對“感悟”的認(rèn)識(shí)與思考

李樹臣

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》增加了一個(gè)描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，即“感悟”，并將其解釋為“在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過獨(dú)立思考或合作交流，獲得初步的理性認(rèn)識(shí)”。強(qiáng)調(diào)“感悟”就是強(qiáng)調(diào)從感性經(jīng)驗(yàn)到理性認(rèn)識(shí)的活動(dòng)過程，可謂把握了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐和比較活動(dòng)中，感悟本質(zhì)屬性與獨(dú)特價(jià)值；數(shù)學(xué)命題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用過程中，感悟數(shù)學(xué)思想與結(jié)構(gòu)特征；數(shù)學(xué)證明教學(xué)特別要引導(dǎo)學(xué)生證明看上去“不好”證明和“不用”證明的命題，感悟邏輯方法與求真精神。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；感悟；數(shù)學(xué)活動(dòng)；理性認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)新課標(biāo)

一、數(shù)學(xué)新課標(biāo)中增加了一個(gè)行為動(dòng)詞：感悟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“舊課標(biāo)”）指出，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)包括結(jié)果目標(biāo)和過程目標(biāo)，結(jié)果目標(biāo)使用“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等行為動(dòng)詞表述，過程目標(biāo)使用“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等行為動(dòng)詞表述。［1］而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在此基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，即“感悟”，并將其解釋為“在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過獨(dú)立思考或合作交流，獲得初步的理性認(rèn)識(shí)”。［2］

檢索舊課標(biāo)，發(fā)現(xiàn)其中提及“感悟”僅25次。而檢索新課標(biāo)，發(fā)現(xiàn)其中提及“感悟”達(dá)174次：課程目標(biāo)部分16次，課程內(nèi)容部分85次（其中，小學(xué)部分54次，初中部分31次），學(xué)業(yè)質(zhì)量部分2次，課程實(shí)施部分7次，附錄部分64次（附錄1中61次，附錄2中3次）。簡單舉例如下：

課程目標(biāo)部分有“能夠理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值”［3］“通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的簡單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程，學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式”［4］等。

課程內(nèi)容部分有“了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)，知道實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，感悟數(shù)的擴(kuò)充”［5］“在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯”［6］“會(huì)計(jì)算四分位數(shù)，了解四分位數(shù)與箱線圖的關(guān)系，感悟百分位數(shù)的意義”［7］“在社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，結(jié)合方程與不等式、函數(shù)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)、抽樣與數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”［8］等。

學(xué)業(yè)質(zhì)量部分有“認(rèn)識(shí)自然數(shù)的一些特征，理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)，能進(jìn)行簡單的小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性”［9］等。

課程實(shí)施部分有“提供豐富的問題情境、充分的思考空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，幫助學(xué)生感悟基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”［10］等。

附錄部分有“借助歷史資料說明人們最初引入負(fù)數(shù)的目的，感悟負(fù)數(shù)的本質(zhì)特征”（附錄1例64）等。

二、對“感悟”的認(rèn)識(shí)

從新課標(biāo)對“感悟”的解釋，以及關(guān)于“感悟”的具體表述中，可以看出，感悟強(qiáng)調(diào)從感性經(jīng)驗(yàn)到理性認(rèn)識(shí)的活動(dòng)過程，它必須與經(jīng)歷的過程、實(shí)現(xiàn)的結(jié)果連在一起使用，表述為“在……過程中，感悟……”。

之所以強(qiáng)調(diào)“感悟”，與數(shù)學(xué)科學(xué)的特征、數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)有重要關(guān)系。

“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”，追求結(jié)構(gòu)化、體系化，說明數(shù)學(xué)知識(shí)具有探索性、過程性，融于某些活動(dòng)（經(jīng)驗(yàn)）；“數(shù)學(xué)又是模式的科學(xué)”，追求一般化、形式化，說明數(shù)學(xué)知識(shí)具有普適性、抽象性，屬于某種規(guī)律（本質(zhì)）。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，獲得普適、抽象的知識(shí)。而人（尤其是中小學(xué)生）的認(rèn)識(shí)具有較強(qiáng)的“具身性”，需要經(jīng)歷具體、直觀的感官活動(dòng)，才能獲得普適、抽象的思維認(rèn)識(shí)。

此外，數(shù)學(xué)規(guī)律（本質(zhì)）是可以不斷提升層級(jí)的大觀念（大概念），不斷變“大”，也就越來越“活”，最終成為“帶得走”“用得上”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)（教學(xué)思想），這是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)。正如當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)家、哲學(xué)家波蘭尼所說的“我們所認(rèn)識(shí)的多于我們能告訴的”，這些“大”而“活”的知識(shí)很多都是“緘默知識(shí)”（屬于“道”的層面）。這些知識(shí)由于“緘默”特征，尤其無法直接傳授給學(xué)生，只能靠學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中自己“感悟”。因此，史寧中教授在談到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)：“學(xué)生本人參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中非常重要。一個(gè)人會(huì)不會(huì)想問題是自己想積累的經(jīng)驗(yàn)造成的，會(huì)不會(huì)做事情也是實(shí)踐的結(jié)果。這些不是教師教出來的，而是自己悟出來的?！保?1］

可見，強(qiáng)調(diào)“感悟”就是強(qiáng)調(diào)“在數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，就像斯托利亞爾所說的“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”［12］，可謂把握了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。

三、關(guān)于“引導(dǎo)學(xué)生感悟”的思考

從教學(xué)的角度看，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“感悟”，就是要求教師“引導(dǎo)學(xué)生感悟”：精心設(shè)計(jì)問題或任務(wù)情境，引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，從感性經(jīng)驗(yàn)中獲得理性認(rèn)識(shí)。理性的認(rèn)識(shí)有概念、判斷和推理三種形式。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)知識(shí)可以邏輯地分解為數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)證明三個(gè)部分。下面結(jié)合具體案例，談?wù)勗谌齻€(gè)部分的教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生感悟、引導(dǎo)學(xué)生感悟什么。

（一）數(shù)學(xué)概念教學(xué)：從實(shí)踐到比較，感悟本質(zhì)屬性與獨(dú)特價(jià)值

數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。決定數(shù)學(xué)教學(xué)效果的首要、基礎(chǔ)和貫穿始終的因素就是概念要明確。［13］初中階段大約有400個(gè)數(shù)學(xué)概念，它們大多有具體的現(xiàn)實(shí)背景（例子）。教師在教學(xué)中，要從現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，通過具有實(shí)踐性的活動(dòng)，并聯(lián)系有關(guān)的概念比較辨析，從而引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性與獨(dú)特價(jià)值。

【案例1】圖像法的建立

在學(xué)生認(rèn)識(shí)了常量、變量和函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，可以通過以下活動(dòng)引入函數(shù)的圖像表示法。

1.實(shí)驗(yàn)操作

（1）將一個(gè)透明的飲料瓶均勻地劃上刻度，使最小單位為毫米。在飲料瓶蓋中心位置按豎直方向打一小孔，再將一根適當(dāng)粗細(xì)的塑料吸管的一端插入瓶蓋。向飲料瓶中注入大半瓶水，擰緊瓶蓋，用膠帶紙將瓶口及塑料管與瓶蓋的接口封好，使其不漏水。如圖1所示，將飲料瓶倒置并固定在鐵架上，在飲料瓶下方放置水杯，將引出的塑料管用鐵夾夾住，記下瓶內(nèi)水面的高度。

（2）每四位同學(xué)一組，分別負(fù)責(zé)看秒表、控制鐵夾、觀察水面高度、記錄數(shù)據(jù)。打開鐵夾，使水由塑料管流入水杯，在表格中依次記下從放水開始到放水10秒、20秒、30秒……100秒時(shí)瓶內(nèi)水面下降的高度。

（3）將表格中每對放水時(shí)間（t）和水面下降高度（L）的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在以t為橫軸、L為縱軸的平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，并將描出的點(diǎn)用平滑的曲線依次連接起來。

2.觀察思考

（1）從放水開始到放水10s時(shí)，飲料瓶內(nèi)水面下降的高度是多少？從放水10s時(shí)到放水20s時(shí)呢？

（2）隨著放水時(shí)間t的逐漸增大，飲料瓶內(nèi)水面下降高度L的變化趨勢是怎樣的？

（3）t每增加10s，L的變化情況相同嗎？

（4）估計(jì)當(dāng)t=55s時(shí)，L的值是多少？你是怎樣估計(jì)的？

（5）在水面下降高度L和放水時(shí)間t的變化過程中，L是t的函數(shù)嗎？它們之間的函數(shù)關(guān)系是如何表達(dá)的？

（6）通過上面的問題，你體會(huì)到用圖像表示函數(shù)關(guān)系有什么優(yōu)點(diǎn)？

“實(shí)驗(yàn)操作”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了3個(gè)任務(wù)，給出了圖像法產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景。學(xué)生在這3個(gè)任務(wù)的引導(dǎo)下，通過“實(shí)驗(yàn)操作—記錄數(shù)據(jù)—描點(diǎn)連線”等一系列活動(dòng)得到相應(yīng)的表格和圖像（一個(gè)小組得到了表1和下頁圖2）?！坝^察思考”環(huán)節(jié)則基于得到的表格和圖像，設(shè)計(jì)了層層深入的6個(gè)問題。學(xué)生在這6個(gè)問題的引導(dǎo)下，可以基于實(shí)踐以及比較活動(dòng)，充分地感悟到圖像法的意義（表示變量之間的函數(shù)關(guān)系）、本質(zhì)（以形助數(shù)）和價(jià)值（更加直觀地表示出無法用表達(dá)式表示的函數(shù)關(guān)系）。

（二）數(shù)學(xué)命題教學(xué)：從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)思想與結(jié)構(gòu)特征

數(shù)學(xué)中的公理、定理、公式、法則、性質(zhì)等泛稱為“數(shù)學(xué)命題”。這些命題都是基于概念，通過推理（包括合情推理和演繹推理）得到的；也是進(jìn)一步得到其他命題的依據(jù)。因此，數(shù)學(xué)命題的教學(xué)需要特別關(guān)注其發(fā)現(xiàn)過程和應(yīng)用過程。

一方面，教師可以設(shè)計(jì)多種表征和推理活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命題，感悟有關(guān)的數(shù)學(xué)思想。

【案例2】平方差公式的發(fā)現(xiàn)

平方差公式是最基本、用途最廣泛的乘法公式之一。教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)以下活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平方差公式，感悟歸納、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。

（1）時(shí)代中學(xué)計(jì)劃將一個(gè)邊長為10米的正方形花壇，改造成長為12米、寬為8米的長方形花壇，你會(huì)設(shè)計(jì)改造后的花壇嗎？如果改造成長為11米、寬為9米的長方形花壇呢？

（2）計(jì)算改造后花壇的面積，與改造前花壇面積相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（3）將如圖3所示的長方形剪成兩個(gè)小長方形（a＞b＞0），再把這兩個(gè)小長方形拼成如圖4所示的圖形，分別計(jì)算剪拼前和剪拼后的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（4）設(shè)a、b都是有理數(shù)，利用多項(xiàng)式的乘法公式計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，你能推導(dǎo)出一般性的結(jié)論嗎？

4個(gè)活動(dòng)分別引導(dǎo)學(xué)生：感受實(shí)際背景及幾何意義；通過具體性的計(jì)算，歸納發(fā)現(xiàn)平方差公式的結(jié)構(gòu)；通過圖形的轉(zhuǎn)化，直觀發(fā)現(xiàn)（解釋）平方差公式；通過一般性的計(jì)算，演繹發(fā)現(xiàn)（推導(dǎo)）平方差公式。在此過程中，學(xué)生不僅可以理解平方差公式的實(shí)質(zhì)，而且可以充分感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般方法，感受數(shù)學(xué)思想的魅力。

另一方面，教師可以設(shè)計(jì)多種變式練習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)命題解決有關(guān)問題，感悟命題的結(jié)構(gòu)特征。

（三）數(shù)學(xué)證明教學(xué)：從“不好”到“不用”，感悟邏輯方法與求真精神

數(shù)學(xué)證明是在特定的公理系統(tǒng)中，根據(jù)一定的規(guī)則或標(biāo)準(zhǔn)，由公理和定理等推導(dǎo)出某些命題的過程。上面談到的數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用已經(jīng)涉及廣義的數(shù)學(xué)推理了，這里談數(shù)學(xué)證明，強(qiáng)調(diào)的是基于一些顯然的公理（基本事實(shí)），通過嚴(yán)格的演繹推理，保證數(shù)學(xué)命題的正確性。盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)不只是嚴(yán)格的演繹邏輯體系，也充滿直覺、猜想等合情推理方面的探索，但是，從學(xué)科比較的視角來看，嚴(yán)格的演繹推理依然是數(shù)學(xué)最重要的特征，并且是數(shù)學(xué)最基本的追求——大物理學(xué)家狄拉克曾說：“我不管什么證明，我只想知道真相?！保?4］因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要重視證明的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生在證明活動(dòng)中感悟嚴(yán)格邏輯的方法程序（如演繹推理的三段論格式、直接證明的分析與綜合方法、間接證明的反證法以及舉反例）和數(shù)學(xué)求真的精神品質(zhì)（包括證明的必要性）。

具體來看，特別要重視一些看上去“不好”證明和“不用”證明的命題。

前者可以引導(dǎo)學(xué)生充分感悟嚴(yán)格邏輯的方法程序，尤其是間接證明的方法。比如，“2是無理數(shù)”看起來就“不好”證明，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用反證法證明，從而感悟間接證明的巧妙，體會(huì)命題與其逆否命題之間的等價(jià)關(guān)系，以及矛盾律和排中律。

后者主要是指“看似正確，其實(shí)錯(cuò)誤”的命題，即違背直覺的命題，可以引導(dǎo)學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)求真的精神品質(zhì)。比如，“兩條邊與一個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”，“圖5所示的正方形可以剪拼成圖6所示的長方形”，以及“一個(gè)班50個(gè)學(xué)生中有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天的可能性不大”，等等。

此外，還有一些命題過于顯然，看上去既“不好”也“不用”證明。對此，需要加以特別的重視。比如平行線性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。它的證明可以引導(dǎo)學(xué)生感悟反證法的一般程序，以及公理化的思想。

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