基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價與數(shù)值模擬

程 鋮，石曉軍，張順明

（1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，北京100191；2.中國人民大學(xué)財政金融學(xué)院，北京100872）

基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價與數(shù)值模擬

程 鋮1，石曉軍2，張順明2

（1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，北京100191；2.中國人民大學(xué)財政金融學(xué)院，北京100872）

巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)是最重要的巨災(zāi)衍生工具之一，在我國有很好的發(fā)展前景。但巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在我國推廣的一個主要技術(shù)障礙是，在信息較少的情況下，如何對巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)進行快速的定價。本文提出了一種基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價的解析表達公式，區(qū)別于以往文獻采用亞式期權(quán)或隨機時間變化的方法。這個方法的優(yōu)勢在于能夠反映巨災(zāi)指數(shù)的跳躍性、兩部性（損失期和延展期）、上界性特點。同時，Esscher變換的無套利等價性也賦予該方法堅實的理論基礎(chǔ)，有較好的延展性，可以使用多種分布過程。首先，具體給出漂移泊松、漂移伽馬和維納過程條件下的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價公式。通過數(shù)值模擬分析結(jié)果與Black-Scholes公式結(jié)果及巨災(zāi)指數(shù)歷史數(shù)據(jù)的對比，認為基于漂移伽馬過程的定價結(jié)果能更好地反映巨災(zāi)指數(shù)的特點。最終，指出了巨災(zāi)指數(shù)的開發(fā)和本文提出的方法在中國具有很好的應(yīng)用前景。

巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)；Esscher變換；漂移伽馬過程

1 引言

在我國，2008年汶川地震共計87150人死亡和失蹤，直接經(jīng)濟損失達到8451億元人民幣，直至2009年5月12日保監(jiān)會宣布這次地震的保險理賠基本完成，合計理賠16.6億元［1］。損失和理賠的巨大差異揭示了我國巨災(zāi)保險的空白，而究其原因是再保險無法滿足巨災(zāi)風(fēng)險分散的要求。面對同樣的問題，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)等衍生工具在國外已經(jīng)成為了重要的巨災(zāi)風(fēng)險管理工具。但在我國推行巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的一個技術(shù)性的障礙是如何在信息比較少的條件下，對巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)進行快速有效的估價。文獻中已有的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價方法對參數(shù)和計算的要求都比較高，這些方法在目前狀況下不利于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在我國的推行。

本文的目的是提出一種新的快速且有堅實理論基礎(chǔ)的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價方法——基于保險精算中Esscher變換的方法，給出以巨災(zāi)指數(shù)為標的的巨災(zāi)期權(quán)定價的一種解析解。還運用了多種能夠體現(xiàn)巨災(zāi)特點的分布過程對巨災(zāi)期權(quán)分別進行定價。結(jié)合PCS巨災(zāi)損失指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)對多種分布情況下的定價結(jié)果進行了數(shù)值模擬比較，認為基于伽馬分布純跳過程的定價結(jié)果是比較理想的巨災(zāi)期權(quán)定價公式。

關(guān)于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價已經(jīng)有相當(dāng)多的相關(guān)研究。第一類方法是將巨災(zāi)期權(quán)看成亞式期權(quán)［2］。這種方法早期研究的主要缺點是沒有考慮指數(shù)隨機跳躍，Cummins和German［3］加入了跳躍，但他們只考慮了損失期中的跳躍，而忽略了延展期中指數(shù)跳躍的可能。這類文獻最新的進展是Chang，Chang和Lu［4］提出了基于亞式期權(quán)的兩步二叉樹方法，但是這種方法也未能完整考慮巨災(zāi)損失指數(shù)的在不同期間的跳躍性。第二類方法是隨機時間變換方法。Geman和Yor［5］建立了一個隨機時間變化定價模型，該模型雖然考慮了指數(shù)跳躍等因素，但最終也只給出了一個準解析解。Chang等［6］給出的方法必須基于標的資產(chǎn)期貨的交易時間，適用范圍有限。Biagini，Bregman和Meyer-Brandis［7］假設(shè)巨災(zāi)指數(shù)在損失期服從復(fù)合泊松過程，而在延展期服從Lévy過程。Wu Yangche等［8］采用了雙隨機泊松過程，只是在他們的模型中，強度系數(shù)服從均值回復(fù)過程。第三類方法是采用保險精算的方法。Aase［9］以指數(shù)效用最大化的方法給巨災(zāi)期貨及其衍生品定價，并采用了含有隨機跳躍規(guī)模的復(fù)合泊松過程描述動態(tài)的指數(shù)標的資產(chǎn)。Aase［10］又提出了標的資產(chǎn)在離散狀態(tài)空間下服從連續(xù)時間馬爾科夫過程，同時含有任意時間點發(fā)生的任意損失規(guī)模的跳躍的定價理論，這兩種方法的缺陷是都規(guī)定了保險市場中所有參與者具有相同的效用函數(shù)、風(fēng)險厭惡程度恒定。Young和Zariphopoulou［11-12］、Hobson和Henderson［13］、Lim等［14］和Elliott和Siu［15］采用效用理論無差價定價方法。Chen等［16］提出了一種新的效用函數(shù)，SAHARA效用函數(shù)。但是，最近的文獻Ikefuji［17］指出效用最大化方法在求解巨災(zāi)期權(quán)價格的時候是十分脆弱的。國內(nèi)研究中，尚勤等［18］用泊松跳躍過程刻畫死亡率，利用王變換對巨災(zāi)死亡率債券進行定價。丁波、巴曙松［19］構(gòu)建了中國地震巨災(zāi)期權(quán)定價模型用有效矩估計法對期權(quán)收益率進行了估計。

上述文獻中，類似亞式期權(quán)方法未能很好地處理巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的“兩部性”；時變方法在處理跳躍性、兩部性方法有很大進步，但是常常難以得到解析解；基于效用的方法將個人的行為引入，但是，對個體面對巨災(zāi)的效用函數(shù)形式是什么還有很大的爭論，因而被認為是比較脆弱的方法。事實上，就本文研究的PCS巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)還有另外一個重要特征——雙重上限性——需要考慮。而這個特性在上述文獻中沒有得到體現(xiàn)。

本文另辟蹊徑，提出基于Esscher變換的技術(shù)手段對巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價。該方法能處理巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的三個關(guān)鍵特征：跳躍性、兩部合約期（損失期和延展期）、雙重上限性（低上限、高上限）。我們的方法的優(yōu)勢是假設(shè)少且可得到解析解，便于實際中的快速使用；具有很好的延展性，能夠運用多種過程模擬的損失指數(shù)。而在理論上，Esscher變換方法隱含著無風(fēng)險套利的假設(shè)。Buhlmann［20］首先提出了使用Esscher變換來確定等價鞅測度的方法，由于Esscher變換具有唯一對應(yīng)性，所以使用這個方法可以得到一個唯一的等價鞅測度。Esscher變換的這個基礎(chǔ)保證了我們的方法有著堅實的理論基礎(chǔ)。在這個方面，Mürmann［21-23］與我們相似。但是Mürmann的文中假設(shè)指數(shù)服從帶有跳躍的復(fù)合泊松分布，而忽略了損失期與延展期的區(qū)別，使之不能回答巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在延展期的定價問題。

2 模型

（1）巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的主要特點

一個有效的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價要能體現(xiàn)出這類期權(quán)的主要特征。下面，以著名的PCS（Property Claim Services）巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)為例描述主要特征。根據(jù)PCS公司定義，巨災(zāi)是指當(dāng)風(fēng)險事故發(fā)生時，導(dǎo)致承保財產(chǎn)的損失超過2500萬美元以上的災(zāi)害。PCS巨災(zāi)損失指數(shù)是由損失額除以一億美元獲得，PCS巨災(zāi)期權(quán)是以該指數(shù)為標的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，Cante［24］，Davis［25］，F(xiàn)root［26］和Hoyt［27］中有詳細介紹。與普通歐式期權(quán)相比，它的第一個特點在于PCS巨災(zāi)損失指數(shù)具有跳躍性和不連續(xù)性，與B-S公式中的布朗運動假設(shè)不同。假設(shè)t時刻的巨災(zāi)損失指數(shù)為L（t），令X（t）為指數(shù)的增長率，即L（t）=L（0）eX（t），其中t≥0。

其次，根據(jù)交易規(guī)則PCS巨災(zāi)期權(quán)的整個合約期間被分為損失期和延展期兩部分，損失期分為3個月或12個月，延展期分為6個月或12個月，在不同期間內(nèi)損失指數(shù)的變化應(yīng)遵循不同的過程。不妨假設(shè)［0，T1］為損失期，［T1，T2］為延展期，A（t）與B（t）是兩個相互獨立的平穩(wěn)獨立增量過程，分別描述了在損失期和延展期的損失指數(shù)的增長。若定價時刻在損失期內(nèi)，則令X（t）=A（t），且有X（0）=A（0）=0；若定價時刻在延展期內(nèi)，則X（t）為兩個獨立增量過程之和，即X（t）=A（T1）+B（t-T1）。因此，合約到期時指數(shù)的增長率可以表示為：

請注意，當(dāng)t∈［0，T1］時，從t到到期時刻T2跨越了損失期和延展期，因而到期時損失指數(shù)的增長率是A（T1-t）+B（T2-T1）；而t∈［T1，T2］時，從t到到期時刻T2都處于延展期，故到期損失指數(shù)的增長率是B（T2-t）。

根據(jù)（1）利用連續(xù)復(fù)合增長率的公式，容易得到到期時的標的巨災(zāi)損失指數(shù)為：

最后，PCS巨災(zāi)期權(quán)還有上限期權(quán)的特點，它的上限有兩種，低上限（small cap）是損失指數(shù)不超過195點，高上限（large cap）則是指損失指數(shù)在200至495之間。保險人可以根據(jù)以往巨災(zāi)損失的情況，選擇一檔上限。我們設(shè)上限H=200或500。則執(zhí)行價格為K的PCS巨災(zāi)期權(quán)的看漲期權(quán)到期收益為：

這個式子體現(xiàn)的經(jīng)濟含義是，為了控制巨災(zāi)期權(quán)合約的違約風(fēng)險，將最大交割的價格限定為H，當(dāng)損失指數(shù)L（T2）超過H，只需要支付H-K。

（2）基于Esscher變換的巨災(zāi)期權(quán)定價的一般形式

Buhlmann［20］已證明可以得到用Esscher變換表示的唯一等價鞅測度。關(guān)于Esscher變換的基本內(nèi)容在Beard［28］，Beekman［29］，Breiman［30］，F(xiàn)eller［31］，Huebner［32］，Jensen［33］和Seal［34］中有詳細的敘述。根據(jù)金融經(jīng)濟學(xué)基本定理，金融資產(chǎn)的價格可以表示為等價鞅測度下以無風(fēng)險利率折現(xiàn)的未來收益。在本文中有：L（t）=E*t［e-r（T2-t）L（T2）］，這里“*”表示經(jīng)過Esscher變換后獲得的風(fēng)險中性等價鞅測度，其中r為無風(fēng)險利率。也就是，在Esscher變換后的修正概率測度下，標的損失指數(shù)可以表示為合約期末指數(shù)的期望用無風(fēng)險利率直接折現(xiàn)。因而對于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)，在t時刻的巨災(zāi)指數(shù)可以表示為：

經(jīng)過化簡，式（4）可以表示為：

這里我們假設(shè)MA［z，T1-t；h*1］表示經(jīng)過Esscher變換的參數(shù)為h*1，隨機過程A（T1-t）的矩母函數(shù)；相應(yīng)的MB［z，T2-T1；h*1］為經(jīng)過Esscher變換的參數(shù)為h*1，隨機過程B（T2-T1）的矩母函數(shù)，而MB［z，T2-t；h*2］為經(jīng)過Esscher變換的參數(shù)為h*2，隨機過程B（T2-t）的矩母函數(shù)。由于A（T1-t）與B（T2-T1）是相互獨立的，當(dāng)z=1時，所以式（5）可以改寫為：

由于定價時既可以是合約的損失期也可以是延展期，因而我們對于兩種情況分別討論：

（1）若定價處于合約的損失期時，即t∈［0，T1］。我們假設(shè)T1-t=u，這里的u∈［0，T1］。根據(jù)習(xí)慣，F(xiàn)（x）和f（x）分別表示概率分布和概率密度函數(shù)，令F（x，t；h）與f（x，t；h）分別表示某一隨機過程在參數(shù)為h的Esscher變換下的累積概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。另外，為簡潔起見，記ln［H/L（t）］=m，ln［K/L（t）］=n。

因為期權(quán)價格等于到期收益的期望通過無風(fēng)險利率r折現(xiàn)，所以用C（t）表示t時刻的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)價格為C（t）=e-r（T2-t）E*t［VC（T2）］。根據(jù)式（5）與式（6）可以得到以下結(jié)果：

記損失指數(shù)的聯(lián)合分布為FX=FAFB，上式可以簡寫為：

對本式經(jīng)濟含義的理解，在后面進行簡單變形后（見10式）加以解釋。

（2）若定價處于合約的延展期，即t∈［T1，T2］。我們假設(shè)T2-t=v，其中v∈［0，T2-T1］。同理可以證明此時的期權(quán)價格為C（t）=

綜上所述，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的看漲期權(quán)定價公式

可以表示為：

同時，式（9）還可以改寫為：

下面來理解（10）式的經(jīng)濟含義。我們以t∈［0，T1］為例加以說明。首先，我們要理解的是，上面的結(jié)果是在一個新的概率測度下的結(jié)果。FX（m，T2-t；h*1+1）-FX（n，T2-t；h*1+1）本質(zhì)上表示在新的概率測度（即以參數(shù)為h*1+1的Esscher變換）下，巨災(zāi)損失指數(shù)超過執(zhí)行價格K同時小于上限額H的概率（要注意到ln［H/L（t）］=m，ln［K/L（t）］=n）。FX（m，T2-t；h*1）-FX（n，T2-t；h*1）是在參數(shù)為h*1的Esscher變換下，巨災(zāi)損失指數(shù)超過執(zhí)行價格K同時小于上限額H的概率。而為了防止出現(xiàn)違約而設(shè)定的上限決定了巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的到期收益只包括限額與執(zhí)行價格之間的部分，因為超過限額的部分以限額計算。這樣，就有公式的第三項e-r（T2-t）（H-K）［1-FX（m，T2-t；h*1）］，即超過限額時獲得的收益固定為H-K，相應(yīng)的風(fēng)險中性概率為1-FX（m，T2-t；h*1）。綜合以上分析，上述公式表明，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在t時刻的價格由兩部分組成：第一，巨災(zāi)指數(shù)乘以其超過執(zhí)行價格K且同時小于限額H 的風(fēng)險中性概率，減去執(zhí)行價格乘以指數(shù)到期時超過執(zhí)行價格K小于限額H 的風(fēng)險中性概率的現(xiàn)值；第二，巨災(zāi)指數(shù)超過限額H時的概率乘以限額與執(zhí)行價格K之差的現(xiàn)值。

3 具體分布下的定價模型

在（10）式的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的一般定價公式中，參數(shù)h*還沒有具體確定。根據(jù)不同的概率分布可以確定各自h*，從而進一步獲得期權(quán)價格的確切的解析表達式。

在獲得一般定價公式的過程中，注重的是對巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的兩部性（即有損失期和延展期）以及上限特性。但是，對巨災(zāi)指數(shù)的統(tǒng)計特性還沒有很好地考慮。在設(shè)定具體分布時，考慮到巨災(zāi)的跳躍性和厚尾特性，我們選擇漂移泊松過程和漂移伽馬過程。

（1）漂移泊松過程

因為巨災(zāi)的發(fā)生具有偶然性，因而巨災(zāi)發(fā)生后巨災(zāi)指數(shù)的變化也具有跳躍性和不連續(xù)性，所以這部分中，我用純跳躍過程模擬損失指數(shù)的移動。此時我假設(shè)A（u）=k NA（u）-cAu，B（v）=k NB（v）-cBv，其中NA（u）與NB（v）分別為均值為λAu與λBv的泊松過程，k，cA，cB為正常數(shù)。根據(jù)Esscher變換的定義，參數(shù)為h的獨立增量過程A（u）與B（v）的矩母函數(shù)分別為：

MA（z，u；h）=exp｛［λAehk（ezk-1）-cAz］u｝

MB（z，v；h）=exp｛［λBehk（ezk-1）-cBz］v｝

當(dāng)定價在損失期時，有：

故此時的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)價格為：

其中，Λ（x；λ）表示參數(shù)為λ的泊松分布累積概率函數(shù)。

同理，當(dāng)定價在延展期時，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價公式為：

（2）漂移伽馬過程

在這部分中，假設(shè)巨災(zāi)損失指數(shù)為連續(xù)變化的，但是為了體現(xiàn)出巨災(zāi)損失數(shù)額巨大的特點，我們選用具有厚尾的伽馬過程。依然令cA、cB為兩個正常數(shù)，假設(shè)A（u）=GA（u）-cAu，并且B（v）= GB（v）-cBv，GA（u）與GB（v）分別為參數(shù)是（αA，β）與（αB，β）的伽馬過程。根據(jù)Esscher變換的定義，參數(shù)為h的矩母函數(shù)為：

與漂移泊松過程的方法類似，當(dāng)定價在損失期時，因為：

因此：

我們設(shè)：

最后我們得到巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價公式為：

當(dāng)定價在延展期時，同理可得：

（3）維納過程

最后，為了方便與普通股票期權(quán)等作對比，也給出維納過程的公式，即該損失指數(shù)服從幾何布朗運動。分別假設(shè)A（u）～N（ηAu，σ2Au），B（v）～N（ηBv，σ2Bv），根據(jù)Esscher變換的定義，參數(shù)為h的矩母函數(shù)為：

當(dāng)t∈［0，T1］時，期權(quán)價格為：

其中，η1*=

當(dāng)t∈［T1，T2］時，期權(quán)價格為：

4 模擬分析

為了驗證基于Esscher變換模型的有效性，并檢驗不同分布對指數(shù)模擬的效果。本節(jié)將對不同分布進行數(shù)值模擬，比較其結(jié)果。首先利用PCS巨災(zāi)指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，比較分析三種分布的模擬效果。可以獲得1950年到2004年的年P(guān)CS巨災(zāi)指數(shù)，該數(shù)據(jù)來自ISO公司提供的調(diào)整后PCS巨災(zāi)指數(shù)，共55個樣本點，如圖1。從圖中可以看到，各個年份巨災(zāi)損失額度變化差異較大，從上世紀80年代后期，巨災(zāi)損失額度顯著增大，存在跳躍性。圖2給出了該指數(shù)增長率的分布直方圖和概率密度曲線?？梢杂嬎愠鲈撝笖?shù)增長率均值為0.1，標準差為1.05，偏度為0.26。方差遠遠大于均值，說明二項分布、伯努利分布等均值大于方差的分布是不適宜模擬巨災(zāi)風(fēng)險。偏度系數(shù)為正，表明該指數(shù)增長率為右偏分布，正態(tài)分布等對稱分布也不適合。圖2也清晰地表現(xiàn)出巨災(zāi)指數(shù)增長率呈現(xiàn)出右偏厚尾狀。

圖1 1950-2004年P(guān)CS巨災(zāi)指數(shù)

圖2 PCS巨災(zāi)指數(shù)增長率直方圖

為了進一步檢驗本文中列舉三種隨機過程的模擬效果，我們也分別作出具有與歷史數(shù)據(jù)相同均值、標準差的漂移泊松過程、漂移伽馬過程和維納過程。泊松過程和伽馬過程的取值范圍大于零，我們通過漂移項進行調(diào)整，使之與歷史數(shù)據(jù)的均值相等，而漂移項不影響隨機過程的方差。最終得到的三種隨機過程的密度函數(shù)曲線如圖3：

圖3 三種過程的密度函數(shù)

維納過程對稱分布與PCS指數(shù)增長率的右偏性不符，漂移泊松過程和漂移伽馬過程都是右偏分布，漂移伽馬過程拖尾更長，應(yīng)更適合于刻畫巨災(zāi)風(fēng)險的厚尾特征。下面的模擬計算顯示基于漂移伽馬過程的巨災(zāi)期權(quán)價格要遠高于基于漂移泊松過程和維納過程的結(jié)果。這個差異體現(xiàn)了厚尾特性帶來的影響。

下面我利用上述三種過程進行巨災(zāi)期權(quán)的理論價格的模擬計算。首先，假設(shè)初始時刻的損失指數(shù)L（0）=100，無風(fēng)險利率r=0.08，我們在模擬中此只計算低上限的情況，即H=200。雙重上限的情況只是計算更麻煩一些，在模擬方法和結(jié)果方面并無本質(zhì)區(qū)別?？紤]損失期為1年，延展期為6個月。同時我們假設(shè)延展期和損失期的指數(shù)分布的均值分別為ηA=0.1，ηB=0.2，令標準差為均值的2倍，分別為σA=0.2，σB=0.4，偏度系數(shù)分別為γA=1，γB=0.5。

經(jīng)過計算，漂移泊松過程的參數(shù)為λA=1，λB= 4，cA=0.1，cB=0.6，k=0.2，其模擬結(jié)果為：

表1 漂移泊松過程價格模擬結(jié)果

經(jīng)過計算，漂移伽馬過程的參數(shù)與其模擬結(jié)果分別為：

表2 漂移伽馬過程價格模擬結(jié)果

維納過程A（u）與B（v）是對稱分布的，且二者的均值都為0，相當(dāng)于只有一個參數(shù)σ2。令損失期的σA=0.2，延展期的σB=0.4。其模擬結(jié)果為

表3 維納過程價格模擬結(jié)果

因為巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)與普通期權(quán)的區(qū)別主要是其災(zāi)害發(fā)生的偶然性以及災(zāi)害發(fā)生后損失的跳躍性，因而為了比較巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)與普通歐式看漲期權(quán)的差異，我們先對期權(quán)應(yīng)用Black-Scholes公式進行定價。因為到期收益如下：

故t時刻期權(quán)的價值為：

其中Φ（x）表示標準正態(tài)分布函數(shù)，d1（y），d2（y）與B-S公式中相同，即：

根據(jù)Black-Scholes公式的定價結(jié)果為：

表4 Black-Scholes價格模擬結(jié)果

通過以上得出數(shù)值結(jié)果，可以看出巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)與普通期權(quán)一樣，若其他條件不變的情況下，隨著到期時間增大，期權(quán)的價值下降（圖4）；隨著執(zhí)行價格上升而價值減小（圖5）。

圖4 期權(quán)價格比較（K=100）

圖5 期權(quán)價格比較（t=0）

同時可以發(fā)現(xiàn)，Black-Scholes公式求得的結(jié)果與維納過程、漂移泊松過程的價值范圍大體相近，而漂移伽馬過程則遠遠大于它們。我們認為這是由于伽馬分布本身的厚尾特點決定的，厚尾分布大大提高了巨災(zāi)發(fā)生的概率，因而期權(quán)的價值顯著增大。

5 結(jié)語

從運用的角度來看，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價方法的巨大挑戰(zhàn)在于能夠同時處理巨災(zāi)指數(shù)的三個關(guān)鍵特征：跳躍性、兩部性（損失期和延展期）、上界性特點，同時又不能失之于過度繁難。就我們所知，文獻中的方法鮮有勝任。而在中國，由于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)尚付闕如，歷史信息積累少，這又進一步要求給出一個合理的分布假設(shè)，以簡化模型的使用。為此，本文提出了一種基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價方法，可以得到期權(quán)定價的解析解，使用簡單易行。而就分布假設(shè)而言，我們推薦使用漂移伽馬過程。通過與巨災(zāi)的歷史數(shù)據(jù)比較，該過程的厚尾特點更好地模擬了巨災(zāi)損失的特征。我們的模擬結(jié)果也表明它明顯優(yōu)于其他分布。

本文提出的方法在我國有實際應(yīng)用前景。我們建議由監(jiān)管部門（如保監(jiān)會）或權(quán)威的行業(yè)組織作為巨災(zāi)指數(shù)的發(fā)布機構(gòu)?？紤]到中國保險市場的高集中度，在計算巨災(zāi)指數(shù)時可以只參考前幾家保險公司的損失數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)時相對簡單。先計算每家保險公司一個季度或一年內(nèi)已經(jīng)發(fā)生的巨災(zāi)損失的索賠額，再根據(jù)不同保險公司對于該風(fēng)險收取的保費分攤在當(dāng)季或當(dāng)年的數(shù)額進行加權(quán)平均，最終得到巨災(zāi)指數(shù)，將其作為巨災(zāi)保險期權(quán)的標的指數(shù)。然后，運用本的方法，在漂移伽馬過程的假設(shè)下，對巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)進行快速估計，作為保險公司對巨災(zāi)期權(quán)定價的基礎(chǔ)參考值。

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Catastrophe Index Options Pricing Using Esscher-Transformation and Numerical Simulation

CHENG Cheng1，SHI Xiao-jun2，ZHANG Shun-ming2
（1.School of Economics and Management，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China；2.School of Finance，Renmin University of China，Beijing 100872，China）

Catastrophe index options are kinds of the most important catastrophe derivatives at present and hence have large potential in China.However，a major obstacle in the usage of this instrument in China is how to price it under given limited market information as there is not yet an actively traded market for it in China.A closed-form formula of the catastrophe index options pricing based on Esscher transformation is proposed in this paper which has a sound theoretical foundation.Three major features of the catastrophe index：jumping，two periods and two caps can be captured by the proposed method.Moreover，the flexibility of Esscher transformation allaws the method to apply to various distributions.Thus formulas of catastrophe index options pricing are obtained under shifted Poisson，shifted Gamma and Wiener processes respectively in this paper.Simulation part compares the different formulas with the standard Black-Scholes theorem as well as historical PCS catastrophe loss indices，which indicates that the shifted Gamma process is a good candidate for the implied stochastic process of the catastrophe index options pricing.The exploration of catastrophe index option and application of our method is of practical relevance in China.

catastrophe options；Esscher transformation；Shifted Gamma process

JEL；G22；G32；G13

：A

1003-207(2014)01-0020-09

2011-12-29；

2012-10-10

國家自然基金資助項目（71172014）；國家杰出青年科學(xué)基金項目（70825003）

程鋮（1987-），女（滿族），北京人，北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院金融學(xué)研究生，研究方向：保險經(jīng)濟學(xué)、金融工程、風(fēng)險管理.