數(shù)形結(jié)合在高考解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考題采用此法解決，可起到事半功倍的效果。

一、數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問題中的應(yīng)用

（一）利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題

一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒有公共元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題。

例：設(shè) ，已知 求

分析：如圖，用長(zhǎng)方形表示全集I，

用圓分別表示集合A和B，用n表示集合

的元素，則有：

從韋恩圖我們可以直觀地看出： .

（二）利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問題

例：已知集合

⑴若 ，求 的范圍.⑵若 ，求 的范圍.

分析：先在數(shù)軸上表示出集合A的范圍，

要使 ，由包含于的關(guān)系可知集合B應(yīng)該

覆蓋集合A，從而有： ，這時(shí) 的值不可能存在.要使 ，這時(shí)集合應(yīng)該覆蓋集合B，應(yīng)有 成立.

可解得 為所求 的范圍.

二、方程、函數(shù)中數(shù)形結(jié)合問題

（一）“數(shù)”中思“形”

例：如果實(shí)數(shù) 滿足等式 ，那么 的最大值是什么？

解：設(shè)點(diǎn) 在圓 上，圓心為 ，半徑等于 。如圖，則 是點(diǎn) 與原點(diǎn)連線的斜率。當(dāng) 與⊙ 相切，且切點(diǎn) 落在第一象限時(shí)， 有最大值，即 有最大值。因?yàn)?= ， = ，所以 = = ，所以 = = 。

（二）“形”中覓“數(shù)”

例：求方程 的解的個(gè)數(shù)。

分析：此方程解的個(gè)數(shù)為 的圖象與 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

因?yàn)?，

所以

在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)。

三、利用數(shù)形結(jié)合法解不等式問題說(shuō)明

（一）數(shù)形對(duì)照，相互滲透

例：使不等式 有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）

A. B.

C. D.

分析： 表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與4、3所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和。由圖1可得其和最小值為1，故選D。

（二）由數(shù)想形，直觀顯現(xiàn)

例：求使不等式 成立的x的取值范圍。

解： ，

因?yàn)?的圖象與函數(shù) 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 的圖象是一條過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線

由圖4可得

四、利用單位圓中的有線段解決三角不等式問題

在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線，并利用三角函數(shù)線可作出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的圖像。如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應(yīng)用它解決三角不等式問題，簡(jiǎn)便易行。

例：解不等式

分析：根據(jù)余弦線在單位圓中是

方向平行于 軸的有向線段.先在 軸

上取點(diǎn)P，使 ，恰好表示角 的余

弦線 ，過(guò)點(diǎn)P作 軸的平行線

交單位圓于點(diǎn) ，在 內(nèi)，

分別對(duì)應(yīng)于角 ， （這時(shí)所對(duì)應(yīng)的余弦值恰好為 ）.而要求 的解集，只需將弦 向右平移，使 重合（也即點(diǎn)P向右平移至與單位圓交點(diǎn)處）.這樣 所掃過(guò)的范圍即為所求的角.原不等式的解集為： .