分段函數(shù)的微積分典型問題例析

摘 要：函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中最為重要的研究對象，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其研究思想和方法在整個高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都會涉及到。分段函數(shù)是函數(shù)中一類特殊的函數(shù)，相對于其他函數(shù)具有一定的難度。本文以分段函數(shù)為研究對象，結(jié)合例題就其相關(guān)問題進行分析，從而為分段函數(shù)的解題提供方向，突破高等數(shù)學(xué)中分段函數(shù)問題上的難點。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù) 問題 例析

中圖分類號：G642.4 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（a）-0073-02

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，分段函數(shù)作為函數(shù)中特殊的一類，對其理解和接受都存在一定難度，同時也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點。為了突破這一難點，就要掌握分段函數(shù)在分界點處的各種性質(zhì)，進而利用微積分計算等方法進行求解。

1 分段函數(shù)和微積分

分段函數(shù)是指在不同的定義域區(qū)間具備不同解析式的函數(shù)，即不能用同一解析式進行表達的函數(shù)。歸根結(jié)底，分段函數(shù)也是一個函數(shù)，其圖像也是唯一的。而分段函數(shù)在分界點的性質(zhì)變化正是其難點所在，也是其本身特殊性所在，因此為了研究分段函數(shù)，首要的研究目標(biāo)就是分段函數(shù)的分界點，而微積分在高等數(shù)學(xué)中也占據(jù)著重要的地位，是研究函數(shù)有關(guān)概念和性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，能夠使得分段函數(shù)中分界點的相關(guān)計算有據(jù)可依。兩者的互相補充為高等數(shù)學(xué)的解題帶來了便捷。

2 分段函數(shù)微積分問題歸類與分析

2.1 一元分段函數(shù)微積分

2.1.1 對一元分段函數(shù)在分界點處的極限判斷

對于一元函數(shù)分界點處極限的判斷，主要是依據(jù)分段函數(shù)的表達形式。若函數(shù)表達形式在分界點的左右不同，就可以依據(jù)分段函數(shù)在分界點處左右極限來判斷，當(dāng)極限存在且相等時，該點存在極限；若不存在或者兩者不相等時，則該點不存在極限。若分界點左右的函數(shù)表達方式相同，就可直接運用計算極限的常用方法將極限計算出來。舉例說明：

例1：已知函數(shù)=，求（1）；（2）。

解析：由分段函數(shù)表達式可知，x=1為該分段函數(shù)的分界點，當(dāng)x<1和x>1時，所對應(yīng)的解析式也不同。所以針對（1）問，應(yīng)該討論當(dāng)x趨近于1時的左右極限。因此x時，x<1，此時；而當(dāng)x時，x>1，此時，因此則有函數(shù)的左極限與右極限相等，即=1，因此=1，進而得到 。

2.1.2 對一元函數(shù)在分界點處的連續(xù)性判斷

函數(shù)在某一點具有連續(xù)性的充要條件是函數(shù)在該點同時滿足左連續(xù)和右連續(xù)。高等數(shù)學(xué)中也正是依據(jù)這個條件來判斷分段函數(shù)中分界點處的函數(shù)連續(xù)性。其具體解決步驟為：第一步，利用左右連續(xù)的定義進行分界點左右連續(xù)情況的判斷；第二步，根據(jù)結(jié)果進行判斷，當(dāng)左右都連續(xù)則證明該分界點連續(xù)，若其中有一個不連續(xù)或者左右極限不存在或者函數(shù)在該分界點不存在定義，即可判斷該點不連續(xù)。舉例說明：

例2：判斷函數(shù)在指定點處的連續(xù)性。

，在x=1的點。

，在x=1的點。

，在x=0的點。

解析：雖然滿足==1的條件，但是=，所以在x=1該點處并不連續(xù)。

根據(jù)分母不可為0的條件，可知在x=1處無定義，因此在x=1點處不連續(xù)。

因為=1；=-1，因此左右兩邊的極限值不等，該函數(shù)在x=0處不連續(xù)。

2.1.3 一元分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算

由于分段函數(shù)是由多個解析式進行表達的函數(shù)，因此，分段函數(shù)的求導(dǎo)也可以采取分段求導(dǎo)的方式，分界點處則需要進行單獨討論。對于分界點處的函數(shù)求導(dǎo)主要有以下兩種方法，即利用分段函數(shù)在分界點的導(dǎo)數(shù)定義進行求導(dǎo)，或者利用分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)極限存在定理進行求導(dǎo)。此處著重介紹第二種方法，即利用分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)極限存在定理進行求導(dǎo)。舉例說明：

例3：=，討論當(dāng)n分別等于1，2，3時在x=0處的連續(xù)性、可導(dǎo)性以及其對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性。

解析：（1）當(dāng)n=1時，分界點處的函數(shù)連續(xù)但不可導(dǎo)。

針對其連續(xù)性：有= =0=，因此可以證明此點函數(shù)連續(xù)。

針對其可導(dǎo)性，有：

不存在，因此該函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)。

（2）當(dāng)n=2時，分界點處的函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，但是其導(dǎo)函數(shù)在x=0處不具備連續(xù)性。

針對其連續(xù)性：有= =0=，因此可以證明在該點函數(shù)具有連續(xù)性。

針對其可導(dǎo)性：

，即=0，因此有該函數(shù)在x=0處可導(dǎo)。

針對其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，有： ，因此不存在，即該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并不具有連續(xù)性。

（3）當(dāng)n=3時，分界點處的函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)也連續(xù)。

函數(shù)在分界點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性求解方法同（2）問。

針對其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性：有 ==0，因此當(dāng)n=3時，其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)。

2.1.4 一元分段函數(shù)的不定積分計算

分段函數(shù)作為導(dǎo)函數(shù)，其原函數(shù)在通常狀況下也是分段函數(shù)，每一個表達式的原函數(shù)都有一個常數(shù)。根據(jù)不定積分的可積性，在導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的情況下，原函數(shù)也一定連續(xù)，且其中的不定積分只具有一個任意常數(shù)。因此，一元分段函數(shù)的積分計算，關(guān)鍵在于函數(shù)的連續(xù)性。通過找出分段原函數(shù)在分界點的連續(xù)性就可以進一步找出任意常數(shù)之間的關(guān)系，從而求出分段函數(shù)的原函數(shù)。其步驟主要可以分為以下兩步：先分別求出各區(qū)間段不定積分的表達式，之后再由原函數(shù)的連續(xù)性確定積分常數(shù)之間存在的關(guān)系。舉例說明：

例4：設(shè)=，求。

解析：是在區(qū)間（-，+）間的不定積分，因此，=。

當(dāng)x≤0時，=。

當(dāng)x >0時，=。

因為不定積分只能含有一個任意常數(shù)，并且要滿足在區(qū)間（-，+）內(nèi)可導(dǎo)，所以原函數(shù)在（-，+）區(qū)間內(nèi)一定是連續(xù)的，根據(jù)這個條件，便可以消去其中一個常數(shù)項。

由在x=0處連續(xù)可以得出，，即，令=C，則有

=

2.1.5 一元分段函數(shù)的定積分求法和微分方程

在有限區(qū)間內(nèi)求分段函數(shù)的定積分相對來說比較簡單，可以通過在有限區(qū)間內(nèi)的函數(shù)可加性進行計算。

二元分段函數(shù)和一元分段函數(shù)一樣，都是采用類似的求解方法，區(qū)別只是在于自變量的個數(shù)有所增加，進而使得積分形式增多。其中涉及到的積分形式主要有二重積分、三重積分、曲面積分、曲線積分等，隨著維數(shù)的逐漸增大，數(shù)形結(jié)合解決更具難度，計算上也更為復(fù)雜。舉例說明：

例5：證明函數(shù)

在點（0，0）處連續(xù)，其偏導(dǎo)數(shù)存在。

解析：因為≤≤，

所以有=0=，所以該函數(shù)在點（0，0）處連續(xù)。

同時，因為，所以=0，同理=0，因此此處存在偏導(dǎo)數(shù)。

3 結(jié)語

分段函數(shù)的微積分是幫助我們解決函數(shù)極限、連續(xù)性、可導(dǎo)性、不定積分與定積分計算的有效工具，在相關(guān)問題的解決上有著重要的作用和意義。除此之外，在生活中也有一定的應(yīng)用意義，因此，分段函數(shù)的微積分典型問題的例析是十分有必要的，通過相關(guān)問題的例析使學(xué)生掌握問題的解決方向和有效方法，不僅對于學(xué)生獨自解決分段函數(shù)微積分問題的能力提高有益，對其日后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程也有著積極的、長久的意義。

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