高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)實(shí)例的教學(xué)實(shí)踐

【摘要】文章嘗試運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論討論幾個生物醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)例，激發(fā)學(xué)生用所學(xué)數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題的興趣，以此提高教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力、提高學(xué)生的科研素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)實(shí)例

【基金項(xiàng)目】2011年廣州醫(yī)科大學(xué)教育科學(xué)規(guī)劃課題，項(xiàng)目編號L129008；中華醫(yī)學(xué)會2012年度醫(yī)學(xué)教育研究課題，項(xiàng)目編號2012-KY-20。

【中圖分類號】G424【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0148-02

針對醫(yī)學(xué)院校設(shè)置的專業(yè)情況，改進(jìn)和更新數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容，充分利用課內(nèi)、課外時間介紹數(shù)學(xué)模型以及數(shù)學(xué)建模的思想和方法，將數(shù)學(xué)建模的知識穿插到相應(yīng)章節(jié)中，選擇合適的數(shù)學(xué)實(shí)例提出問題，引導(dǎo)學(xué)生以小組協(xié)作的方式分析問題和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，打消學(xué)生“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不能解決實(shí)際問題”的想法，將數(shù)學(xué)與生物醫(yī)學(xué)能有機(jī)地結(jié)合起來，激發(fā)學(xué)生用所學(xué)數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題的興趣，以適應(yīng)現(xiàn)代生物醫(yī)學(xué)飛速發(fā)展的需要，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力、提高學(xué)生的科研素質(zhì)，促進(jìn)團(tuán)結(jié)協(xié)作精神。本文嘗試運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論討論幾個生物醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)例，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和教學(xué)效果。在授課時可結(jié)合課時的多少，精選相關(guān)的模型進(jìn)行介紹。

1. Logistic人口增長模型[1]

多數(shù)數(shù)學(xué)建模問題中都離不開微分方程，如簡諧振動問題、種群增長問題、鐵軌彎道處緩和曲線等。1838年，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst給出Logistic模型，也叫阻滯增長模型，它在許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，如樹木生長規(guī)律、人口增長規(guī)律、新商品的銷售規(guī)律等，都可以用該方程來描述。logistic用途極為廣泛，logistic已經(jīng)成了流行病學(xué)和醫(yī)學(xué)中最常用的分析方法，主要常用的情形是探索某疾病的危險因素，依此預(yù)測某疾病發(fā)生的概率。在講授微分方程的內(nèi)容給學(xué)生后，可以介紹人口增長模型。

Logistic人口增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數(shù)增長模型（malthus模型）的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在人口增長率r隨著人口數(shù)量x的增加而下降。若將r表示為x的函數(shù)，則它應(yīng)是減函數(shù)。于是有：

■=r(x)x，x(0)=x0 (1)

對r(x)的一個最簡單的假定是，設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即:

r(x)=r-sx(r>0，s>0) (2)

設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量為xm，當(dāng)xm=x時人口不再增長，即增長率r(xm)=0，代入（2）式得s=■，于是（2）式為

r(x)=r(1-■) (3)

將（3）代入方程（1）得：

■=rx(1-■)(4)

x(0)=x0

上述方程為可分離變量方程，解方程（4）可得：

x(t)=■(5)

介紹模型后，再結(jié)合我國的歷史人口數(shù)據(jù)或世界歷史人口數(shù)據(jù)并運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行實(shí)踐（對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)和對未來人口進(jìn)行預(yù)測），可加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用的印象，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性。例如，據(jù)生物學(xué)家估計(jì)r=0.029，我們根據(jù)1961年世界人口總數(shù)為30.60億及1990年的世界人口為52.77億，可以算得xm=117.12億。然后用MATLAB畫圖對上述模型進(jìn)行檢驗(yàn)，可以看出，(5)式能較好地描述世界人口總數(shù)隨時間變化的規(guī)律，由此可以預(yù)測2020年世界人口總數(shù)為77.52億。[2]

隨著社會的進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，如果人類可以改善生存環(huán)境，自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量就會發(fā)生變化，上述模型也會變得不能夠正確地反映世界人口的變化規(guī)律，事實(shí)上，反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型大部分是很復(fù)雜的，不容易甚至不可能得到精確解，而從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)，在數(shù)學(xué)建模過程中則要對實(shí)際問題進(jìn)行合理的簡化，分清主次。

根據(jù)醫(yī)學(xué)院校開設(shè)的不同專業(yè)，在微分方程這里可選擇不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行介紹，例如臨床醫(yī)學(xué)專業(yè)可2介紹細(xì)菌的繁殖、傳染病模型、藥物動力學(xué)模型、腫瘤生長模型、種群增長問題等，生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)可介紹簡諧振動問題、降落傘的運(yùn)動規(guī)律，通過一些精選的數(shù)學(xué)建模問題進(jìn)一步闡明數(shù)學(xué)的實(shí)用性。

2.染料稀釋法確定心輸出量

考慮到醫(yī)學(xué)院校大部分專業(yè)開設(shè)的高數(shù)課程學(xué)時較少，對數(shù)學(xué)模型的介紹也可選擇一些較簡短的例子，只要能起到促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的作用以及提高學(xué)習(xí)興趣即可。例如在介紹了定積分內(nèi)容后，可介紹染料稀釋法確定心輸出量的方法原理[3]。

心輸出量是指每分鐘心臟泵出的血量，在生理學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用染料稀釋法來測定。把一定量的染料注入靜脈，染料將隨血液循環(huán)通過心臟到達(dá)肺部，再返回心臟而進(jìn)入動脈系統(tǒng)。

假定在時刻t=0時注入 5mg的染料，自染料注入后便開始在外周動脈中連續(xù) 30 秒監(jiān)測血液中染料的濃度，它是時間的函數(shù)c(t)： c(t)= 0當(dāng)0≤t≤3或18

(t3-40t+453t-1026)10-2當(dāng)3

問題：注入染料的量與在30秒之內(nèi)測到的平均濃度 ■(t)的比值是半分鐘里心臟泵出的血量，因此，每分鐘的心輸出量Q是這一比值的2倍，即Q=■，試求這一實(shí)驗(yàn)中的心輸出量Q。

■(t)=■■c(t)dt

=■■(t3-40t2+453t-1026)10-2dt

=■(■-■+■-1026t)■■

=■[3402-(-1379.25）]

=1.59375

從而得到每分鐘的心輸出量Q=■=■≈6.275（L/min)。

染料稀釋法確定心輸出量可用于討論慢性阻塞性肺部疾病心功能等醫(yī)學(xué)方面的研究。如果課時充裕，在定積分這里還可介紹脈管穩(wěn)定流動時的血流量的測定、胰島素平均濃度的測定等。

3.感冒藥效的概率

概率論與統(tǒng)計(jì)方法是臨床醫(yī)學(xué)實(shí)踐與研究的重要工具，廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)、流行病學(xué)等方面。離散型隨機(jī)變量分布中的泊松分布在生物醫(yī)學(xué)中用于描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位時間或空間里的稀有事件的概率分布。例如討論野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)，放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)的放射次數(shù)，生多胞胎的例數(shù)，單位時間來到醫(yī)院看病的人數(shù)等。介紹了泊松分布的理論知識后，可向?qū)W生介紹泊松分布的實(shí)際應(yīng)用的例子，以加深對知識點(diǎn)的理解，同時也提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)討論實(shí)際問題的能力。如感冒藥效的概率：

假設(shè)一個人在一年里的感冒次數(shù)近似服從參數(shù)為5的泊松分布。一種抗感冒的新藥新近上市，若持續(xù)服用，■的服用者每年的感冒次數(shù)降為參數(shù)為3的泊松分布，■的服用者沒有作用。有一個人在一年里持續(xù)服用此藥，共感冒了兩次。問題：求該藥對此人有效的概率。[3]

記?孜為一年里此人的感冒次數(shù)，用A表示事件{該藥對此人有效，即?姿=3}，用B表示事件{?孜≤2}，那么A的對立事件■表示{該藥對此人無效，即?姿=5}，則

P（A）=0.75，P（■）=0.25

P(B｜A）=■■e-λ=(1+3+■）e-3=0.423190 P(B｜■）=■■e-λ=(1+5+■)e-5=0.124652 從而 P(B)=P（A） P(B｜A）+P(■） P(B｜■） ＝0.75×0.423190＋0.25×0.124652 =0.348555因此該藥對此人有效的概率為 P(A｜B）=■=■=0.910595 利用這個例子既說明了泊松分布在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用，又對全概率公式和條件概率公式做了復(fù)習(xí)。 最后，在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以了解一些相關(guān)專業(yè)知識，根據(jù)數(shù)學(xué)理論知識的內(nèi)容特點(diǎn)及學(xué)生所學(xué)專業(yè)，選擇學(xué)生所熟悉或?qū)硪獜氖碌南嚓P(guān)專業(yè)案例或貼近日常生活有趣味性的數(shù)學(xué)案例與模型，在教學(xué)過程中滲透使用數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，讓學(xué)生明白并非是簡單的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，更是為以后的工作、學(xué)習(xí)、科研服務(wù)。參考文獻(xiàn)：[1]楊啟帆.數(shù)學(xué)建模[M].第1版.北京:高等教育出版社，2005.[2]李長青，吳偉志，張野芳.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實(shí)踐. 浙江海洋學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2011，30（3）:269-274.[3]張選群.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)[M]. 第5版.北京：人民衛(wèi)生出版社，2011.作者簡介：魏悅姿（1978-），女，廣東揭陽人，廣州醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系副教授、碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育學(xué)院。