有關(guān)導(dǎo)數(shù)中恒成立與能成立問題

新課標(biāo)下的高考越來越重視對學(xué)生綜合能力的考察，導(dǎo)數(shù)中的恒成立與能成立問題便是一個考察學(xué)生綜合能力的很好題型。在近幾年的數(shù)學(xué)高考中幾乎每年都出現(xiàn)，但其形式更加多樣化，復(fù)雜化，而且涉及的知識面廣，難度大，綜合性強(qiáng)。因此，在平時的學(xué)習(xí)中，要善于觀察，認(rèn)真思考，從中發(fā)現(xiàn)一些解決此類問題的規(guī)律。

題型一 已知函數(shù)f（x）與g（x），若對任意x∈[a，b]， 不等式f（x）≥g（x）成立.

【例1】 已知函數(shù)f（x）= x3， g（x）= x2 +lnx

求證：在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）>g（x）

證明：設(shè)F（x）= f（x）-g（x ）= x3-（ x2 +lnx），

則Fˊ（x）=2 x2-x- = （x-1）（2x2+x+1）

令Fˊ（x）>0， 得：x>1

∴F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.又F（1）= >0

∴在（1，+∞）上， F（x）> F（1）>0

∴ x3-（ x2 +lnx）>0即 x3> x2 +lnx

∴f（x）>g（x）

【點(diǎn)評】此題為常規(guī)題型，可通過構(gòu)造函數(shù)的方法來解，即：可先把不等式f（x）>g（x）等價變形為f（x）-g（x ）>0，然后構(gòu)造函數(shù)F（x）= f（x）-g（x ），并通過研究函數(shù)F（x）的性質(zhì)可得。

題型二 已知函數(shù)f（x）與g（x），若對任意x1∈[a，b]， x2∈[a，b]， 不等式

f（x1）≥g（x2）成立.

【例 2】已知函數(shù)f（x）=x-lnx，x ∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然常數(shù)，

（1）求f（x）的極值.

（2）求證：f（x）>g（x）+ .

【解析】：（1）∵f（x）=x-lnx，fˊ（x）=1- =

∴當(dāng) 0< x <1時，fˊ（x）<0，此時f（x）上單調(diào)遞減

當(dāng) 1< x 0，此時f（x）上單調(diào)遞增

∴f（x）的極小值為f（1）=1

（2） ∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]的最小值為1，

∴f（x）>0，[f（x）]min=1，令h（x）= g（x）+ ，hˊ（x）=

當(dāng)0< x 0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增

∴[h（x）]max= h（e）= + < + =1= [f（x）]min

∴f（x）>g（x）+ .

【點(diǎn)評】例1、例2均為不等式證明，題型相同，但處理方法截然不同：例1采用的是構(gòu)造函數(shù)法，例2是用最值的比較的方法。從數(shù)學(xué)結(jié)合的角度來說，前一種題型主要是保證一個函數(shù)的圖像在另一個圖像的上方；后一種題型是這個函數(shù)圖像的最小值大于另一個函數(shù)的最大值。

題型三 已知函數(shù)f（x）與g（x），若對任意x1∈[a，b]， 存在x2∈[a，b]， 使不等式f（x1）≥g（x2）成立.

【例3】（山東2010第22題）已知函數(shù)f（x）= lnx–ax+ -1（a∈R）

設(shè) g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a= ，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]使f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【解析】∵a= ∈（0， ）由 知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，2）單調(diào)遞增.f（x）在（0，2）上的最小值為f（1）=- ，由于“對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）”等價于“g（x ）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值- ”（*）

又g（x）=（x-b）2 +4-b2， x ∈[1，2]，所以

①當(dāng)b<1時，因為[g（x ）]min= g（1）=5-2b>0此時與（*）式矛盾.

②當(dāng)b∈[1，2]時，因為[g（x）]min=4-b2≥0同樣與（*）式矛盾.

③當(dāng)b∈（2，+∞）時，因為[g（x）]min= g（2 ）=8-4b，解不等式 8-4b≤-

∴b≥ ，綜上，b的取值范圍是[ ，+∞）.

【點(diǎn)評】此題是山東卷2010第22題，可見其地位與難度，必須把題中的關(guān)鍵句“若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）”理解透徹，否則此題難以下筆，更難順利解出答案。

題型四 已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在x1∈[a，b]，對任意x2∈[a，b]，使不等式f（x1）≥g（x2）成立. （ 等價于[f（x）] max ≥[g（x）] max ）【例4】.已知函數(shù) ， .

若 ， ，使 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

【解析】：問題等價于f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值大于g（x）在區(qū)間[1，2]上的

最大值，而f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2，g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為ln2+a，即2>ln2+a，得a<2-ln2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

題型五 已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在x1∈[a，b]，對存在x2∈[a，b]，使不等式f（x1）≥g（x2）成立. （ 等價于[f（x）] max ≥[g（x）] min ）

【例5】（2013昌樂模擬）已知函數(shù) .

（I）若函數(shù) 上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；

（II）若 ，使 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】：（Ⅰ）. 因f（x）在 上為減函數(shù)，故 在 上恒成立.

所以當(dāng) 時， .

又 ，

故當(dāng) ，即 時， .

所以 于是 ，故a的最小值為 .

（Ⅱ）命題“若 使 成立”等價于

“當(dāng) 時，有 ”.

由（Ⅰ），當(dāng) 時， ， .

問題等價于：“當(dāng) 時，有” .

當(dāng) 時，由（Ⅰ）， 在 上為減函數(shù)，

則 = ，故 .

當(dāng) 時，由于 在 上為增函數(shù)，

故 的值域為 ，即 .

（i）若 ，即 ， 在 恒成立，故 在 上為增函數(shù)，

于是， = ，不合題意.

（ii）若 ，即 ，由 的單調(diào)性和值域知，

唯一 ，使 ，且滿足：

當(dāng) 時， ， 為減函數(shù)；當(dāng) 時， ， 為增函數(shù)；

所以， = ， .

所以， ，與 矛盾，不合題意.

綜上，得 .

通過以上對關(guān)鍵詞“存在、任意”的分析，可以使得恒成立或能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值處理，而用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值是當(dāng)今高考的一個熱點(diǎn)，所以此題型應(yīng)引起重視。