高職數(shù)學(xué)中極限的求法總結(jié)

摘 要：極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，極限方法是深入研究函數(shù)和解決各種實際問題的基本思想方法。本文就函數(shù)極限的求法做簡單的歸納總結(jié)。

關(guān)鍵詞：極限 無窮小 洛必達(dá)法則 重要極限 左右極限

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（a）-0177-02

在《高等數(shù)學(xué)》這門課程中，極限是一條主線，它是貫穿始終的一個重要概念，在這里將極限的各種求法總結(jié)歸納如下。

1 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

（1）定義：設(shè)函數(shù)在點的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)在點連續(xù)。

（2）定理：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

例1：求

解：由于在連續(xù)，所以。

總結(jié)：這種求極限的方法又稱“代入法”，只要函數(shù)在這一點連續(xù)，就可以使用這種方法。

2 利用無窮小量的性質(zhì)求極限

（1）無窮小量具有如下性質(zhì)：無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量。

例2：求

解：因為∞時，為無窮小量，為有界函數(shù)，故∞時，為無窮小量，所以

=0

總結(jié)：、為常見的有界函數(shù)。

（2）無窮小量與無窮大量具有如下關(guān)系：

在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮??；如果為無窮小，且則為無窮大。

例3：求

解：由于所以：。

3 利用等價無窮小代換求極限

（1）定理：設(shè)，

①若，則。

②若，則。

常用的等價無窮?。寒?dāng)時，，，，，，，，。

例4：求

解：當(dāng)時，，，所以：

==0。

總結(jié)：使用等價無窮小代換可以大大減少計算量，使求極限變得簡單。另外，在使用等價無窮小代換求極限的過程中要注意，等價無窮小代換只能在求極限的乘除運算中使用，而在加減運算中不能使用。

4 利用洛必達(dá)法則求極限

（1）洛必達(dá)法則（一）：若函數(shù)分別滿足下列條件：

①；

②在點的左右近旁可導(dǎo)，且：；

③存在（或為），則：。

例5：求

解：這是一個型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來計算。由于，所以：

==1。

（2）洛必達(dá)法則（二）：若函數(shù)分別滿足下列條件：

①；

②在點的左右近旁可導(dǎo)，且；

③存在（或為），則：。

例6：求

解：

總結(jié)：洛必達(dá)法則式求型和型極限非常重要的方法，需要注意的是只有在存在時才能使用洛必達(dá)法則，否則法則失效。

5 利用二個重要極限求極限

（1）第一個重要極限：。

例6：求

解：

（2）第二個重要極限：。

例7：求

解：=

。

6 利用左右極限求極限

定理：函數(shù)在點處極限存在的充要條件是在點處的左極限和右極限存在且相等，即：

。

例8：求函數(shù)在處的極限。

解：由于，，所以： .

總結(jié)：對于分段函數(shù)在分點處極限是否存在，由于分點兩側(cè)解析式不同，因此只能使用左右極限進行判斷。

參考文獻(xiàn)

[1]趙佳音.高等數(shù)學(xué)[M].北京大學(xué)出版社，2004：10-36.

[2]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007：133-136.