幾何畫板在立體幾何中的應(yīng)用

■張晉陽

幾何畫板在立體幾何中的應(yīng)用

■張晉陽

幾何畫板是一個適用于幾何教學(xué)的軟件，它具有強大的動態(tài)變化功能，一流的交互功能，能以濃縮的形態(tài)給學(xué)生提供數(shù)學(xué)背景，動態(tài)地保持了幾何圖形中內(nèi)在的、恒定不變的幾何關(guān)系及幾何規(guī)律。通過學(xué)生的參與和親手操作，枯燥抽象的內(nèi)容變成生動形象的圖形，原本不明白或不甚明白的概念變得一目了然。利用幾何畫板，給學(xué)生一個“操作數(shù)學(xué)”的環(huán)境，把抽象的立體幾何教學(xué)變得形象、直觀，動態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，能夠化抽象為具體，化具體為形象，從而使教學(xué)更加直觀、生動，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強教學(xué)的趣味性。為此，筆者嘗試對高中立體幾何教學(xué)中的問題，闡述幾何畫板的優(yōu)勢。

快速建立空間概念

用《幾何畫板》繪制各種立體圖形非常直觀，可以解決學(xué)生從平面圖形向立體圖形，從二維平面向三維空間過渡的難題，因為它確實能把一個“活”的立體圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前。

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認(rèn)識上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象能力及較強的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真相的圖形去想象真實情況，這便給學(xué)生認(rèn)識立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用幾何畫板將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。例如，在講解空間幾何體的表面積與體積時，利用幾何畫板動態(tài)的展示空間幾何體的側(cè)面展開過程，讓學(xué)生能直觀的體會、理解公式。通過拖動某一點即可得到圓臺、柱、錐之間的聯(lián)系，從而得到了公式之間的聯(lián)系，加深對公式的理解。

突破立體幾何教學(xué)的難點

學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)過程中的一個困惑是立體幾何語言表達無章法，陳述不清、順序顛倒、內(nèi)容遺漏、條件不足、出言無據(jù)、望圖生義、混淆平面與空間，這樣一些現(xiàn)象普遍存在。做任何一件事，只要抓住它的特征，把握它的規(guī)律，這件事就不難解決。那么，立體幾何這門學(xué)科它的學(xué)科特征是什么呢？從哪里入手就可以讓立體幾何的入門教學(xué)變得不難呢？在立體幾何入門教學(xué)中，可以用幾何畫板做出不同類型的幾何體，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和體味立體幾何。例如：在線面平行、垂直判定的教學(xué)中，筆者用幾何畫板作了如下圖形，讓學(xué)生在圖中找平行與垂直關(guān)系，并可以任意拖動點改變圖形的形狀，試著用數(shù)學(xué)符號語言描述對應(yīng)關(guān)系及簡單的一些推理，如圖一。

圖一

又讓學(xué)生結(jié)合幾何畫板作圖，根據(jù)圖形分組做出對應(yīng)幾何模型，讓學(xué)生體會立體幾何位置關(guān)系和立體幾何結(jié)構(gòu)的原型之間的轉(zhuǎn)化。

在解題教學(xué)中攻關(guān)

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，特別是對于問題的抽象是解題的主要障礙，如何化繁為簡，化虛為實。利用幾何畫板中的動畫，往往能起到出奇制勝的作用。例如，（2005年全國卷）正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點。那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是什么圖形？利用幾何畫板很容易驗證學(xué)生的結(jié)論，如圖二：

圖二

圖三

又如，問題：“順次連接四邊形的各邊中點構(gòu)成什么圖形？”在幾何畫板的支持下，可以在屏幕上制作一個動態(tài)的四邊形，它在運動過程中忽而是凸四邊形，忽而是凹四邊形，四邊中點的連線組成的圖形也是不斷變化的，可能是一般的平行四邊形，也可能是特殊的平行四邊形，如圖三。在這種情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究附加怎樣的條件將導(dǎo)出什么樣的結(jié)論。

將幾何畫板附于立體幾何教學(xué)中，能將一般傳統(tǒng)教學(xué)中難以表現(xiàn)的數(shù)形及其變化過程生動地展示出來，使學(xué)生的表象、聯(lián)想、想象等形象思維能得到很好的培養(yǎng)和鍛煉。

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書：數(shù)學(xué)必修2（B版）[M]．北京：人民教育出版社，2011

[2]江玉軍．幾何畫板5.0從入門到精通[M]．廣東：中山大學(xué)出版社，2011

[3]陶振宗．幾何畫板——21世紀(jì)的動態(tài)幾何[M]．北京：人民教育出版社，1998

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）