函數(shù)解析式求解的探究反思

摘 要：函數(shù)表示法最常見的一種是函數(shù)解析式，求解函數(shù)解析式的方法有許多，必修Ⅰ主要掌握待定系數(shù)法、換元法、配湊法、方程組法、實際問題求解法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)解析式 定義域

函數(shù)解析式是函數(shù)表示法的一種，函數(shù)的學(xué)習(xí)貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).在授課過程中應(yīng)該讓學(xué)生理解函數(shù)的概念，構(gòu)成函數(shù)的三要素是：定義域、值域、對應(yīng)法則.對應(yīng)法則主要研究因變量y與自變量x的等量關(guān)系，即函數(shù)解析式.

本文針對《必修Ⅰ》中《函數(shù)的概念與表示》的授課反思，就求解函數(shù)解析式的常見方法進(jìn)行探究歸納.

1.待定系數(shù)法

已知函數(shù)的類型，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)（學(xué)生目前熟悉的函數(shù)類型），設(shè)出函數(shù)的一般形式，通過已知條件求解系數(shù)的過程.

例1：已知 是一次函數(shù)，且滿足 ，求 的解析式.

解析：設(shè) ，

則 ，

所以 ，解得 ，所以 .

2.換元法

已知復(fù)合函數(shù) 的表達(dá)式，求解 的解析式.本題型考查函數(shù)相等的概念，即 與 是同一函數(shù)的理解應(yīng)用.

例2：已知 ，求 的解析式.

解析：令 ，則 ，

所以

所以

在解題過程中，應(yīng)注意新元t= 的取值范圍，即函數(shù)

的定義域，這樣得出的 也有一樣的定義域，才能保證所求函數(shù)的等價性.

3.配湊法

同樣是已知復(fù)合函數(shù) 的表達(dá)式，求解 的解析式.配湊的方向是將 的表達(dá)式中的所有x配湊出含

的形式，然后在利用換元法得到 的解析式，再利用函數(shù)相等的定義得出 的解析式，同樣要注意定義域是否受到限制取決于t.

例3：已知函數(shù) ，求 的解析式.

解析：

令 ，所以 .

所以 .

此例題是在學(xué)生考慮換元法的過程中，無法將x用t表示，得到的表達(dá)式，探索另一種解題方法.

4.方程組法

已知函數(shù)類型不同于上面的題型，式子中出現(xiàn) 與

，或者 與 的關(guān)系式，通過變量置換，構(gòu)造方程組，求解 的解析式.

例4：已知 +2 = ，求 的解析式.

解析：用 代x的 ，

聯(lián)立方程 ，

（1）*2-（2）得： .

此解法也可在函數(shù)奇偶性學(xué)習(xí)完，讓學(xué)生再次理解，如“已知偶函數(shù) 與奇函數(shù) 滿足 + = ，

求 的解析式.”同樣是利用方程組法求解析式，變量置換是用-x代x.

5.實際問題求解函數(shù)解析式

此類題型要根據(jù)題給條件，若題中沒有設(shè)出變量要合理設(shè)置，尋找兩變量間的等量關(guān)系，要注意實際問題中自變量的條件限制.

例5：如圖所示，在矩形ABCD中，BA=3，CB=4點P 在AD上移動CQ垂直BP，設(shè)BP=x，CQ=y試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并畫出函數(shù)圖象.

解析：本題已經(jīng)設(shè)出變量，直接在平面幾何上尋找y與x的等量關(guān)系，法一是通過三角形相似得到y(tǒng)與x的等量關(guān)系，法二可以連接CP，利用三角形BPC的等面積法得到y(tǒng)與x的等量關(guān)系.得到的解析式是y=12/x，本題容易忽視變量的實際意義，這里的x要滿足AB

在《函數(shù)的表示法》這里學(xué)習(xí)函數(shù)的解析式，主要是抓住學(xué)生熟悉的函數(shù)為背景進(jìn)行適當(dāng)補充，主要還是在函數(shù)相等概念的理解應(yīng)用.對于更多的方法求解應(yīng)該在往后學(xué)習(xí)完函數(shù)所有性質(zhì)再進(jìn)行拓展，適合教學(xué)的有效性，能給與學(xué)生探討的空間會比較大.