有限時(shí)域內(nèi)部分缺貨的變質(zhì)品生產(chǎn)-定價(jià)策略研究

段永瑞，李貴萍，霍佳震

（同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092）

有限時(shí)域內(nèi)部分缺貨的變質(zhì)品生產(chǎn)-定價(jià)策略研究

段永瑞，李貴萍，霍佳震

（同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092）

研究有限時(shí)域內(nèi)對(duì)變質(zhì)產(chǎn)品同時(shí)安排生產(chǎn)計(jì)劃和制定定價(jià)策略的問題。有限時(shí)域被劃分成同等長度的多個(gè)周期，產(chǎn)品以固定的生產(chǎn)率間歇生產(chǎn)，并以固定的速率發(fā)生變質(zhì)。需求同時(shí)依賴于時(shí)間和產(chǎn)品價(jià)格，在每個(gè)周期內(nèi)都允許缺貨且短缺量部分延遲訂購。目的是要尋求一個(gè)使有限時(shí)域內(nèi)系統(tǒng)的平均利潤最大化的生產(chǎn)計(jì)劃和定價(jià)策略。在算例中，分別討論了需求隨時(shí)間增大和減小兩種不同的需求模式，采用Box復(fù)合算法，通過數(shù)值計(jì)算求得相應(yīng)的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃和定價(jià)策略。分析表明：對(duì)于成長期或銷售季初的產(chǎn)品，系統(tǒng)應(yīng)采用“小批量多批次”的生產(chǎn)方式；而對(duì)于衰退期或銷售季末的產(chǎn)品，應(yīng)采用“大批量小批次”的生產(chǎn)方式。此外，不同類型的產(chǎn)品在不同需求模式下的定價(jià)策略有所不同：對(duì)于有限時(shí)域較短或變質(zhì)率較高的產(chǎn)品，處于衰退期或銷售季末的定價(jià)要低于成長期或銷售季初的定價(jià)；相反，對(duì)于有限時(shí)域相對(duì)較長或變質(zhì)率較低的產(chǎn)品，在衰退期或銷售季末的最優(yōu)定價(jià)要高于在成長期或銷售季初的定價(jià)。

有限時(shí)域；變質(zhì)品；部分缺貨；生產(chǎn)；定價(jià)

1 引言

隨著時(shí)代的發(fā)展和科技的進(jìn)步，產(chǎn)品的流行趨勢不斷變化、更新速度不斷加快，導(dǎo)致很多產(chǎn)品表現(xiàn)出了生命周期越來越短、品種數(shù)目越來越多的特點(diǎn)。比如時(shí)尚類、季節(jié)性產(chǎn)品和IT產(chǎn)品等，它們的計(jì)劃時(shí)域或銷售周期一般都是有限的，因此，有限時(shí)域?qū)ιa(chǎn)或庫存控制的影響就變得越來越重要。此外，由于計(jì)劃時(shí)域或銷售周期有限，這類產(chǎn)品如果不能在規(guī)定的期限內(nèi)送達(dá)顧客手中，那么在存儲(chǔ)過程中就會(huì)由于腐敗、破損或更有競爭力的新產(chǎn)品出現(xiàn)等原因，致使其價(jià)值不斷減少，即在一定程度上會(huì)表現(xiàn)出“變質(zhì)”的特性。變質(zhì)產(chǎn)品的庫存研究是庫存控制領(lǐng)域的一個(gè)重要分支。Raafat［1］，Goyal和Giri［2］對(duì)早期變質(zhì)產(chǎn)品庫存策略的相關(guān)研究給出了很好的綜述。綜上，研究有限時(shí)域內(nèi)變質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)或庫存控制問題變得更加迫切、更具現(xiàn)實(shí)意義。

Ghare和Schrader［3］首先假設(shè)需求為常數(shù)，提出了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)常數(shù)變質(zhì)產(chǎn)品的庫存補(bǔ)貨模型。隨后，Covert和Phillip［4］在考慮變化的變質(zhì)率基礎(chǔ)上對(duì)Ghare等［3］的模型進(jìn)行了擴(kuò)展。Shah［5］通過引入允許缺貨的機(jī)制進(jìn)一步對(duì)以上模型做了一般化處理。不難發(fā)現(xiàn)這些模型有一個(gè)共同的假設(shè)：需求為常數(shù)。事實(shí)上，對(duì)于處于生命周期成熟階段的產(chǎn)品，常數(shù)需求具有一定代表意義。但對(duì)于其他一些非成熟期的產(chǎn)品，其需求隨時(shí)間會(huì)發(fā)生變化。比如處在生命周期成長階段的產(chǎn)品或季節(jié)性、流行性產(chǎn)品在銷售季初時(shí)，隨著人們對(duì)其性能的逐漸了解以及對(duì)相應(yīng)品牌的認(rèn)可或是對(duì)流行的跟隨，需求會(huì)逐漸增大；反之，如果產(chǎn)品處于生命周期的衰退階段或者是在其銷售季末時(shí)，由于技術(shù)更新、消費(fèi)者需求改變或流行的更替等原因，需求會(huì)隨時(shí)間而不斷減小。鑒于對(duì)現(xiàn)實(shí)情況的考慮，時(shí)變需求的概念逐漸被運(yùn)用到庫存模型的構(gòu)建中。Dave和Patel［6］構(gòu)建了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)需求線性時(shí)變且變質(zhì)率為常數(shù)的庫存補(bǔ)貨模型。而Chakrabarti和Chaudhuri［7］在有限時(shí)域內(nèi)考慮了線性時(shí)變需求、常數(shù)變質(zhì)率以及完全延遲訂購的情況。Papachristos和Skouri［8］建立了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)的連續(xù)盤點(diǎn)庫存模型，假設(shè)需求是與時(shí)間相關(guān)的任意連續(xù)的對(duì)數(shù)凹函數(shù)，產(chǎn)品的變質(zhì)率為常數(shù)，允許缺貨且部分延遲訂購率是顧客等待時(shí)間的負(fù)指數(shù)函數(shù)。鄭惠莉和達(dá)慶利［9］提出了一個(gè)有限銷售期內(nèi)需求和采購價(jià)格均為時(shí)變，等周期且各周期服務(wù)水平相同，缺貨時(shí)短缺量完全拖后的EOQ模型。鄭惠莉和達(dá)慶利［10］做了進(jìn)一步的擴(kuò)展，考慮了等周期且每個(gè)周期內(nèi)服務(wù)水平可不同的情況。羅兵、楊帥和李宇雨［11］在鄭惠莉等［9］的基礎(chǔ)上提出了綜合考慮物品變質(zhì)和存貨影響銷售率情況下的最優(yōu)采購策略。羅兵、楊帥和熊中楷［12］進(jìn)一步考慮時(shí)變短缺量拖后率以及資金時(shí)間價(jià)值等因素對(duì)變質(zhì)物品庫存管理的影響，建立了相應(yīng)的EOQ模型。黃波、孟衛(wèi)東和熊中楷［13］考慮物品變質(zhì)速度與保管時(shí)間線性相關(guān)，在有限銷售期內(nèi)建立了一種在短缺量部分拖后條件下，需求隨時(shí)間指數(shù)增長、銷售和采購價(jià)格均隨時(shí)間指數(shù)下降的變質(zhì)物品EOQ模型。

現(xiàn)實(shí)生活中，產(chǎn)品的需求除了與時(shí)間相關(guān)外也受價(jià)格的影響，通常價(jià)格越高，需求會(huì)越??；反之，則越大。Cohen［14］構(gòu)建了需求受價(jià)格線性影響的定價(jià)與補(bǔ)貨模型。Chen等［15］提出了一個(gè)需求與時(shí)間和價(jià)格同時(shí)相關(guān)的變質(zhì)品庫存模型，并在多周期的有限時(shí)域內(nèi)考慮了通貨膨脹和時(shí)間價(jià)值的影響。Chen Xin和Simchi-Levi［16］考慮了一個(gè)在有限時(shí)域內(nèi)同時(shí)進(jìn)行定價(jià)和庫存控制的周期盤點(diǎn)庫存模型，假設(shè)不同周期內(nèi)的需求是關(guān)于價(jià)格的獨(dú)立隨機(jī)變量，允許缺貨且完全延遲訂購。Hsieh和Dye［17］考慮通貨膨脹的影響，構(gòu)建了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)變質(zhì)產(chǎn)品的定價(jià)和訂購模型，假設(shè)需求與時(shí)間和價(jià)格同時(shí)相關(guān)并且允許對(duì)價(jià)格進(jìn)行周期性上下調(diào)整，常數(shù)變質(zhì)率，部分延遲訂購且延遲訂購率與顧客等待時(shí)間相關(guān)。彭作和與田澎［18］建立了一個(gè)有限銷售期內(nèi)需求是價(jià)格的減函數(shù)、變質(zhì)率為常數(shù)且考慮貨幣時(shí)間價(jià)值的變質(zhì)商品臨時(shí)價(jià)格折扣模型。

不論假設(shè)需求是與時(shí)間相關(guān)還是對(duì)價(jià)格敏感，以上文獻(xiàn)大多只是考慮有限時(shí)域內(nèi)產(chǎn)品的訂購、定價(jià)問題或兩者的結(jié)合，很少涉及生產(chǎn)管理。Sana、Goyal和Chaudhuri［19］在線性時(shí)變需求、常數(shù)生產(chǎn)率和變質(zhì)率并且完全延遲訂購的假設(shè)基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)變質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)庫存模型。Diponegoro和Sarker［20］在固定生產(chǎn)率、需求率以及交貨時(shí)間的假設(shè)基礎(chǔ)上研究了有限時(shí)域的生產(chǎn)問題。隨后，Diponegoro和Sarker［21］進(jìn)一步將問題拓展到時(shí)變需求的情況。Yang［22］構(gòu)建了有限時(shí)域內(nèi)需求、生產(chǎn)和變質(zhì)均與時(shí)間相關(guān)且部分延遲訂購的生產(chǎn)庫存模型，并給出使系統(tǒng)總成本最小的最優(yōu)解存在的條件。但以上文獻(xiàn)均沒有考慮產(chǎn)品定價(jià)對(duì)需求及生產(chǎn)策略的影響。

本文考慮有限時(shí)域內(nèi)產(chǎn)品的需求同時(shí)依賴于時(shí)間和價(jià)格，部分缺貨且部分延遲訂購率與等待時(shí)間負(fù)相關(guān)，產(chǎn)品以固定的生產(chǎn)率進(jìn)行間歇生產(chǎn)并以固定的速率發(fā)生變質(zhì)的生產(chǎn)和定價(jià)問題，從生產(chǎn)商的角度出發(fā)，探討在有限時(shí)域內(nèi)如何制定生產(chǎn)計(jì)劃和定價(jià)策略，即有限時(shí)域內(nèi)最優(yōu)的周期數(shù)、每個(gè)周期內(nèi)開始生產(chǎn)和停止生產(chǎn)的時(shí)間點(diǎn)以及產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)，以最大化系統(tǒng)的平均利潤。在算例中，分別討論了需求隨時(shí)間增大和減小兩種不同的需求模式。最后，運(yùn)用Box復(fù)合算法［23］，通過數(shù)值計(jì)算求解兩種需求模式下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃和最優(yōu)定價(jià)，并對(duì)相關(guān)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行分析。

2 假設(shè)與符號(hào)

模型中用到的假設(shè)和符號(hào)如下：

（1）有限時(shí)域H被劃分成n個(gè)同等長度的周期，那么每個(gè)周期的長度為H/n，其中n為決策變量之一。

（2）需求D與時(shí)間t和價(jià)格p同時(shí)線性相關(guān)，即D（t，p）=a+bt+cp，其中a≥0，b≠0，c＜0，

t∈［0，H］。當(dāng)b＞0時(shí)，表示需求隨時(shí)間的變化而增大；當(dāng)b＜0時(shí)，表示需求隨時(shí)間的變化而減小。

（3）變質(zhì)率θ為常數(shù)。

（4）產(chǎn)品的生產(chǎn)率R有限且為常數(shù)，R＞D（t，p）+θI（t），其中I（t）表示t時(shí)刻的即時(shí)庫存水平。

（5）允許缺貨且短缺量部分延遲訂購。文中采用Abad［24］模型中用到的部分延遲訂購率B（τ）= K0e-K1τ，K0＜1，K1≥0，其中B（τ）表示部分延遲訂購率，τ表示顧客的等待時(shí)間。

（6）A表示生產(chǎn)準(zhǔn)備成本，Cp表示單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，Ch表示單位產(chǎn)品單位時(shí)間的庫存持有成本，Cs表示單位產(chǎn)品單位時(shí)間的缺貨成本，Co表示損失一單位需求的機(jī)會(huì)成本，Cd表示單位產(chǎn)品的變質(zhì)成本。

3 建立模型

一個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)需要同時(shí)制定有限時(shí)域內(nèi)的生產(chǎn)計(jì)劃和定價(jià)策略。假設(shè)有限時(shí)域H被劃分成n個(gè)同等長度的周期，如圖1所示，第i（i=1，2，…，n）個(gè)周期的期初庫存水平為0，生產(chǎn)從Ti-1時(shí)刻開始到t′i時(shí)刻結(jié)束，這段時(shí)間內(nèi)在滿足需求和變質(zhì)后庫存不斷累積并在t′i時(shí)刻達(dá)到最大，在時(shí)間段［t′i，ti］內(nèi)累積的庫存在需求和變質(zhì)的作用下逐漸下降并在ti時(shí)刻下降到0。接著發(fā)生缺貨，缺貨量在時(shí)間段［ti，Si］內(nèi)積累。在Si時(shí)刻生產(chǎn)重新開始，在時(shí)間段［Si，Ti］內(nèi)累積的缺貨量和當(dāng)前的需求均被滿足，在周期末（即Ti時(shí)刻）庫存水平變?yōu)?，新的周期開始。生產(chǎn)與庫存以同樣的模式從第1個(gè)周期開始不斷重復(fù)直到第n個(gè)周期結(jié)束。目的是最大化系統(tǒng)在有限時(shí)域內(nèi)的平均利潤，即決定在有限時(shí)域H內(nèi)，n取多少？t′i和Si分別為多少？以及產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)p為多少？

圖1 第i個(gè)周期內(nèi)庫存隨時(shí)間變化示意圖

由于一個(gè)周期內(nèi)不發(fā)生缺貨的時(shí)間越長，顧客需求的滿足率就越高，即服務(wù)水平越高，所以在文獻(xiàn)中常用不發(fā)生缺貨的時(shí)間段在一個(gè)周期內(nèi)所占的比例來表示系統(tǒng)的服務(wù)水平［19］。如圖1所示，對(duì)于第i個(gè)周期［Ti-1，Ti］，在時(shí)間段［Ti-1，ti］內(nèi)沒有缺貨發(fā)生，那么用r表示服務(wù)水平，則

此外，為了方便計(jì)算，分別令：

由（1）-（3）以及假設(shè)，可得：

當(dāng)t∈［Ti-1，t′i］時(shí)，即時(shí)庫存水平I（t）滿足：

當(dāng)t∈［t′i，ti］時(shí)，I（t）滿足：

從ti時(shí)刻開始發(fā)生缺貨，假設(shè)對(duì)于未被滿足的需求，系統(tǒng)采用“先到先得”的原則，即先到的需求在有貨時(shí)將先被滿足。如圖1所示，在時(shí)間段［ti，Si］內(nèi)沒有進(jìn)行生產(chǎn)，只有延遲訂購的需求，所以當(dāng)t∈［ti，Si］時(shí)，等待時(shí)間τ=Si-t-I（t）/R。在Si時(shí)刻生產(chǎn)重新開始，所以在時(shí)間段［Si，Ti］內(nèi)，由時(shí)間段［ti，Si］累積的缺貨量不斷減少；同時(shí)，新的缺貨量（即在時(shí)間段［Si，Ti］內(nèi)的需求）還在不斷產(chǎn)生。因此，在t∈［Si，Ti］時(shí)刻，顧客的等待時(shí)間τ=-I（t）/R。

由上面的分析容易得到，當(dāng)t∈［ti，Si］時(shí)，即時(shí)庫存水平I（t）的變化可表示為：

當(dāng)t∈［Si，Ti］時(shí)，有：

求解微分方程（5）-（8），分別得到：

此外，由（6）式中的初始條件I（ti）=0，得到：

將（4）代入，化簡可得：

同理，由（8）式中I（Ti）=0，得到

由（9）可求得，在時(shí)間段［Ti-1，t′i］內(nèi)總的庫存量為：

由（10）求得時(shí)間段［t′i，ti］內(nèi)總的庫存量為：

由（11）和（12）求得時(shí)間段［ti，Si］和［Si，Ti］內(nèi)總的缺貨量分別為：

再由（4）、（13）和（14）知變量t′i、ti、Si和Ti均可由r和p來表示，因此問題可重新表述為對(duì)有限時(shí)域內(nèi)的周期數(shù)n、服務(wù)水平r和產(chǎn)品價(jià)格p的決策。下面以n，r和p為決策變量進(jìn)行分析。

（i）由（4），（15）和（16）可知，在第i個(gè)周期內(nèi)總的庫存量Invi為：（ii）由（4），（17）和（18）可知，在第i個(gè)周期內(nèi)總的缺貨量Shori為：

其中：

（iii）此外，在第i個(gè)周期內(nèi)損失的銷售量Losti為：

（iv）在第i個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品總量prodi為：

（v）在第i個(gè)周期內(nèi)變質(zhì)的產(chǎn)品總量為：θInvi

綜上可知，在整個(gè)時(shí)域［0，H］內(nèi)，構(gòu)成系統(tǒng)利潤函數(shù)的各組成要素分別為：

（i）生產(chǎn)準(zhǔn)備成本：n A

因此，系統(tǒng)在時(shí)域［0，H］內(nèi)的平均利潤可以表示為：

AP=（收益-生產(chǎn)準(zhǔn)備成本-生產(chǎn)成本-持有成本-變質(zhì)成本-缺貨成本-機(jī)會(huì)成本）/H

從而：

由此，本文所討論的問題可表述為：

max AP（r，p）

其中Pm是一個(gè)常數(shù)，表示在定價(jià)決策中產(chǎn)品價(jià)格的上限，可根據(jù)市場情況要求銷售經(jīng)理具體給定。在模型（19）中r和p是顯性變量，而ki和di是關(guān)于r和p的函數(shù)，屬于隱性變量?？梢钥闯觯Ｐ停?9）屬于目標(biāo)函數(shù)為多變量非線性函數(shù)且約束條件為不等式的規(guī)劃問題，而Box復(fù)合算法［17］正是一個(gè)對(duì)非線性目標(biāo)函數(shù)和非線性不等式約束條件的優(yōu)化問題非常有效的順序搜索技術(shù)，并且無需像經(jīng)典的優(yōu)化技術(shù)那樣計(jì)算導(dǎo)數(shù)。此外，因?yàn)槌跏荚O(shè)定的點(diǎn)隨機(jī)分布在整個(gè)可行域范圍內(nèi)，所以這一過程能夠獲得全局最大值。因此，本文運(yùn)用Box復(fù)合算法對(duì)模型（19）進(jìn)行求解。

4 算法

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)為多變量非線性函數(shù)且約束條件

其中，隱性變量XN+1，...，XM是顯性獨(dú)立變量X1，X2...，XN的函數(shù)。約束條件的上下限Hk和Gk均為常數(shù)。

用Box復(fù)合算法求解（20）的具體步驟為：

（1）生成由k（k≥N+1）個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的初始結(jié)構(gòu)。這k個(gè)點(diǎn)包含一個(gè)初始可行點(diǎn)和k-1個(gè)附加點(diǎn)，其中k-1個(gè)附加點(diǎn)是由隨機(jī)數(shù)和每個(gè)獨(dú)立變量的約束條件產(chǎn)生的，可由下面的式子表示：

其中Ri，j是0-1之間的隨機(jī)數(shù)。

（2）以上選擇的點(diǎn)必須滿足所有顯性和隱性約束條件。在任意時(shí)刻，如果選定的點(diǎn)不滿足顯性約束條件，那么將該點(diǎn)向相應(yīng)范圍內(nèi)移動(dòng)δ；如果不滿足隱性約束條件，則將該點(diǎn)移動(dòng)距剩余點(diǎn)的中心一半的距離，即：

這個(gè)過程不斷重復(fù)，直到滿足所有的隱性約束條件。

（3）分別在每個(gè)點(diǎn)處都計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的值。取到最小函數(shù)值的點(diǎn)向剩余點(diǎn)的中心移動(dòng)α倍的該點(diǎn)到剩余點(diǎn)的中心的距離，即：

（4）若在連續(xù)的試驗(yàn)中，某點(diǎn)持續(xù)取得最小的函數(shù)值，則將該點(diǎn)移動(dòng)距剩余點(diǎn)的中心一半的距離。

（5）檢驗(yàn)新產(chǎn)生的點(diǎn)是否滿足約束條件，如果不滿足，則返回第2步；如果滿足則到第6步。

（6）當(dāng)每個(gè)點(diǎn)到所有點(diǎn)的中心的距離都小于等于ε（ε是預(yù)先給定的一個(gè)精確度）時(shí)，則認(rèn)為函數(shù)收斂。

（7）結(jié)束。

5 算例

這一節(jié)主要是模型的求解，分別考慮需求隨時(shí)間增大和減小兩種不同的模式，即b＞0和b＜0。

（1）需求隨時(shí)間增大（b＞0）

令R=300件/月，H=6個(gè)月，A=120元，Cp= 6元/件，Cd=0.4元/件，Ch=0.3元/件/月，Cs= 4.5元/件，Co=5元/件，a=100件，b=4件，c=-3件，K0=0.9，K1=0.6，θ=0.05，Pm=30元。如表1所示，有限時(shí)域內(nèi)的最優(yōu)周期數(shù)為n*=7，最優(yōu)服務(wù)水平為r*=0.872，產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)為p*= 16.705以及最優(yōu)策略下系統(tǒng)的最優(yōu)平均利潤為AP*=1342.6。

表1 需求隨時(shí)間增大模式下的最優(yōu)解(b＞0)

（2）需求隨時(shí)間減?。╞＜0）

為了保證兩種需求模式具有可比性，我們使其它參數(shù)的取值保持不變，令b=-4件，如表2所示，相應(yīng)的最優(yōu)周期數(shù)為n*=1，最優(yōu)服務(wù)水平為r*= 0.832，產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)為p*=17.185，最優(yōu)策略下系統(tǒng)的最優(yōu)平均利潤為AP*=308.267。

表2 需求隨時(shí)間減小模式下的最優(yōu)解(b＜0)

圖2和圖3分別給出了在兩種需求模式的最優(yōu)策略下，庫存水平隨時(shí)間的變化情況，橫軸表示時(shí)間，縱軸表示庫存水平。

當(dāng)b＞0時(shí)，系統(tǒng)的最優(yōu)周期數(shù)為7；當(dāng)b＜0時(shí)，最優(yōu)周期數(shù)為1。如果需求隨時(shí)間增大（b=4時(shí)），如圖2所示，最優(yōu)的生產(chǎn)策略是多安排幾次生產(chǎn)（n =7）且每次生產(chǎn)較少的量（每次生產(chǎn)補(bǔ)充庫存到達(dá)的水平均在30-40件之間）；此外，隨著需求的不斷

圖2 b＞0時(shí)有限時(shí)域內(nèi)庫存隨時(shí)間的變化

圖3 b＜0時(shí)有限時(shí)域內(nèi)庫存隨時(shí)間的變化

增大，每個(gè)周期的最大庫存水平也不斷增大。如果需求隨時(shí)間減?。╞=-4時(shí)），如圖3所示，則最優(yōu)的生產(chǎn)策略是安排較少的生產(chǎn)次數(shù)（n=1），但每次生產(chǎn)較多的量（一次生產(chǎn)使庫存水平達(dá)到約180件）。同時(shí)，我們也可以發(fā)現(xiàn)需求隨時(shí)間減小時(shí)的最大缺貨量（約為20件）遠(yuǎn)大于需求隨時(shí)間增大時(shí)的最大缺貨量（平均約為5-6件）。

6 靈敏度分析

這一節(jié)主要分析兩種需求模式下（b＞0和b＜0）相關(guān)參數(shù)變化的靈敏度。在給定其它參數(shù)不變的情況下，每次僅改變指定參數(shù)的值，變化程度為分別增加50%和25%以及減少25%和50%。兩種需求模式下的相應(yīng)參數(shù)變化時(shí)最優(yōu)解的靈敏度變化情況分別見表3和表4。在表3與表4中“參數(shù)取值”、“n*”、“r*”、“p*”和“AP*”各列分別表示相應(yīng)參數(shù)下的最優(yōu)解，為了容易觀察參數(shù)變化的靈敏度，我們?cè)谕粋€(gè)表格中分別用“參數(shù)變化（%）”、“r*（%）”、“p*（%）”和“AP*（%）”各列表示與之對(duì)應(yīng)的百分比變化情況。

由表3，當(dāng)需求隨時(shí)間逐漸增大，即b＞0時(shí)：

（1）有限時(shí)域內(nèi)的最優(yōu)周期數(shù)（n*）隨著有限時(shí)域（H）、基本需求（a）和需求對(duì)時(shí)間的靈敏度（b）的減小而減??；而隨著價(jià)格對(duì)需求的影響度（｜c(diǎn)｜）以及產(chǎn)品的變質(zhì)率（θ）的減小而增加。又因?yàn)閍和b的減小都會(huì)使需求下降，而｜c(diǎn)｜的減小弱化了價(jià)格對(duì)需求的影響，相對(duì)而言增加了產(chǎn)品的需求，可見，最優(yōu)周期個(gè)數(shù)隨著需求的增加而增加、隨著需求的減小而減小。

（2）最優(yōu)服務(wù)水平r*和最優(yōu)定價(jià)p*對(duì)參數(shù)a、c和θ的取值變化比較敏感。

表3 需求隨時(shí)間增大模式下的最優(yōu)解靈敏度分析(b＞0)

表4 需求隨時(shí)間減小模式下的最優(yōu)解靈敏度分析(b＜0)

（3）當(dāng)基本需求（a）增加50%時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平（r*）下降11%，而最優(yōu)定價(jià)（p*）增加26%并且系統(tǒng)平均利潤（AP*）增加96%；當(dāng)基本需求（a）減少50%時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平（r*）需提升8%，而最優(yōu)定價(jià)（p*）需降低21%，同時(shí)系統(tǒng)平均利潤（AP*）也將下降73%。這說明需求的變化對(duì)系統(tǒng)采取的策略有重要影響，當(dāng)需求較大時(shí)可以適當(dāng)降低對(duì)服務(wù)水平的要求，提高單位定價(jià)來追求更高的邊際收益，從而獲得更多的利潤；當(dāng)需求較小時(shí)要通過降低價(jià)格和提升服務(wù)水平來吸引并留住顧客，從而增加收益。

（4）當(dāng)價(jià)格對(duì)需求的影響度（｜c(diǎn)｜）增加50%時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平（r*）增加8%，最優(yōu)定價(jià)（p*）降低21%，同時(shí)系統(tǒng)平均利潤（AP*）也減少32%；而當(dāng)｜c(diǎn)｜減少50%時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平（r*）將降低15%，最優(yōu)定價(jià)（p*）增加32%，此時(shí)系統(tǒng)平均利潤（AP*）增加59%。與現(xiàn)實(shí)情況相符，當(dāng)系統(tǒng)的定價(jià)對(duì)需求的影響較大時(shí)，系統(tǒng)將采取提升服務(wù)水平和降低價(jià)格的策略；而當(dāng)價(jià)格對(duì)系統(tǒng)需求的影響較小時(shí)，系統(tǒng)將通過降低服務(wù)水平且提高價(jià)格的策略來增加系統(tǒng)利潤。

（5）當(dāng)產(chǎn)品的變質(zhì)率（θ）增加50%時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平（r*）將下降5%，產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)（p*）提高13%，同時(shí)系統(tǒng)平均利潤（AP*）將減少26%；反之，當(dāng)產(chǎn)品的變質(zhì)率（θ）減少50%時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平（r*）將提升8%，產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)（p*）將需降低21%，而系統(tǒng)的平均利潤（AP*）將增加116%。由此可見，產(chǎn)品的變質(zhì)特性對(duì)庫存和定價(jià)策略將產(chǎn)生重要的影響，并在很大程度上影響著系統(tǒng)的利潤。對(duì)于高變質(zhì)性產(chǎn)品來說，系統(tǒng)可通過降低服務(wù)水平即延長缺貨時(shí)間來減少在庫產(chǎn)品的數(shù)量，通過延遲交付策略使產(chǎn)品能夠被及時(shí)消費(fèi)，從而減少由變質(zhì)帶來的損失；同時(shí)也可以通過提高產(chǎn)品價(jià)格來補(bǔ)償對(duì)持有高變質(zhì)產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)及機(jī)會(huì)成本。對(duì)于變質(zhì)率比較小的產(chǎn)品而言，系統(tǒng)應(yīng)采取的最優(yōu)策略是通過提高顧客的服務(wù)水平和降低產(chǎn)品價(jià)格盡可能地吸引更多的顧客，從而增加系統(tǒng)收益。

由表4，當(dāng)需求隨著時(shí)間的變化逐漸減小，即b＜0時(shí)：

（1）最優(yōu)服務(wù)水平r*、最優(yōu)定價(jià)p*以及平均利潤AP*對(duì)參數(shù)a和c的取值變化表現(xiàn)敏感，并且與b＞0時(shí)的變化情況相似。

（2）當(dāng)參數(shù)b和θ的取值發(fā)生變化時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平r*、最優(yōu)定價(jià)p*以及平均利潤AP*的變化都不靈敏，這與b＞0時(shí)的情況不同。也就是說，當(dāng)產(chǎn)品的需求隨著時(shí)間的變化逐漸減小時(shí)（比如時(shí)令性很強(qiáng)的服裝在季末銷售時(shí)），變質(zhì)率對(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)策略影響不大。

此外，對(duì)比分析表3和表4中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，得到下面的結(jié)論：

（1）隨著有限時(shí)域的延長，當(dāng)需求隨時(shí)間增大時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平逐漸提升、產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)逐漸降低、系統(tǒng)的平均利潤逐漸增加；而當(dāng)需求隨時(shí)間減小時(shí)，最優(yōu)服務(wù)水平逐漸下降、產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)逐漸提高、系統(tǒng)的平均利潤逐漸減少，即隨著有限時(shí)域的延長，最優(yōu)服務(wù)水平、產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)和系統(tǒng)的平均利潤在兩種需求模式下的變化方向恰好相反。另外，比較兩種需求模式下對(duì)應(yīng)結(jié)果的靈敏度發(fā)現(xiàn)：對(duì)有限時(shí)域的變化，兩種模式下的最優(yōu)定價(jià)均表現(xiàn)出不敏感，最優(yōu)服務(wù)水平的變化在b＜0的情況下比b＞0時(shí)敏感，與之相反，平均利潤的變化在b＞0的情況下比b＜0時(shí)敏感。

（2）當(dāng)產(chǎn)品的有限時(shí)域較短時(shí)，需求隨時(shí)間減小模式下的最優(yōu)定價(jià)要低于需求隨時(shí)間增大模式下的定價(jià)，也就是說對(duì)于某類有限時(shí)域或銷售時(shí)期較短的產(chǎn)品而言，處于衰退期的定價(jià)要低于成長期的定價(jià)。滿足此類定價(jià)模式的產(chǎn)品有手機(jī)、電腦、MP3/ MP4等技術(shù)更新較快的IT類產(chǎn)品。當(dāng)有限時(shí)域比較長時(shí)，需求隨時(shí)間減小的模式下產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)要高于需求隨時(shí)間增大的模式。這也說明當(dāng)產(chǎn)品處于成長期時(shí)，要通過較低的定價(jià)來獲得更多的需求，從而增加收益；而當(dāng)產(chǎn)品處于衰退期或在銷售季末時(shí)，最優(yōu)的策略是采取較高的定價(jià)來增加單位產(chǎn)品的收益。在現(xiàn)實(shí)生活中也存在適用此類定價(jià)模式的相應(yīng)產(chǎn)品，如水果、蔬菜等時(shí)令性很強(qiáng)的產(chǎn)品或以這些產(chǎn)品為原材料生產(chǎn)的其它產(chǎn)品，隨著季節(jié)的來臨需求不斷增加，同時(shí)市場上產(chǎn)品的價(jià)格也相對(duì)較低，但當(dāng)處于銷售季末或過季時(shí)，需求不斷減小同時(shí)市場價(jià)格卻有所提高。

（3）當(dāng)產(chǎn)品的變質(zhì)率較大時(shí)，需求隨時(shí)間減小模式下的定價(jià)要低于需求隨時(shí)間增大模式下的定價(jià)；而當(dāng)產(chǎn)品的變質(zhì)率較小時(shí)，卻是需求隨時(shí)間減小模式下的定價(jià)高于需求隨時(shí)間增大模式下的定價(jià)。換句話說，對(duì)于高變質(zhì)類產(chǎn)品，如果處于銷售季末或生命周期末，系統(tǒng)的最優(yōu)定價(jià)是采取比銷售季初或生命周期初時(shí)低的價(jià)格，以便吸引更多的需求、盡早減少持有庫存，從而降低由變質(zhì)帶來的損失；對(duì)于低變質(zhì)性產(chǎn)品（或極端情況下的不發(fā)生變質(zhì)的產(chǎn)品），銷售季末的最優(yōu)定價(jià)要比季節(jié)初時(shí)的定價(jià)更高一點(diǎn)。

7 結(jié)語

在產(chǎn)品的銷售周期越來越短和變質(zhì)越來越常見的市場背景下，本文考慮了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)變質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)-定價(jià)問題，假設(shè)需求與時(shí)間和銷售價(jià)格均線性相關(guān)，允許缺貨且部分延遲訂購，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建模型并通過數(shù)值方法給出特定參數(shù)條件下模型的最優(yōu)解。此外，在算例中，考慮了需求隨時(shí)間增大和減小兩種不同的需求模式，并分別對(duì)這兩種模式下參數(shù)的靈敏度進(jìn)行了分析和比較，我們發(fā)現(xiàn)需求模式的不同對(duì)有限時(shí)域內(nèi)的最優(yōu)生產(chǎn)策略及系統(tǒng)收益有較大影響。生產(chǎn)商可據(jù)此在不同的市場環(huán)境下調(diào)整自己的策略，當(dāng)市場需求隨時(shí)間增大時(shí)（如處于成長期的產(chǎn)品），可采用小批量多批次的生產(chǎn)方式，根據(jù)市場需求的變化靈活地決定每次的生產(chǎn)量；當(dāng)市場需求隨時(shí)間減小時(shí)（如處于衰退期的產(chǎn)品），建議生產(chǎn)商安排較少的生產(chǎn)周期，同時(shí)增大每次的生產(chǎn)量，即大批量小批次，由此可以減少由機(jī)器啟動(dòng)帶來的生產(chǎn)準(zhǔn)備成本。此外，對(duì)于不同性質(zhì)的產(chǎn)品其定價(jià)策略在不同需求模式下也各有不同。與產(chǎn)品處于成長期或銷售季節(jié)開始時(shí)相比較，如果某類產(chǎn)品的有限時(shí)域較短或變質(zhì)率比較大，則在衰退期或銷售季末應(yīng)采用降價(jià)的策略來消除庫存、減少損失；相反，如果產(chǎn)品的有限時(shí)域較長或變質(zhì)率不大，則在衰退期或銷售季末可通過適當(dāng)提升產(chǎn)品價(jià)格來增加邊際收益。

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A Production-pricing Strategy for Deteriorating Items with Partial Backlogging Over a Finite Horizon

DUAN Yong-rui，LI Gui-ping，HUO Jia-zhen
（School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China）

With the development of science and technology，the upgrade rate of products is faster than ever，and the trend of popularity varies continuously.All of these lead to the shorter sales period and production planning horizon.In addition，more and more products are possessed of the characteristic of perishability and limited lifetime.Therefore，the influence of the sales period and perishability of the products on the production planning and pricing cannot be neglected anymore.The issue of joint production planning and pricing decision for perishable items over a finite horizon is studied in this paper.The finite horizon，H，is divided into several cycles with the same interval，and the length of each cycle is H/n.The production rate，R and the deterioration rate，θ，are constants.The demand rate of the products denoted by D（t，p）is dependent on time and price linearly，and D（t，p）=a+bt+cp（a≥0，b≠0，c＜0）.The unsatisfied demand is partially backlogged，and the backlogging rate B（τ）=K0e-K1τ，＜1，k1≥0.The aim of this paper is to find a joint production and pricing policy maximizing the average profit over the finite horizon.The Box complex algorithm is presented to obtain the optimal solution of the proposed model.To illustrate the effectiveness of the model and algorithm，some numerical examples are presented and two demand patterns are considered respectively：the demand is increasing or decreasing over time.The optimal production and pricing policies in the two situations are developed through the Box complex algorithm.It is indicated that for products in the growth stage or at the beginning of sales season，the system should adopt the‘low-volume multi-batch'mode of production.However，for products in the decline stage or at the end of the sales season，‘multi-volume small batch'mode of production is preferred.In addition，the pricing strategies for products with different characteristics and demand patterns are different.For products with shorter sale horizon or higher deterioration rate，the price in the decline stage or at the end of the sales season is lower than that in the growth stage or at the beginning of sales season；however，for products with longer horizon or lower deterioration rate，the price in the decline stage or at the end of the sales season is higher than that in the growth stage or at the beginning of sales season.The model and algorithm addressed in this paper can be used to help making joint decision of production planning and pricing for enterprise producing perishable items.

finite horizon；deteriorating items；partial backlogging；production；pricing

F273.2

：A

1003-207(2014)01-0094-10

2012-02-26；

2013-01-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71002020，71371139）；上海浦江人才計(jì)劃（12PJC069）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金

段永瑞（1975-），女（漢族），山西太原人，同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，副教授，研究方向：供應(yīng)鏈管理、服務(wù)運(yùn)作管理.