一個基本圖形在中考試題中的應(yīng)用

中考中有許多試題是根據(jù)基本圖形來巧妙設(shè)置的，這樣既考查學(xué)生觀察圖形、提煉圖形和運(yùn)用圖形的能力，同時又開拓了學(xué)生的思維空間。因此，教學(xué)中教師應(yīng)重視基本圖形的挖掘、探究，并引導(dǎo)學(xué)生深入剖析基本圖形，抓住問題本質(zhì)，以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，現(xiàn)就人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》“三角形全等的條件”課內(nèi)練習(xí)中的一個基本圖形，談?wù)勗摶緢D形及其變式在考題中的應(yīng)用。

一、基本圖形

已知：如右圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，

ED⊥BD于點(diǎn)D，AC⊥EC于點(diǎn)C，

點(diǎn)C在線段BD上，且AC=CE。

求證：BD=AB+DE。

分析：根據(jù)條件“∠B= ∠ACE=∠D=90 ，”

可證“∠1=∠2或∠3=∠4，”又“AC=CE”可證△ABC≌△CDE，得到AB=CD，BC=DE，所以BD=BC+CD=AB+DE

現(xiàn)將滿足“∠B= ∠ACE=∠D=90 ，AC=CE”這一條件的兩個全等三角形，即“△ABC≌△CDE”稱之為基本圖形，查閱近幾年的中考試卷，發(fā)現(xiàn)命題者運(yùn)用基本圖形及其變式圖形，編制出一批構(gòu)思巧妙、立意新穎的好題。

二、直接應(yīng)用

例1（2010年遼寧）如圖，已知在矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF⊥FC，且EF=FC，DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長。

分析：該題將兩個全等三角形的基本圖形置于矩形背景中，既使學(xué)生感到熟悉，又靈活地考查了學(xué)生運(yùn)用基本圖形的能力，題中的兩個三角形△EAF、△CDE，它們滿足條件“∠A=∠CEF=∠D=90o，EF=EC”，可以直接應(yīng)用基本圖形，得到△EAF≌△CDE，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，問題即可解決。

三、構(gòu)造應(yīng)用

有些中考題，表面上不能直接找到兩個三角形全等的基本圖形，但我們可以根據(jù)圖形特征，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，達(dá)到應(yīng)用基本圖形解決問題的目的。

例2（2010年湖北）如圖，已知直線l1//l2//l3//l4，相鄰兩條平行直線之間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在四條直線上，則sinα=

分析：該題滿足條件

∠BAD=90o，AB=DA，這里不存在基本圖形，通過添加輔助線，就可以構(gòu)造出兩個三角形全等的基本圖形（如右圖），得到△ABE≌△DAF，再通過線段的轉(zhuǎn)換及勾股定理求得結(jié)果。此題也可以通過下圖的方式構(gòu)造基本圖形，則∠CED=∠DFA=90o，又AD=CD可得△CED≌△DFA，同理可求。兩種不同的構(gòu)造基本圖形的方式，很好地考查了學(xué)生解題方法的多樣性。

由此可見，有些試題的設(shè)置雖然省略了該基本圖形的關(guān)鍵部分，模糊了基本圖形的輪廓，但是，學(xué)生只要能抓住該基本圖形的特征，通過添加輔助線，讓基本圖形顯現(xiàn)出來，問題就得以順利解決。

四、變式應(yīng)用

在該基本圖形中，若去掉“兩邊相等”的條件，使△ABC與△CDE僅滿足條件“∠1=∠2=∠3，此時可得△ABC∽△CDE。

根據(jù)角的分類，∠1=∠2=∠3又可以是直角、銳角或鈍角。因此，將該基本圖形變式，又可以得到如下幾種變式圖形。此類變式圖形在中考試題中的應(yīng)用也是層出不窮。

例3（2010沈陽）如圖所示，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=60o，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為（ ）

分析：由∠B=∠ADE=∠C=60o可知△ABD∽△DCE，則AB：DC=BD：CE=3：2，又DC=BC-BD=AB-BD，可得AB=9

例4（2010廣東）如圖，正方形ABCD的邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，保持AM和MN垂直。

（1）證明Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積。

分析：（1）由∠B=∠AMN=∠C=90o，可得Rt△ABM∽Rt △MCN；

（2）由Rt△ABM∽Rt△MCN，可得AM：MC=BM：CN，即4：（4-x）=x：CN，可知CN=（-x2+4x）/4，y=S梯形ABCN=1/2【（-x2+4x）/4+4】 4=（-1/2）x2+2x+8=-1/2（x-2）2+10

此題將該基本圖形的變式圖形置于正方形的背景中，又將相似三角形與二次函數(shù)有機(jī)結(jié)合，題目有一定的綜合性。

五、綜合應(yīng)用

在一些復(fù)雜的試題中，往往將基本圖形與變式圖形融為一體，這類試題難度較大，學(xué)生解答時容易顧此失彼，此時，學(xué)生若能找出基本圖形及變式圖形，再結(jié)合全等三角形與相似三角形性質(zhì)、判定，問題便可迎刃而解。

例5（2010烏魯木齊）如圖，邊長為5的正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)E是OA邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），EF⊥CE，且與正方形外角平分線AG交于點(diǎn)P。

（1）當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)（3，0）時，證明CE=EP；

（2）如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)（3，0）”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)（t，0）”（t>0），結(jié)論CE=EP是否仍然成立，請說明理由。

分析：過P作PH⊥AO，構(gòu)造出 △COE∽△EHP，結(jié)合題意，列方程可求得HP，從而得到EH=CO，構(gòu)造出△COE≌△EHP。

該題需要學(xué)生從整體圖形中找到基本圖形和變式圖形，再應(yīng)用全等三角形和相似三角形判定、性質(zhì)。此題考查了學(xué)生識圖、用圖的能力。

在教學(xué)中，教師有意識地引到學(xué)生學(xué)會提煉基本圖形，并運(yùn)用基本圖形解決問題，能使復(fù)雜的問題簡單化。