思辨—數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源頭

“綜合與實(shí)踐”是以問題為載體，學(xué)生主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑。數(shù)學(xué)思辨是指用數(shù)學(xué)的方法從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考和辨析，教師通常會(huì)在例題的講解中逐步引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生思辨能力。

例題的多解多變?cè)诮虒W(xué)之中，往往能起到引導(dǎo)作用，在最近發(fā)展區(qū)之中能把學(xué)生從已知的彼岸渡到未知的彼岸。廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生分析問題的能力。對(duì)一道數(shù)學(xué)題或聯(lián)想，運(yùn)用類比、推廣的方式，可以得到一系列新的題目。積極開展多種變式題的求解，有助于學(xué)生應(yīng)變能力的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的形成，增強(qiáng)學(xué)生面對(duì)新問題敢于聯(lián)想分析予以解決的意識(shí)。

下面僅舉一例進(jìn)行一題多解和一題多變來說明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例。

解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，則

x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-12 ）2+12

由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知

當(dāng)x=12 時(shí)，x2+y2取最小值12 ；當(dāng)x=0或1時(shí)，x2+y2取最大值1。

評(píng)注：函數(shù)思想是中學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián)系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對(duì)于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。

解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)

x=cos2θ，y=sin2θ 其中θ∈[0，π2 ]

則x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ

=1-12 （2sinθcosθ）2=1-12 sin22θ

=1-12 ×1-cos4θ2 =34 +14 cos4θ

于是，當(dāng)cos4θ=-1時(shí)，x2+y2取最小值12 ；

當(dāng)cos4θ=1時(shí)，x2+y2取最小值1。

評(píng)注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決；而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比較方便。

解法三：（對(duì)稱換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)

x=12 +t， y=12 -t，其中t∈[-12 ，12 ]

于是，x2+y2= （12 +t）2+（12 -t）2=12 +2t2 t2∈[0，14 ]

所以，當(dāng)t2=0時(shí)，x2+y2取最小值12 ；當(dāng)t2=14 時(shí)，x2+y2取最大值1。

評(píng)注：對(duì)稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化了，從而更容易求最值。

這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡(jiǎn)運(yùn)算量大小不同。教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、運(yùn)用，提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。

解法四：（運(yùn)用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1

則 xy≤（x+y）24 =14 ，從而0≤xy≤14

于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy

所以，當(dāng)xy=0時(shí)，x2+y2取最大值1；當(dāng)xy=14 時(shí)，x2+y2取最小值12 。

評(píng)注：運(yùn)用基本不等式可以解決一些含有兩個(gè)未知量的最值問題，但要注意等號(hào)成立的條件是否同時(shí)滿足。

解法四：（解析幾何思想）設(shè)d=x2+y2 ，則d為動(dòng)點(diǎn)C（x，y）到原點(diǎn)（0，0）的距離，于是只需求線段 上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可。

當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)，dmax=1，則（x2+y2）max=1

當(dāng)OC⊥AB時(shí)dmin=2 2 ，則（x2+y2）min=12

評(píng)注：用幾何的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成，使學(xué)生在數(shù)和形的理解把握好一個(gè)聯(lián)系的尺度，能夠由數(shù)想到形的意義，由形想到數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解決這類問題的目的。

解法五：（數(shù)形結(jié)合思想）設(shè)x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r的動(dòng)圓，記為⊙F。

于是，問題轉(zhuǎn)化為⊙F與線段

有公共點(diǎn)，求r的變化范圍。

當(dāng)⊙F經(jīng)過線段AB端點(diǎn)時(shí)rmax=1；當(dāng)⊙F與線段AB相切時(shí)rmin=2 2

則 12 ≤x2+y2≤1

評(píng)注：此解法與解法四并無本質(zhì)區(qū)別，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的形成。

至此，解答本題的幾種常見方法介紹完畢，下面展示對(duì)本題的變式和推廣。

變式1：已知a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。

變式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范圍嗎？x8+y6呢？x7+y7的范圍能求嗎？

變式3：若x、y≥0且x+y=1，能求得12n-1 ≤xn+yn≤1的結(jié)論嗎？

這樣一個(gè)由特殊性逐步一般化的思維過程，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，通過這樣一系列的一題多解和一題多變，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合分析能力、提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，滲透了一些數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)思想，也提供了一個(gè)推向一般性的結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若將經(jīng)典例題充分挖掘，注重對(duì)例題進(jìn)行變式教學(xué)，不但可以抓好基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，還可以激發(fā)學(xué)生的探求欲望，提高創(chuàng)新能力；不僅能讓教師對(duì)例題的研究更加深入，對(duì)教學(xué)目標(biāo)和要求的把握更加準(zhǔn)確，同時(shí)也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到進(jìn)一步提高，并逐漸體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

發(fā)展創(chuàng)造思維，同時(shí)還可以幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性、特殊性、廣泛性的深刻理解。新課

程提倡注重過程，要讓學(xué)生自己主宰學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程，親自去實(shí)踐探索知識(shí)的奧秘。探索是數(shù)學(xué)的生命線，沒有探索就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展。在教學(xué)中，要加強(qiáng)實(shí)踐操作，學(xué)生通過自己實(shí)踐、思索，以“動(dòng)”促“思”，對(duì)所學(xué)的內(nèi)容才能真正有所領(lǐng)悟，進(jìn)而內(nèi)化為自己所有，逐步形成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并享受學(xué)習(xí)的快樂。