一道尺規(guī)作圖題的命制

程銀生 楊巧玲

摘 要：受證明勾股定理的畢達(dá)哥拉斯拼圖中元素關(guān)系的啟發(fā)，打破常規(guī)，簡(jiǎn)化圖形，呈現(xiàn)其基本要素（一個(gè)點(diǎn)和兩條線），命制出一道構(gòu)造等腰直角三角形的尺規(guī)作圖題，并改變點(diǎn)的位置，重構(gòu)線的形狀，進(jìn)行拓展，從而多角度考查學(xué)生對(duì)基本圖形的理解以及尺規(guī)作圖能力。探索多種解法，分別做到有跡可循、有理有據(jù)，并在鼓勵(lì)學(xué)生思維創(chuàng)新、百花齊放的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到多法歸一的尺規(guī)作圖方法探索本質(zhì)，從而形成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)提出問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；試題命制；畢達(dá)哥拉斯拼圖；尺規(guī)作圖

一、 從經(jīng)典圖形中找素材

作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，勾股定理是基本的幾何定理，揭示了直角三角形三邊間的關(guān)系。其證明和應(yīng)用一直受到廣泛關(guān)注，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶。通過拼圖，借助等面積法是證明勾股定理的常用方式，其中一些經(jīng)典圖形（如趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯拼圖、美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德構(gòu)圖等）被各版初中數(shù)學(xué)教材選用。這些經(jīng)典圖形也受到眾多命題者的青睞，由此命制出的習(xí)題、試題層出不窮。

畢達(dá)哥拉斯拼圖（如下頁(yè)圖1所示）是趙爽弦圖的“外翻”，是加菲爾德構(gòu)圖的“加倍”。觀察圖1，發(fā)現(xiàn)里面有著豐富的元素。大正方形ABCD由小正方形EFGH和四個(gè)全等的直角三角形拼接而成。如果將小正方形EFGH的對(duì)角線EG（或HF）連接起來，則大正方形ABCD被分割成兩個(gè)直角梯形（包含基本圖形“K形圖”［1］），小正方形EFGH被分割成兩個(gè)等腰直角三角形（其三個(gè)頂點(diǎn)分別在大正方形的三邊上）。如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)確定，則其斜邊長(zhǎng)也確定，而內(nèi)外兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)（大?。┮搽S之確定。

受此啟發(fā)，若只保留小正方形EFGH的某一個(gè)頂點(diǎn)（如點(diǎn)E）和大正方形ABCD一組對(duì)邊，即兩條平行線（如AD、BC），能否在此基礎(chǔ)上重新構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形，使其一個(gè)頂點(diǎn)為保留的點(diǎn)（E），另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在兩條平行線上？進(jìn)一步推廣，若這組對(duì)邊不平行，又該如何構(gòu)造？由此，結(jié)合《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》突出強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)和當(dāng)下中考的熱點(diǎn)，命制出下面的尺規(guī)作圖題，作為一次中考特長(zhǎng)生測(cè)試的壓軸題。

四、 幾點(diǎn)啟示

（一） 打破常規(guī)，嘗試一圖多變

數(shù)學(xué)一向以簡(jiǎn)潔美著稱，簡(jiǎn)潔的外在蘊(yùn)含豐富的內(nèi)涵：基礎(chǔ)的內(nèi)容有著豐富的變化。平面幾何中豐富的圖形世界讓人目不暇接、流連忘返。歷經(jīng)歲月長(zhǎng)河的積淀，一些經(jīng)典圖形仿佛一塊塊璞玉被人們發(fā)掘、傳承，煥發(fā)出新的生機(jī)。即使是同一幅圖，從不同的角度看，也能發(fā)現(xiàn)不一樣的精彩世界，它們彼此聯(lián)系，又別具一格。比如，勾股定理的幾種經(jīng)典拼圖證明方法聯(lián)系緊密。上述試題的命制受其啟發(fā)，打破常規(guī)，嘗試換一種角度，通過簡(jiǎn)化圖形，呈現(xiàn)其基本要素（一個(gè)點(diǎn)、兩條線），要求構(gòu)造等腰直角三角形；進(jìn)而改變點(diǎn)的位置，重構(gòu)線的形狀，進(jìn)行拓展。一圖多變，多角度考查學(xué)生對(duì)基本圖形的理解以及尺規(guī)作圖能力，給學(xué)生的思維發(fā)展提供充足的空間。正所謂：“璞玉熠熠生輝，青春灼灼其華?！?/p>

（二） 方向引領(lǐng)，體會(huì)多法歸一

解決尺規(guī)作圖問題只有“明理”，才能“知法”：基本技能的形成一定是建立在嚴(yán)密的幾何邏輯推理和有條理的思考上的［3］。通過作圖形成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)提出問題和解決問題的能力?？v觀文中提到的各種作法，雖然思維方式各異，但是，通過作圖思路分析，均可做到有跡可循、有理有據(jù)。真可謂“一筆一畫皆世界”。日常教學(xué)中，教師應(yīng)擅于創(chuàng)建交流共享的平臺(tái)，走近學(xué)生，聆聽他們的想法，啟發(fā)群體的智慧，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、比較、分析，再結(jié)合自己的專業(yè)素養(yǎng)，進(jìn)行方法引領(lǐng)，讓學(xué)生體會(huì)不同方法之間思維的差異和共性。比如，上述圖6—圖16、圖17—圖19雖呈現(xiàn)了不同的作圖方法，各具特色，但又不乏共同之處。在鼓勵(lì)學(xué)生思維創(chuàng)新、百花齊放的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到多法歸一的本質(zhì)。如此，才能達(dá)到觸類旁通、“做一題，曉一類”的境界。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李賀，朱黎生.“K形圖”的變異空間及教學(xué)要點(diǎn)——變異理論視域下［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（3）：62.

［2］ 錢德春，于婷婷.尺規(guī)作圖教學(xué)重在“探索方法”［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（1）：5859.

［3］ 萬(wàn)建光，陳文雅．明畫法之理 顯思維深度——一道無(wú)刻度直尺作圖題的解法及教學(xué)啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（12）：9597．