如何培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性

現(xiàn)代教育強(qiáng)調(diào)“知識結(jié)構(gòu)”與“學(xué)習(xí)過程”，目的在于發(fā)展學(xué)生的思維能力，而把知識作為思維過程的材料和媒介。只有把掌握知識、技能作為中介來發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)才符合素質(zhì)教育的基本要求。數(shù)學(xué)知識可能在將來會遺忘，但思維品質(zhì)的培養(yǎng)會影響學(xué)生的一生，思維品質(zhì)的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值得以真正實(shí)現(xiàn)的理想途徑。因此，開發(fā)高中學(xué)生的思維潛能，提高思維品質(zhì)，具有十分重大的意義。特別是思維靈活性的培養(yǎng)顯得尤為重要。學(xué)生思維的靈活性主要表現(xiàn)于：（1）思維起點(diǎn)的靈活：能從不同角度、不同層次、不同方法根據(jù)新的條件迅速確定思考問題的方向。（2）思維過程的靈活：能靈活運(yùn)用各種法則、公理、定理、規(guī)律、公式等從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑。（3）思維遷移的靈活：能舉一反三，觸類旁通。

如何培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性呢？我在教學(xué)實(shí)踐中作了一些探索。

一、用一題多解來培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性

所謂一題多解是指多角度地考慮同一個(gè)問題，找出各方法之間的關(guān)系和優(yōu)劣。在教學(xué)過程中，可用多種方法，從各個(gè)不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養(yǎng)學(xué)生思維過程的靈活性。

例1：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例：

解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，則

x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-12）2+12

由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)知

當(dāng)x=12時(shí)，x2+y2取最小值12；當(dāng)x=0或1時(shí)，x2+y2取最大值1。

解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，2π]

則x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ

=1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ

=1-12×1-cos4θ2=34+14 cos4θ

于是，當(dāng)cos4θ=-1時(shí)，x2+y2取最小值12；

當(dāng)cos4θ=1時(shí)，x2+y2取最小值1。

解法三：（對稱換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)x=12+t，y=12-t，其中t∈[-12，12]

于是，x2+y2= （12+t）2+（12-t）2=12+2t2 t2∈[0，14]

所以，當(dāng)t2=0時(shí)，x2+y2取最小值12；當(dāng)t2=14時(shí)，x2+y2取最大值1。

解法四：（運(yùn)用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1

則xy≤（x+y）24=14，從而0≤xy≤14

于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy

所以，當(dāng)xy=0時(shí)，x2+y2取最大值1；當(dāng)xy=14時(shí)，x2+y2取最小值12。

解法五：（解析幾何思想）設(shè)d=x2+y2，則d為動點(diǎn)C（x，y）到原點(diǎn)（0，0）的距離，于是只需求線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可。

當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)，dmax=1，則（x2+y2）max=1

當(dāng)OC⊥AB時(shí)dmin=22，則（x2+y2）min=12

解法六：（數(shù)形結(jié)合思想）設(shè)x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r的動圓，記為⊙F。

于是，問題轉(zhuǎn)化為⊙F與線段

有公共點(diǎn)，求r的變化范圍。

當(dāng)⊙F經(jīng)過線段AB端點(diǎn)時(shí)rmax=1；當(dāng)⊙F與線段AB相切時(shí)rmin=22

則12≤x2+y2≤1

二、用一題多變來培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性

所謂一題多變是指通過題目的引申、變化、發(fā)散，提供問題的背景，揭示問題間的邏輯關(guān)系。這樣就可以讓學(xué)生自己盡可能多地對問題進(jìn)行探索研究，以培養(yǎng)提高學(xué)生的思維靈活性。

例2：過拋物線y2=2px 焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設(shè)線段AB為過拋物線焦點(diǎn)的弦）

變式一：求證：過拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。

變式二：求證：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對稱軸。

變式三：求證：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長的一半，并且被這條拋物線平分。

變式四：求證：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直。

變式五：求證：拋物線的準(zhǔn)線是其焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡。

變式六：求證：過拋物線焦點(diǎn)一端，作準(zhǔn)線的垂線，那么垂足、原點(diǎn)以及弦的另一端點(diǎn)，三點(diǎn)共線。

當(dāng)然一題多變也得循序漸進(jìn)，步子要適宜，變得自然流暢，使學(xué)生的思維得到充分發(fā)散，而又不感到突然。

三、用開放型題目來培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性

所謂開放型題是指條件不充分、結(jié)論不確定，或解題策略多種多樣的新題型。因此，解決開放型題是培養(yǎng)提高學(xué)生思維靈活性的最佳活動形式之一。

例3：已知α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：① m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：。這就是一個(gè)非常開放的問題，學(xué)生可以根據(jù)自己原有的認(rèn)知水平，得到不同的方案。①m⊥α，n⊥β，α⊥β. ②m⊥n，m⊥α，n⊥β這樣的問題設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)展創(chuàng)新能力。

開放型題目的引入，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來思考，不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關(guān)系。要根據(jù)條件運(yùn)用各種綜合變換手段來處理信息、探索結(jié)論，有利于思維起點(diǎn)靈活性的培養(yǎng)，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

總之，教師的教法常常影響到學(xué)生的學(xué)法。靈活多變的教學(xué)方法對學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)起著潛移默化的作用，而富有新意的學(xué)法指導(dǎo)能及時(shí)為學(xué)生注入靈活思維的活力。