關(guān)于兩類特殊數(shù)列的探討

一、引言

在高中數(shù)學(xué)新課程內(nèi)容中，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，而且在現(xiàn)實(shí)生活中也有著非常廣泛的應(yīng)用。目前高中數(shù)學(xué)教材中研究的常見數(shù)列主要有等差數(shù)列、等比數(shù)列及斐波拉契數(shù)列。在日常生活中有二類數(shù)列也有非常廣泛的應(yīng)用，并且經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的高考題中。

例： 設(shè)平面內(nèi)有n條直線 ，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條不過(guò)同一點(diǎn).若用 表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則 =___；當(dāng)n>4時(shí)， =_____。

析：記 條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為： ， 則 為2 ，5， 9， 14， 20， 27， 35……

為了方便表述，我們對(duì)具有上述規(guī)律的數(shù)列給出如下定義。

定義一： 一個(gè)數(shù)列，如果從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差所構(gòu)成的新數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，那么我們稱這種數(shù)列為差成等差數(shù)列。

定義二： 一個(gè)數(shù)列，如果從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差所構(gòu)成的新數(shù)列成一個(gè)等比數(shù)列，那么我們稱這種數(shù)列為差成等比數(shù)列。

顯然，等差數(shù)列是一類特殊的差成等差數(shù)列；公比不為1的等比數(shù)列是一類差成等比數(shù)列。

二、差成等差數(shù)列

（一）差成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

推論一： 一個(gè)差成等差數(shù)列 的第 項(xiàng)等于它的第一項(xiàng)與所成等差數(shù)列的前 項(xiàng)的和。

（二）差成等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式

定理二：差成等差數(shù)列 前 項(xiàng)和為 ，其中

證明：設(shè) 為差成等差數(shù)列 前 項(xiàng)和由通項(xiàng)公式 得

（三）差成等差數(shù)列的性質(zhì)

由差成等差數(shù)列的定義，我們還可以發(fā)現(xiàn)它具有下列的一些性質(zhì)。

第一，從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它的前二項(xiàng)的差構(gòu)成的新數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。

第二，從第 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它的前 項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。

（四）差成等差數(shù)列的應(yīng)用

四、總結(jié)

本文給出了差成等差及差成等比數(shù)列的概念，并討論了此兩類特殊數(shù)列的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出了這兩類數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和的求和公式，為學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)生活及高考中解決具有此兩類性質(zhì)的數(shù)列問題，提供了一種簡(jiǎn)單可行的方法。