我國臺風(fēng)損失分布擬合與債券定價(jià)研究

摘要：文章利用1991～2011年登陸我國的臺風(fēng)數(shù)據(jù)對我國臺風(fēng)損失分布進(jìn)行擬合，通過分析發(fā)現(xiàn)，Gamma分布對我國臺風(fēng)損失擬合較好，在對比了巨災(zāi)債券定價(jià)模型的基礎(chǔ)上，選擇了Wang雙因素模型對我國臺風(fēng)債券定價(jià)進(jìn)行實(shí)證研究，為我國臺風(fēng)債券的發(fā)展提出對策與建議。

關(guān)鍵詞：臺風(fēng)損失；Gamma分布；臺風(fēng)債券定價(jià)

一、引言

臺風(fēng)是影響我國社會和人民生活的主要自然災(zāi)害之一，給人民生活和社會發(fā)展帶來巨大損失。多年來，如何有效分散臺風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)、彌補(bǔ)臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失一直是社會各界努力解決的問題。臺風(fēng)災(zāi)害損失幅度大的特點(diǎn)使得僅僅依靠保險(xiǎn)市場已無力分散這部分巨大的損失，進(jìn)而學(xué)者們把目光轉(zhuǎn)向了資金實(shí)力雄厚、分散能力更強(qiáng)的資本市場。臺風(fēng)債券是一種保險(xiǎn)連接證券，其付息或者還本與事件發(fā)生與否及損失程度相連，即只有當(dāng)災(zāi)害發(fā)生且造成損失滿足觸發(fā)條件時(shí)，債券投資者才會損失利息或本金。作為一種巨災(zāi)衍生產(chǎn)品，臺風(fēng)債券相當(dāng)于在資本市場與保險(xiǎn)公司之間簽定的一份再保險(xiǎn)合同，有利于保險(xiǎn)公司利用較為成熟的再保險(xiǎn)方面的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行市場操作，受到保險(xiǎn)公司的歡迎，同時(shí)因?yàn)榫哂忻黠@的零貝塔特性，臺風(fēng)債券等巨災(zāi)債券的產(chǎn)生豐富了資本市場的投資選擇，受到廣大投資者的追捧。

本文在借鑒前人研究的基礎(chǔ)上，首先對我國臺風(fēng)損失分布進(jìn)行擬合，在對臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失分布和年臺風(fēng)發(fā)生次數(shù)分布擬合的基礎(chǔ)上，建立臺風(fēng)年聚合損失模型。分析比較了現(xiàn)有債券定價(jià)模型，以WANG雙因素定價(jià)變換模型為基礎(chǔ)，利用擬合的結(jié)果，對我國臺風(fēng)債券的定價(jià)進(jìn)行實(shí)證分析，同時(shí)根據(jù)實(shí)證結(jié)果為我國臺風(fēng)債券的發(fā)行提出了相關(guān)的政策與建議。

二、我國臺風(fēng)損失分布擬合

（一）臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失分布的擬合

1. 數(shù)據(jù)的收集

為準(zhǔn)確估計(jì)我國臺風(fēng)巨災(zāi)損失發(fā)生的概率，本文收集了我國1991～2011年全部臺風(fēng)損失數(shù)據(jù)作為分析樣本，剔除掉0值個(gè)體，為了消除時(shí)間對損失額價(jià)值的影響，選擇了比CPI指數(shù)更為合理的GDP平減指數(shù)將損失數(shù)據(jù)調(diào)整到以2011年為標(biāo)準(zhǔn)的水平上。

2. 描述性統(tǒng)計(jì)分析

為我國1991～2011年臺風(fēng)損失的統(tǒng)計(jì)分布見表1。

3. 臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失的選擇與擬合

由表1可知，臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失樣本數(shù)據(jù)偏度為4.775，分布為左偏斜，峰度30.113，數(shù)據(jù)集中于單側(cè)極端，尾部分散。

假設(shè)直接經(jīng)濟(jì)損失為連續(xù)型變量，選取帕累托分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布，利用SPSS制作P-P檢驗(yàn)圖，結(jié)果如圖1所示。

根據(jù)P-P檢驗(yàn)圖的結(jié)果可知，伽馬分布與威布爾分布的擬合效果較好，進(jìn)一步采用極大似然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)，借助K-S法進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，確定最適合概率分布函數(shù)，結(jié)果見表2。

由表2可知，伽馬分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)效果最好，K-S檢驗(yàn)5%的顯著性水平上P值=0.7214>0.05，確定伽馬分布Gamma（0.8413，64.7553）為直接經(jīng)濟(jì)損失的統(tǒng)計(jì)分布。

（二）臺風(fēng)年損失次數(shù)分布

1. 數(shù)據(jù)的收集與參數(shù)估計(jì)

精算學(xué)中通常用泊松分布來描述臺風(fēng)發(fā)生次數(shù)的概率分布，本文采用1991～2011年我國的年臺風(fēng)次數(shù)對其參數(shù)λ進(jìn)行極大似然估計(jì)。設(shè)每年發(fā)生臺風(fēng)次數(shù)的變量為T，則λ的極大似然估計(jì)值為

■=■=4.87

2. 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

采用卡方檢驗(yàn)法對我國年臺風(fēng)次數(shù)變量服從泊松分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，得其卡方檢驗(yàn)值為6.667，而在5%顯著水平下自由度為5的卡方分布的臨界值為11.0705，因6.667<11.0705，故接受原假設(shè)，認(rèn)為我國年臺風(fēng)次數(shù)變量服從泊松分布（4.87）。

（三）臺風(fēng)年聚合損失模型

在計(jì)算出我國個(gè)體臺風(fēng)損失分布以及年臺風(fēng)損失次數(shù)分布的基礎(chǔ)上構(gòu)建我國的年臺風(fēng)損失聚合模型，設(shè)S為我國年臺風(fēng)總損失變量，則

FS（X）=P（S≤X）=■P（S≤X|T=n）P（T=n）+■P（L1+LLn≤X）P（T=n）

其中L1、L2、Ln代表年內(nèi)每次臺風(fēng)所造成的直接經(jīng)濟(jì)損失值，獨(dú)立同分布，對它們進(jìn)行n重卷積得

P（L1+LLn≤X）=P*P*L*P（X）=P*n（X）

所以

FS（X）■P（T=n）P*n（X）

fS（X）■P■（T=n）P*n（X）

三、臺風(fēng)債券定價(jià)研究

（一） 模型的選擇

本文對臺風(fēng)債券的定價(jià)研究是與臺風(fēng)的發(fā)生情況相聯(lián)系，所以采用保險(xiǎn)精算定價(jià)法?；诒ｋU(xiǎn)精算角度的巨災(zāi)債券定價(jià)模型包括Kreps模型、LFC模型、Wang兩因素模型、Christofides模型?？傮w而言，Wang雙因素模型在精確度上要優(yōu)于另外三個(gè)模型（田玲2006，謝世清2011），其主要通過對參數(shù)不確定性和概率變化來刻畫風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)，Wang雙因素模型對于風(fēng)險(xiǎn)細(xì)分層次價(jià)格可以計(jì)算，該模型的實(shí)用性較強(qiáng)。考慮到我國的實(shí)際情況，本文選取Wang雙因素模型來對臺風(fēng)債券進(jìn)行定價(jià)。

Wang（2000）首先提出了Wang變換公式，即

S*（x）=Φ（Φ-1（S（x））+λ）（1）

式中Φ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，S（x）=Pr{X>x}為損失超越曲線，它表示巨災(zāi)債券所承擔(dān)的巨災(zāi)損失。對于一個(gè)給定的具有客觀的損失超越曲線S（x）的損失變量X來說，Wang變化產(chǎn)生了一條經(jīng)過“風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整”后的損失超越曲線，或者說是一條價(jià)格曲線。變化后的分布包含了風(fēng)險(xiǎn)附加，即Wang變換對原有分布進(jìn)行了分布調(diào)整。

鑒于參數(shù)不確定性的因素始終存在， Wang（2004）遵循用t分布代替具有未知參數(shù)的標(biāo)的正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)抽樣理論，對經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的S（x）進(jìn)行參數(shù)不確定性調(diào)整，即

S*（x）=Ψ（Φ-1（S（x）） （2）

式中Ψ是自由度為K的t分布。t分布調(diào)整能夠反映出即使兩端的概率密度快速增加，二中間的密度相對不變，即增加了標(biāo)的的分布的峰度，從而能夠反映巨災(zāi)債券購買者害怕非預(yù)期損失大又期望得到非預(yù)期的高回報(bào)這樣的心理狀態(tài)。將式（1）與式（2）相結(jié)合，得到Wang雙因素模型，即

S*（x）=Ψ（Φ-1（S（x））+λ）（3）

其中Ψ是一種自由度為k的學(xué)生t分布，同時(shí)它具有厚尾無尖峰的特點(diǎn)，非常適合用來調(diào)整同樣具有厚尾特征的臺風(fēng)巨災(zāi)分布，其概率密度函數(shù)為f（t，k）=■·1+■■，-∞

（二）我國臺風(fēng)債券的定價(jià)

Wang雙因素模型中調(diào)整參數(shù)（λ，k）的確定是建立在以往巨災(zāi)債券產(chǎn)品的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上的，我國巨災(zāi)數(shù)據(jù)資料尚不能滿足要求，故采用Wang雙因素模型對美國1999年巨災(zāi)債券市場的數(shù)據(jù)擬合值：λ=0.453，k=5。

考慮發(fā)行一年期分層臺風(fēng)巨災(zāi)債券，年劵息為r，市場一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為i，債券的票面價(jià)值為F，到達(dá)第一、第二、第三層損失觸發(fā)條件的概率分別為q1、q2、q3，設(shè)■=1-■-■-■v=■，p=1-q1-q2-q3，則該債券最終價(jià)格為p=F■v+■■v+F（1+■）■v，其中■、■、■為經(jīng)過Wang雙因素變換法風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的q1、q2、q3，■=1-■-■-■。

臺風(fēng)債券的價(jià)格。發(fā)行臺風(fēng)債券的保險(xiǎn)公司面臨10億元、20億元和50億元的巨額巨災(zāi)賠付的概率等于我國一年內(nèi)發(fā)生的臺風(fēng)總損失大于100億元、200億元及300億元的概率。根據(jù)我國年聚合臺風(fēng)損失生存分布，其實(shí)際概率值應(yīng)分別為0.0067、0.0533、0.047。然而，根據(jù)Wang雙因素變換后我國年聚合臺風(fēng)損失生存分布概率值分別為0.0107、0.0632、0.0512，較真實(shí)值明顯增加。

依據(jù)前文對臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失的擬合函數(shù)可得q1=0.0067，q2=0.0533，q3=0.047，p=0.893，■=0.0107，■=0.0632，■=0.0512，P=0.8749。2010年2月23日財(cái)政部發(fā)布的我國一年期國債年收益率為2.6%，在給定P=F=100的條件下，由上文債券定價(jià)公式得r=■-1，故我國臺風(fēng)債券的風(fēng)險(xiǎn)中性劵息率為5.15%，而其經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)附加后的最終券息率為10.97%。

四、結(jié)語

本文通過對我國1991～2001年全部臺風(fēng)損失數(shù)據(jù)的收集與處理，對我國臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失分布和年臺風(fēng)發(fā)生次數(shù)進(jìn)行擬合。通過結(jié)果來看，Gamma分布對我國臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失擬合效果較好，這一點(diǎn)同李永（2012）等人的研究的結(jié)果相一致。本文進(jìn)一步構(gòu)建出了我國的年臺風(fēng)聚合損失分布模型并從精算學(xué)角度出發(fā)，結(jié)合文中提出的臺風(fēng)巨災(zāi)債券產(chǎn)品，對我國實(shí)際年臺風(fēng)聚合損失的生存分布采用Wang 雙因素概率變換，從而求得該臺風(fēng)債券的最終券息率，為我國發(fā)行巨災(zāi)臺風(fēng)債券提供參考。

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*本文系山東省高等學(xué)校人文社會科學(xué)研究項(xiàng)目：RD知識溢出對山東城市創(chuàng)新績效的空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)研究（項(xiàng)目編號：J13WF75）。

（作者單位：趙紅，山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院；宋立溫，山東經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院）