摘 要:函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中最為重要的研究對象,是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),其研究思想和方法在整個高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都會涉及到。分段函數(shù)是函數(shù)中一類特殊的函數(shù),相對于其他函數(shù)具有一定的難度。本文以分段函數(shù)為研究對象,結(jié)合例題就其相關(guān)問題進行分析,從而為分段函數(shù)的解題提供方向,突破高等數(shù)學(xué)中分段函數(shù)問題上的難點。
關(guān)鍵詞:分段函數(shù) 問題 例析
中圖分類號:G642.4 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1673-9795(2014)05(a)-0073-02
在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,分段函數(shù)作為函數(shù)中特殊的一類,對其理解和接受都存在一定難度,同時也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點。為了突破這一難點,就要掌握分段函數(shù)在分界點處的各種性質(zhì),進而利用微積分計算等方法進行求解。
1 分段函數(shù)和微積分
分段函數(shù)是指在不同的定義域區(qū)間具備不同解析式的函數(shù),即不能用同一解析式進行表達的函數(shù)。歸根結(jié)底,分段函數(shù)也是一個函數(shù),其圖像也是唯一的。而分段函數(shù)在分界點的性質(zhì)變化正是其難點所在,也是其本身特殊性所在,因此為了研究分段函數(shù),首要的研究目標(biāo)就是分段函數(shù)的分界點,而微積分在高等數(shù)學(xué)中也占據(jù)著重要的地位,是研究函數(shù)有關(guān)概念和性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支,能夠使得分段函數(shù)中分界點的相關(guān)計算有據(jù)可依。兩者的互相補充為高等數(shù)學(xué)的解題帶來了便捷。
2 分段函數(shù)微積分問題歸類與分析
2.1 一元分段函數(shù)微積分
2.1.1 對一元分段函數(shù)在分界點處的極限判斷
對于一元函數(shù)分界點處極限的判斷,主要是依據(jù)分段函數(shù)的表達形式。若函數(shù)表達形式在分界點的左右不同,就可以依據(jù)分段函數(shù)在分界點處左右極限來判斷,當(dāng)極限存在且相等時,該點存在極限;若不存在或者兩者不相等時,則該點不存在極限。若分界點左右的函數(shù)表達方式相同,就可直接運用計算極限的常用方法將極限計算出來。舉例說明:
例1:已知函數(shù)=,求(1);(2)。
解析:由分段函數(shù)表達式可知,x=1為該分段函數(shù)的分界點,當(dāng)x<1和x>1時,所對應(yīng)的解析式也不同。所以針對(1)問,應(yīng)該討論當(dāng)x趨近于1時的左右極限。因此x時,x<1,此時;而當(dāng)x時,x>1,此時,因此則有函數(shù)的左極限與右極限相等,即=1,因此=1,進而得到 。
2.1.2 對一元函數(shù)在分界點處的連續(xù)性判斷
函數(shù)在某一點具有連續(xù)性的充要條件是函數(shù)在該點同時滿足左連續(xù)和右連續(xù)。高等數(shù)學(xué)中也正是依據(jù)這個條件來判斷分段函數(shù)中分界點處的函數(shù)連續(xù)性。其具體解決步驟為:第一步,利用左右連續(xù)的定義進行分界點左右連續(xù)情況的判斷;第二步,根據(jù)結(jié)果進行判斷,當(dāng)左右都連續(xù)則證明該分界點連續(xù),若其中有一個不連續(xù)或者左右極限不存在或者函數(shù)在該分界點不存在定義,即可判斷該點不連續(xù)。舉例說明:
例2:判斷函數(shù)在指定點處的連續(xù)性。
,在x=1的點。
,在x=1的點。
,在x=0的點。
解析:雖然滿足==1的條件,但是=,所以在x=1該點處并不連續(xù)。
根據(jù)分母不可為0的條件,可知在x=1處無定義,因此在x=1點處不連續(xù)。
因為=1;=-1,因此左右兩邊的極限值不等,該函數(shù)在x=0處不連續(xù)。
2.1.3 一元分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算
由于分段函數(shù)是由多個解析式進行表達的函數(shù),因此,分段函數(shù)的求導(dǎo)也可以采取分段求導(dǎo)的方式,分界點處則需要進行單獨討論。對于分界點處的函數(shù)求導(dǎo)主要有以下兩種方法,即利用分段函數(shù)在分界點的導(dǎo)數(shù)定義進行求導(dǎo),或者利用分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)極限存在定理進行求導(dǎo)。此處著重介紹第二種方法,即利用分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)極限存在定理進行求導(dǎo)。舉例說明:
例3:=,討論當(dāng)n分別等于1,2,3時在x=0處的連續(xù)性、可導(dǎo)性以及其對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性。
解析:(1)當(dāng)n=1時,分界點處的函數(shù)連續(xù)但不可導(dǎo)。
針對其連續(xù)性:有= =0=,因此可以證明此點函數(shù)連續(xù)。
針對其可導(dǎo)性,有:
不存在,因此該函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)。
(2)當(dāng)n=2時,分界點處的函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo),但是其導(dǎo)函數(shù)在x=0處不具備連續(xù)性。
針對其連續(xù)性:有= =0=,因此可以證明在該點函數(shù)具有連續(xù)性。
針對其可導(dǎo)性:
,即=0,因此有該函數(shù)在x=0處可導(dǎo)。
針對其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性,有: ,因此不存在,即該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并不具有連續(xù)性。
(3)當(dāng)n=3時,分界點處的函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)也連續(xù)。
函數(shù)在分界點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性求解方法同(2)問。
針對其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性:有 ==0,因此當(dāng)n=3時,其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)。
2.1.4 一元分段函數(shù)的不定積分計算
分段函數(shù)作為導(dǎo)函數(shù),其原函數(shù)在通常狀況下也是分段函數(shù),每一個表達式的原函數(shù)都有一個常數(shù)。根據(jù)不定積分的可積性,在導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的情況下,原函數(shù)也一定連續(xù),且其中的不定積分只具有一個任意常數(shù)。因此,一元分段函數(shù)的積分計算,關(guān)鍵在于函數(shù)的連續(xù)性。通過找出分段原函數(shù)在分界點的連續(xù)性就可以進一步找出任意常數(shù)之間的關(guān)系,從而求出分段函數(shù)的原函數(shù)。其步驟主要可以分為以下兩步:先分別求出各區(qū)間段不定積分的表達式,之后再由原函數(shù)的連續(xù)性確定積分常數(shù)之間存在的關(guān)系。舉例說明:
例4:設(shè)=,求。
解析:是在區(qū)間(-,+)間的不定積分,因此,=。
當(dāng)x≤0時,=。
當(dāng)x >0時,=。
因為不定積分只能含有一個任意常數(shù),并且要滿足在區(qū)間(-,+)內(nèi)可導(dǎo),所以原函數(shù)在(-,+)區(qū)間內(nèi)一定是連續(xù)的,根據(jù)這個條件,便可以消去其中一個常數(shù)項。
由在x=0處連續(xù)可以得出,,即,令=C,則有
=
2.1.5 一元分段函數(shù)的定積分求法和微分方程
在有限區(qū)間內(nèi)求分段函數(shù)的定積分相對來說比較簡單,可以通過在有限區(qū)間內(nèi)的函數(shù)可加性進行計算。
二元分段函數(shù)和一元分段函數(shù)一樣,都是采用類似的求解方法,區(qū)別只是在于自變量的個數(shù)有所增加,進而使得積分形式增多。其中涉及到的積分形式主要有二重積分、三重積分、曲面積分、曲線積分等,隨著維數(shù)的逐漸增大,數(shù)形結(jié)合解決更具難度,計算上也更為復(fù)雜。舉例說明:
例5:證明函數(shù)
在點(0,0)處連續(xù),其偏導(dǎo)數(shù)存在。
解析:因為≤≤,
所以有=0=,所以該函數(shù)在點(0,0)處連續(xù)。
同時,因為,所以=0,同理=0,因此此處存在偏導(dǎo)數(shù)。
3 結(jié)語
分段函數(shù)的微積分是幫助我們解決函數(shù)極限、連續(xù)性、可導(dǎo)性、不定積分與定積分計算的有效工具,在相關(guān)問題的解決上有著重要的作用和意義。除此之外,在生活中也有一定的應(yīng)用意義,因此,分段函數(shù)的微積分典型問題的例析是十分有必要的,通過相關(guān)問題的例析使學(xué)生掌握問題的解決方向和有效方法,不僅對于學(xué)生獨自解決分段函數(shù)微積分問題的能力提高有益,對其日后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程也有著積極的、長久的意義。
參考文獻
[1]胡耀勝.高等數(shù)學(xué)中分段函數(shù)的討論[J].中國科技縱橫,2011(21).
[2]韓瀅.求分段函數(shù)在分段點處導(dǎo)數(shù)的方法探析[J].遼寧師專學(xué)報:自然科學(xué)版,2008(2):4,107.
[3]蔡瑾.淺談高等數(shù)學(xué)一元微積分中的分段函數(shù)[J].長春理工大學(xué)學(xué)報,2013(2):121-122.
[4]鮑培文.分段函數(shù)的微積分典型問題例析[J].當(dāng)代教育理論與實踐,2013(9):65-67.