論高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程與數(shù)學(xué)反思

楊如君

數(shù)學(xué)反思，即在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式、論證定理及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)所使用的方法、思路、計(jì)算手段等數(shù)學(xué)活動(dòng)的回顧與總結(jié)，并試圖建立起一種“模式”，以便為學(xué)習(xí)與解決相類似的數(shù)學(xué)知識(shí)與問(wèn)題時(shí)所借鑒、使用?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)反思是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)重要途徑，是提高數(shù)學(xué)分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的有效手段，是提升數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的必要的保證。

一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其是一道較為綜合的數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一番苦思冥想、艱辛的計(jì)算解出答案之后，如果能繼續(xù)進(jìn)行一番思索，那么收獲的就不僅僅是這一道數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決了。

通過(guò)反思，不僅可以提高解題能力，而且也能使思維品質(zhì)在更深和更高層次得到有效提高和升華。下面，我就數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的各個(gè)環(huán)節(jié)應(yīng)該進(jìn)行的數(shù)學(xué)反思，談一下自己的一些認(rèn)識(shí)和體會(huì)。

一、審題是關(guān)鍵，反思是否挖掘了問(wèn)題的所有條件

審題是解題過(guò)程的首要步驟。審題能力如何，直接影響到解題的成敗。審題的基本要求是弄清題目的條件和結(jié)論。對(duì)一些簡(jiǎn)單的基本題，只要認(rèn)真審題，一般來(lái)說(shuō)都能準(zhǔn)確找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，從而確定解題方法與步驟。然而對(duì)于那些比較綜合性的題目，審題的要求就比較高了，往往問(wèn)題中會(huì)“隱藏”著一些條件不易被發(fā)現(xiàn)，從而使問(wèn)題的“難度”人為地增大。認(rèn)真審題，挖掘條件與結(jié)論的聯(lián)系，在充分理解題意的基礎(chǔ)上，找到解題的關(guān)鍵，理清解題思路后，再實(shí)施解題。

在這個(gè)過(guò)程中主要應(yīng)該反思：這個(gè)題求什么？知道什么？條件和結(jié)論之間有什么的關(guān)系？從條件出發(fā)得到結(jié)論還存在著哪些困難？我學(xué)過(guò)什么？解這樣的題目要用到哪些知識(shí)？有什么樣的常規(guī)方法？有沒(méi)有特殊的方法？

二、確定解題思路，反思所用數(shù)學(xué)方法是否最優(yōu)化

一些人覺(jué)得自己做了很多數(shù)學(xué)題，卻感到數(shù)學(xué)解題能力沒(méi)有明顯提高，原因在于他們?cè)诮忸}時(shí)往往滿足于做出多少數(shù)學(xué)題目，而對(duì)于自己的解題方法的優(yōu)劣，卻從來(lái)不加以考慮，作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)解題過(guò)程單一、思路狹窄、解法陳舊、邏輯混亂、敘述冗長(zhǎng)、主次不分等不足，這是思維過(guò)程缺乏靈活性、批判性的表現(xiàn)，也是思維創(chuàng)造性水平不高的表現(xiàn)。因此，要及時(shí)反思自己所選擇的解題方法是怎么想到的？我選的方法是不是最佳捷徑？我的解法還能不能再作些改進(jìn)與優(yōu)化？重新審視自己的思維過(guò)程，變換角度尋找、觀察題目所獨(dú)具的基本特征，努力尋找解決問(wèn)題的最佳方案。

三、觀察問(wèn)題結(jié)論，反思結(jié)果的合理性

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)會(huì)因?yàn)閷忣}不細(xì)、概念不清、挖掘條件不深、沒(méi)有理清條件與結(jié)論的關(guān)系、對(duì)問(wèn)題的其他情況考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)等原因，面產(chǎn)生了這樣或那樣的錯(cuò)誤。一道題做錯(cuò)了，總能感覺(jué)到問(wèn)題的結(jié)果在某些地方不太“合常理”?？赡苁墙Y(jié)論與所期望相差較大，也可能感覺(jué)問(wèn)題應(yīng)該不止有一種情況，而所得結(jié)論沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái)等等。這時(shí)你應(yīng)該立即反思，這個(gè)結(jié)果是否具有合理性？若不合理，錯(cuò)在哪兒？這樣的反思不會(huì)耽誤多長(zhǎng)時(shí)間，但通過(guò)對(duì)解題結(jié)果的反思，剖析錯(cuò)誤形成原因，這不僅是一個(gè)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念重新理解的機(jī)會(huì)，而且能在糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中進(jìn)一步筑牢數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)基本概念本質(zhì)的理解。對(duì)以后類似的問(wèn)題也提供了一個(gè)很好的借鑒，少走彎路或錯(cuò)路，能提高對(duì)問(wèn)題的正確判斷。

四、總結(jié)解題策略，反思解題規(guī)律和數(shù)學(xué)基本思想方法

高中數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，題山題海，令人眼花繚亂、防不勝防。但是，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題不是孤立的，有其產(chǎn)生的背景，能體現(xiàn)知識(shí)間的相互聯(lián)系。要想徹底從題海中解脫出來(lái)，就必須要有目的地對(duì)所做習(xí)題進(jìn)行分析、歸類、總結(jié)，既要掌握一類問(wèn)題基本的解題規(guī)律，又要能夠分析具體方法中包含的數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到舉一反三的目的。這樣不僅有利于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，而且對(duì)當(dāng)前命題中“源于課本，高于課本”的原則也有一定的針對(duì)性。在解完某一類題目后，要對(duì)題目的解題過(guò)程進(jìn)行類比性反思，再看看問(wèn)題的解題過(guò)程，特別要注意在這些過(guò)程中相同方法的歸納概括，通過(guò)類比反思你能發(fā)現(xiàn)什么？比如：它們都是由某個(gè)實(shí)際問(wèn)題作背景演變而來(lái)；解決時(shí)都用到了相同的知識(shí)；都用到了相同或相近的數(shù)學(xué)思想方法等等。由此可見，通過(guò)解題反思、總結(jié)解題規(guī)律，不僅能比較容易得抓住問(wèn)題的本質(zhì)，將問(wèn)題由個(gè)別推向一般，使問(wèn)題不斷深化，又訓(xùn)練和培養(yǎng)歸納思維能力，很好地體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想，有效地提高了解題能力，這就超出了題目本身的意義，遠(yuǎn)比單純的解幾道題意義重大。

五、拓展延伸，反思數(shù)學(xué)問(wèn)題的立意

當(dāng)解完一道較為綜合的數(shù)學(xué)題后，僅僅是如釋重負(fù)：我成功地利用了某某數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用了某某策略，又攻克了一道難題！那么你就僅僅只是攻克了一道難題而已。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，并不等于這個(gè)問(wèn)題思維活動(dòng)的結(jié)束，而是對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入研究的開始，如果此時(shí)停止了這個(gè)問(wèn)題的思維活動(dòng)，將錯(cuò)過(guò)反思的大好良機(jī)。這時(shí)如果能進(jìn)一步深入分析題目條件和內(nèi)涵，探求本題目中有哪些性質(zhì)是不變的，掌握其本質(zhì)我們就可以將已知的具體題目進(jìn)行推廣。善于進(jìn)行推廣，我們所獲得的就不是一道題的解法，而是一組題、一類題的解法。

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，是檢驗(yàn)是否真正學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)以及對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的掌握程度的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。而數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量。如果解題過(guò)程中僅僅滿足于獲得正確答案，而不對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和反思，那么解題活動(dòng)就只能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上，只有“一加一等于二”的收獲，不會(huì)得到質(zhì)的提升。如果在解題過(guò)程中對(duì)自己的思路、解法作認(rèn)真反思，那么就會(huì)使自己的思維在更高的層次上進(jìn)行再概括，并促使思維進(jìn)入理性認(rèn)識(shí)階段。因此，我們必須從解決每一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，每一個(gè)細(xì)節(jié)抓起，及時(shí)注意數(shù)學(xué)反思，就能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，逐步提高數(shù)學(xué)解題能力。這樣，可以提高思維的自我評(píng)價(jià)水平，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，使解題能力和思維品質(zhì)能在更深、更高層次上得到提升。