到本質(zhì)，抓住事物的本質(zhì)認(rèn)識(shí)事物”的解題意識(shí)。

三、先想后算，適度求解，邁向成功

不少學(xué)生在掌握了如何將“幾何條件代數(shù)化”的方法后，紛紛來找我訴苦：“為什么目標(biāo)近在咫尺，我們卻總是處于看得見，摸不到，總解不到底的尷尬境地？”筆者結(jié)合生活實(shí)際，和學(xué)生分析：圍繞目標(biāo)先想后算，周密計(jì)劃，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里。

為了讓學(xué)生強(qiáng)化先想后算的解題意識(shí)，筆者讓學(xué)生練習(xí)了以下一個(gè)例題：

例2：設(shè)直線 過點(diǎn) 和橢圓 順次交于 兩點(diǎn)，若 試求 的取值范圍

分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： ，圍繞此目標(biāo)先想后算，計(jì)劃好求取值范圍的兩條路線：路線一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。路線二是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系。

從路線一入手：設(shè)出直線方程 ，與橢圓方程聯(lián)立。解之得： ，由對(duì)稱性：不妨設(shè) ，

解完此題，很多學(xué)生都由衷地發(fā)出感嘆，若沒有下筆前的計(jì)劃部署，他們絕大多數(shù)拿到這個(gè)問題后的第一想法就是按照線路一去解，這樣的想法似乎很順暢，但對(duì)運(yùn)算的要求比較高，一般的學(xué)生沒有這個(gè)能力解到底。若采用路線2，構(gòu)造對(duì)稱式，有韋達(dá)定理轉(zhuǎn)由不等式求范圍，就可避免上一種解法的繁瑣運(yùn)算。

以上策略的應(yīng)用，正是幫助學(xué)生不再被動(dòng)的接受題目信息，而是主動(dòng)地有選擇，有序的將陌生信息，通過自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成所熟識(shí)的內(nèi)容，使學(xué)生享受到成功的喜悅。