數(shù)學(xué)符號語言與自然語言的關(guān)系探微

摘 要：數(shù)學(xué)符號語言脫胎于自然語言，自然語言為數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生提供條件，自然語言的缺陷使得人們探索簡明的符號來表達數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)關(guān)系。本文淺要分析了自然語言對數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生和發(fā)展的影響，并通過自然語言和數(shù)學(xué)符號語言的簡單對比顯示數(shù)學(xué)符號語言獨有的特點，最后類比漢字“六書”造字法將數(shù)學(xué)符號語言予以分類。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)符號 自然語言

一、引言

《漢語詞典》中，對語言的解釋有“人類最重要的交際工具，是人類思維和表達思想的手段，也是人類社會最基本的信息載體，是人區(qū)別于其他動物的本質(zhì)特征之一。它是以語音為物質(zhì)外殼，以語詞為建筑材料，語法為結(jié)構(gòu)規(guī)律而構(gòu)成的符號體系。簡而言之，語言是人類進行溝通交流，傳遞信息的工具，是人類思維活動的載體。本文所說的自然語言是指由一定的歷史文化演變產(chǎn)生的語言，區(qū)別于人類為某種需要而創(chuàng)造的語言，如漢語、英語為自然語言，而計算機語言就是非自然語言。

數(shù)學(xué)語言是在自然語言的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展的，是一種表達科學(xué)思維的載體。數(shù)學(xué)語言通常分為文字語言、符號語言和圖表語言。而數(shù)學(xué)符號語言作為數(shù)學(xué)語言中的最高抽象，具有鮮明的數(shù)學(xué)思維特征。數(shù)學(xué)符號語言正是為適應(yīng)數(shù)學(xué)思維的需要而產(chǎn)生的，可以說，是非自然語言。但是數(shù)學(xué)符號語言是從自然語言演變而來，又可以說是自然語言的一部分。那么，數(shù)學(xué)符號語言與一般的自然語言究竟有哪些千絲萬縷的聯(lián)系？

二、數(shù)學(xué)符號語言與自然語言的關(guān)系

（一）數(shù)學(xué)符號語言源自于自然語言

人類語言發(fā)展到階級社會，產(chǎn)生了記錄語言的工具——文字，文字是語言的載體，已經(jīng)發(fā)展了五千多年，文字的產(chǎn)生標志著人類步入文明社會。數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生比語言文字要晚很多，一般來說，16～17世紀在韋達、笛卡爾、萊布尼茨等數(shù)學(xué)家的努力下，才有了比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號。最初的數(shù)學(xué)符號是零散的，是文字的一部分。

數(shù)學(xué)中最早產(chǎn)生的概念是自然數(shù)的概念，最早產(chǎn)生的符號是數(shù)字符號。在文字產(chǎn)生以前，人們用實物來記數(shù)，如小石子、竹片等，以及結(jié)繩記數(shù)和刻痕記數(shù)。在文字產(chǎn)生以后，人們用文字記數(shù)，各個民族的文字差異也使記數(shù)符號有很大的區(qū)別。直到數(shù)字符號統(tǒng)一之前，各民族的數(shù)學(xué)符號與本民族的文字是交融在一起的，是建立在本民族語言文字基礎(chǔ)上的。例如，古埃及的數(shù)學(xué)系統(tǒng)源自于象形文字；我國古代的數(shù)系則是源自于甲骨文。就算是現(xiàn)行通用的數(shù)學(xué)符號很多也是取自于文字的縮寫或變形，如對數(shù)符號“l(fā)og”是“l(fā)ogarithm”的縮寫；相似符號“∽”是“similar”的首字母變形。

（二）自然語言的缺陷導(dǎo)致數(shù)學(xué)符號語言的產(chǎn)生

自然語言為數(shù)學(xué)符號語言的產(chǎn)生提供了土壤，但是數(shù)學(xué)思維要求高度的嚴密性、抽象性和概括性，使得人們必然要尋求符合數(shù)學(xué)發(fā)展的語言。自然語言是在一定的生活背景和自然條件下形成的，不可避免的帶有區(qū)域性、民族性和模糊性。有的民族的自然語言本身書寫過于繁雜，不具有簡便通用性。像我國清末的數(shù)學(xué)家李善蘭等翻譯西方數(shù)學(xué)著作時，用漢字符號代替西方算學(xué)符號，這些符號不易書寫，艱澀難懂，最終被歷史所淘汰。我國古代數(shù)學(xué)在世界上處于領(lǐng)先地位，但是宋元以后的數(shù)學(xué)發(fā)展卻一度處于遲滯狀態(tài)，很多學(xué)者通過研究尖銳的指出，這是由于中國沒有適時的引進數(shù)學(xué)符號體系，中國的閉關(guān)鎖國和漢字本身的特點阻礙了我國數(shù)學(xué)的進步和發(fā)展。

拉丁字母簡便易書寫，具有很大的便利性，再輔以其他字母，就滿足了數(shù)學(xué)思維表達的需求。現(xiàn)行通用的數(shù)學(xué)符號有300多個，常見的有200多個。這些數(shù)學(xué)符號從產(chǎn)生到統(tǒng)一，經(jīng)過了不同時期不同數(shù)學(xué)家長期努力，很多符號并不是一次創(chuàng)造完成的，而是經(jīng)過了不斷的篩選，經(jīng)歷了大浪淘沙，留存至今的精華。數(shù)學(xué)符號語言的產(chǎn)生便于數(shù)學(xué)知識的傳播，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用和數(shù)學(xué)學(xué)科的飛躍式發(fā)展，也使人類語言學(xué)達到一種新的高度。

（三）數(shù)學(xué)符號語言與自然語言的辯證統(tǒng)一

數(shù)學(xué)知識是抽象的結(jié)果，但是抽象的思維沒有自然語言的支撐，無疑是沒有根基的大廈。例如最簡單的數(shù)學(xué)符號“1”，如果它獨立出現(xiàn)，就沒有任何意義，如果說“1個蘋果”“1箱梨”“1個工程”、……這就使“1”有了豐富的內(nèi)涵。所以說數(shù)學(xué)符號雖然脫胎于自然語言，但是仍要依托于自然語言。

數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生以后，并非脫離了自然語言，它和自然語言相輔相成，數(shù)學(xué)符號的傳播依然要借助自然語言，而數(shù)學(xué)符號的發(fā)展使自然語言彌補了自身的局限性，得到發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)符號語言區(qū)別于自然語言的特征

（一）含義的確定性

自然語言的涵義是豐富多彩的，一詞多義是它的特色。但是數(shù)學(xué)的概念、命題和規(guī)則都要求科學(xué)性，嚴謹性。數(shù)學(xué)符號的表達則顯現(xiàn)出這樣的特點，每個數(shù)學(xué)符號都有其確定的含義，很少有歧義。例如，自然語言“18歲以下”，是否包含18歲是不明確的，需要作補充說明，而用數(shù)學(xué)符號“x≤18”，則清晰明確。雖然數(shù)學(xué)符號中也有表示多重意思的符號，如“+”可以表示“加號”，也可以表示“正號”，但是一般根據(jù)上下文其含義是可以判定的，并且數(shù)學(xué)符號中多重含義的符號不像自然語言的多義性那樣普遍。

（二）簡明性和抽象性

數(shù)學(xué)中復(fù)雜的運算關(guān)系、推理論證，各種概念、命題等，往往用簡單的數(shù)學(xué)符號就能簡明的表示出來，正是數(shù)學(xué)符號的這種特點，數(shù)學(xué)的符號語言才能夠世界通用，源遠流長。下表中，分別用數(shù)學(xué)符號和自然語言來表示數(shù)學(xué)中的一些簡單的概念，做一個簡單的比較。

概念自然語言數(shù)學(xué)符號語言

乘法分配律兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結(jié)果不變。（a+b）×c=a×c+b×c

正比例兩個相關(guān)聯(lián)的變量，一個量變化，另一個量也隨著變化，如果這兩個量相應(yīng)的比值一定，那么這兩個變量之間的關(guān)系就叫作正比例關(guān)系。=k（k≠0）

勾股定理在直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。在Rt△中，a2+b2=c2

從上表可以看出，數(shù)學(xué)符號語言的簡潔性，自然語言表達比較繁瑣，不便于記憶，而數(shù)學(xué)符號則克服了自然語言的缺陷，數(shù)學(xué)符號抽象性和概括性的特點，可以用簡單的字母來表示任何數(shù)。這樣不僅便于記憶，也便于數(shù)學(xué)概念的運用和表達。數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)代，數(shù)學(xué)模型的建立，在高等代數(shù)的領(lǐng)域已經(jīng)很難看到與現(xiàn)實生活為原型的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)本身的抽象性通過數(shù)學(xué)符號更好地展現(xiàn)出來。當然，理解這些數(shù)學(xué)符號語言是建立在掌握數(shù)學(xué)符號的基礎(chǔ)上，必要時，也需要添加文字幫助理解。

（三）統(tǒng)一性和通用性

數(shù)學(xué)符號語言雖然取自于某幾個民族的語言文字系統(tǒng)，但是，發(fā)展至今，它獨有的特點使它跨越國界，成為通用的語言，它的統(tǒng)一性和通用性是毋庸置疑的。當然，數(shù)學(xué)語言并不能完全克服自然語言的影響，有時需要遵循本民族語言的習(xí)慣。比如我國讀數(shù)時通常是四個數(shù)字為一個單位來讀的，分別以“萬”“億”作一個分段。像6，6666，6666讀作6億6666萬6666。而英語的習(xí)慣是三三分段，分別以以“million（百萬）”“ thousand（千）”為一個分段，如666，666，666，讀作666 million 666 thousand 666。若遵從英語的習(xí)慣，中國人就要讀作六百六十六百萬，六百六十六千，六百六十六。這樣讀起來非常拗口，也容易產(chǎn)生歧義。

四、數(shù)學(xué)符號的分類

數(shù)學(xué)符號語言獨有的特點使它為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了動力，簡單明確的表達了數(shù)學(xué)思維。眾多的數(shù)學(xué)符號，各學(xué)者的分類標準不同，符號的歸屬類別也是不一樣的。例如[1]，將數(shù)學(xué)符號分為：元素符號（表示數(shù)和幾何圖形）、運算符號（如四則運算等）、關(guān)系符號（表示數(shù)、式、圖和集合之間的關(guān)系）、結(jié)合符號（表示運算順序的符號）、約定符號（如階乘符號）和性質(zhì)符號（表示數(shù)形的性質(zhì)）。這種分類是現(xiàn)在普遍認可的，也有學(xué)者根據(jù)數(shù)學(xué)符號書寫和自身的意義，將數(shù)學(xué)符號與我國的“六書（漢字的造字六法）”進行類比作了分類b[2]，筆者結(jié)合自己的理解整理如下：

（一）象形

用文字的線條或筆畫，把要表達物體的外形特征，具體地勾畫出來。例如“月”字像一彎明月的形狀，“山”像山峰的形狀。

數(shù)學(xué)符號中如“△”表示三角形；“∠”表示角；“⊙”表示圓，“⌒”表示弧。這類數(shù)學(xué)符號主要是幾何符號居多。

（二）指事

與象形的主要區(qū)別是指事字含有繪畫中較抽象的東西。例如“刃”字是在“刀”的鋒利處加上一點，以作標示；“兇’字則是在陷阱處加上交叉符號；“三”則由三橫來表示。

數(shù)學(xué)符號中“∥”“⊥”表示兩條直線的位置關(guān)系，并不是表示平行或垂直本身；“=”表示均衡，大于、小于，某種數(shù)量關(guān)系中的相等。

（三）會意

會意字是指兩個或多個獨體字組成，以所組成的字形或字義，合并起來，表達此字的意思。例如“酒”字，以釀酒的瓦瓶“酉”和液體 “水”合起來，表達字義。

相當于數(shù)學(xué)符號中全等符號“≌”，由相似符號“∽”和等號“=”結(jié)合，表達全等的含義；還有不等號“≠”；小于等于“ ≤”；大于等于“≥”，遠大于符號“?”。

（四）形聲

形聲字由兩部分組成：形旁和聲旁。形旁是指示字的意思或類屬，聲旁則表示字的相同或相近發(fā)音。例如“櫻”字，形旁是“木”，表示它是一種樹木，聲旁是“嬰”，表示它的發(fā)音與“嬰”字一樣。

數(shù)學(xué)符號中用“Rt∠”表示直角，其中Rt是聲，是英文“right”（直）的縮寫，“∠”是形；數(shù)學(xué)符號中很多是文字的縮寫，如三角函數(shù)符號sin、cos、cot；表示最小最大的符號min、max；自然數(shù)的符號N。

（五）轉(zhuǎn)注

當兩個字用來表達相同的事物，詞義一樣時，它們會有相同的部首或部件。例如“考”“老”二字，本義都是長者；“顛”“頂”二字，本義都是頭頂；這些字有著相同的部首（或部件）及解析，讀音上也是有音轉(zhuǎn)的關(guān)系。數(shù)學(xué)中將根“root”首字母變形成根號的符號“”；積分符號“∫”是表示和“summa”的首字母拉長，任意符號“?”是“any”的首字母倒過來加一橫表示。

（六）假借

假借已有的音同或音近的字來代表，這種跟借用的字的形義完全不合的字就稱為假借字。也就是文字的引申含義。數(shù)學(xué)符號中加減符號“+”“-”引申為正負號。

這種分類只是簡單的類比，數(shù)學(xué)符號中還有很多是約定的，如因為“∵”；所以“∴”；階乘“！”；……這些符號本身與表達的含義間沒有內(nèi)在的聯(lián)系。不能將所有的數(shù)學(xué)符號硬套進“六書”分類法中。

（本文為教育部人文社科課題“文化視域下的數(shù)學(xué)課程思維及小學(xué)教師素養(yǎng)跟進研究”資助項目成果）

參考文獻：

[1]姜彩清.數(shù)學(xué)符號化思想與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].教育科研論壇，2009，（8）.

[2]楊之，王雪芹.數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，（7）.

[3]徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號史[M].北京：科學(xué)出版社，2006：355～366.

[4]梁宗巨.數(shù)學(xué)歷史典故[M].沈陽：遼寧教育出版社，1992.

[5]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

[6]巫傳冰.數(shù)學(xué)語言起源初探[J].大觀周刊，2012，（22）.

（孟艾菊 婁亞敏 浙江省寧波大學(xué)教師教育學(xué)院 315211）