例析高中數(shù)列中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一，它既有相對(duì)的獨(dú)立性，又具有一定的綜合性和靈活性，也是初等與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，因而也是歷年高考的重點(diǎn)?？疾榈膬?nèi)容主要有兩個(gè)方面，一方面是數(shù)列的基本概念，另一方面是數(shù)列的運(yùn)算。下面對(duì)常見(jiàn)的幾種易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，同時(shí)結(jié)合例題進(jìn)行剖析，以便今后我們?cè)谂龅筋愃频膯?wèn)題時(shí)不至于再出錯(cuò)。

一 忽視數(shù)列首項(xiàng)的重要性導(dǎo)致錯(cuò)誤

例1，已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn=2n2+2n+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式_______。

錯(cuò)解：an=4n。

[出錯(cuò)原因與防范措施]本題出錯(cuò)的原因是沒(méi)有注意到an=Sn-Sn-1是在n≥2的條件下才能成立。這是由于對(duì)數(shù)列概念理解不透徹所致。在解關(guān)于由Sn求an的題目是，按兩步進(jìn)行討論，可避免出錯(cuò)。（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；（2）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1。檢驗(yàn)a1是否適合由（2）求得的解析式，若符合，則統(tǒng)一；若不符合，則用分段函數(shù)表達(dá)：

正解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=5；當(dāng)n≥2時(shí)，an=2n2+2n+1-2（n-1）2-2（n-1）-1=4n，

∴

二 忽視對(duì)等比數(shù)列中公比的分類討論導(dǎo)致錯(cuò)誤

例2，設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2+S4=S6，則數(shù)列的公比q是_______。

錯(cuò)解：-1。

[出錯(cuò)原因與防范措施]本題出錯(cuò)的原因是在表示等比數(shù)

列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)，學(xué)生只是想到 ，把q=1

的情況不自覺(jué)地排除在外，這是對(duì)前n項(xiàng)和公式理解不透徹所致，解等比數(shù)列的問(wèn)題，一定要注意對(duì)公比的分類討論，這是防止出錯(cuò)的一個(gè)好方法。

正解：（1）當(dāng)q=1時(shí)，S2+S4=6a1，S6=6a1。

∴S2+S4=S6成立。

（2）當(dāng)q≠1時(shí)，由S2+S4=S6。

得： 。

∴q6-q4-q2+1=0，即（q2-1）（q4-1）=0。

∵q≠1，∴q2-1≠0，q4=1，q=-1。

∴q=1或q=-1。

三 忽視分類討論或討論不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3，若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=20，公差d=-3，求Sk=|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|。

錯(cuò)解：由題意可知an=20-3（n-1）=23-3n，因此

由an≥0，解得n≤ ，即數(shù)列{an}的前7項(xiàng)大于0，從第8

項(xiàng)開(kāi)始，以后各項(xiàng)均小于0。

|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|

=（a1+a2+a3+…+a7）-（a8+a9+…+ak）

=2（a1+a2+a3+…+a7）-（a1+a2+a3+…+a7+a8+a9+…+ak）

=

所以 。

[出錯(cuò)原因與防范措施]在數(shù)列{an}中，若a1，a2，…，am≤0，am+1，…，an>0，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則：

當(dāng)n≤m時(shí)，Tn=-（a1+a2+…+an）=-Sn；

當(dāng)n≥m時(shí)，Tn=-（a1+a2+…+am）+（am+1+…+an）=Sn-2Sm，要注意這個(gè)轉(zhuǎn)化策略。在數(shù)列問(wèn)題中，一定要注意項(xiàng)數(shù)n的取值范圍，特別是在它取不同的值造成不確定的因素時(shí)，要注意對(duì)其加以分類討論。

正解：由題意可知an=20-3（n-1）=23-3n，因此

由an≥0，解得n≤ ，即數(shù)列{an}的前7項(xiàng)大于0，從第8

項(xiàng)開(kāi)始，以后各項(xiàng)均小于0。

當(dāng)k≤7時(shí)，Sk=|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|=a1+a2+…

+ak= 。

當(dāng)k≥8時(shí)，|a1|+|a2|+|a3|+…+|ak|=（a1+a2+a3+…+a7）-（a8+a9+…+ak）=2（a1+a2+a3+…+a7）-（a1+a2+a3+…+a7+a8+a9+…+ak）

=

六 對(duì)等差、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)理解不準(zhǔn)確導(dǎo)致錯(cuò)誤

例6，關(guān)于數(shù)列有下列四個(gè)判斷，其中正確命題的序號(hào)是_______。

錯(cuò)解：（1）若a，b，c，d成等比數(shù)列，則a+b，b+c，c+d也成等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，則an=an+1；（3）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=an-1（a∈R），則{an}為等比數(shù)列；（4）數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{an}中不會(huì)有am=an（m≠n）。

[出錯(cuò)原因與防范措施]等差數(shù)列的前n項(xiàng)和在公差不為0時(shí)是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)。一般地，有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R），則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”；在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m（m∈N*）是等差數(shù)列。解決這類題目的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問(wèn)題要全面，把各種可能性都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給予證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以駁斥。在等比數(shù)列中公比等于-1時(shí)是一個(gè)很特殊的情況，在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意這個(gè)特殊情況。

正解：對(duì)于（1），對(duì)于特殊數(shù)列-1，1，-1，1…即不成立，注意等比數(shù)列中不能出現(xiàn)零項(xiàng)；對(duì)于（2），若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，則數(shù)列必為常數(shù)列；對(duì)于（3），當(dāng)a=0時(shí)既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；對(duì)于（4）由函數(shù)的角度可知等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列，故數(shù)列中不可能出現(xiàn)相同的項(xiàng)。

故答案為：（2）（4）。

七 利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開(kāi)始）

例7，等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)l≠m時(shí)，Sm=Sl。問(wèn)n為何值時(shí)Sn最大？

錯(cuò)解： 。

[出錯(cuò)原因與防范措施]數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解數(shù)列問(wèn)題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，或即使考慮了n為正整數(shù)，但對(duì)于n取何值時(shí)，能取到最值求解出錯(cuò)。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸遠(yuǎn)近而定。

正解：由題意知Sn=

，此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)閍1>0，當(dāng)l≠m

時(shí)，Sm=Sl故d<0，即此二次函數(shù)開(kāi)口向下，故由f（l）=

f（m）得，當(dāng) 時(shí)，f（x）取得最大值，但由于 ，

故若 為偶數(shù)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，Sn最大；當(dāng) 為奇

數(shù)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，Sn最大。

八 在應(yīng)用裂項(xiàng)方法求和時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)

例8，求 。

[出錯(cuò)原因與防范措施]錯(cuò)位相減求和法的適用環(huán)境是：數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所組成的，求其前n項(xiàng)和。基本方法是設(shè)這個(gè)和式為Sn，在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一個(gè)和式，這兩個(gè)和式錯(cuò)一位相減，得到的和式要分三個(gè)部分：（1）原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)；（2）一個(gè)等比數(shù)列的前（n-1）項(xiàng)的和；（3）原來(lái)數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比后在作差時(shí)出現(xiàn)的。在用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)一定要注意處理好這三個(gè)部分，否則就會(huì)出錯(cuò)。

正解：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得1+2+3+…+n

= ，∴ ，n取1，

2，3，…，就分別得到 ， ， ，…，∴

。

其實(shí)在平時(shí)的教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)列這章內(nèi)容中易錯(cuò)的點(diǎn)還有很多，以上只是筆者對(duì)高中數(shù)列當(dāng)中的幾個(gè)常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行的一個(gè)歸納總結(jié)。如果我們能對(duì)數(shù)列中的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行及時(shí)的辨、析、正、補(bǔ)，確保此類問(wèn)題不再出錯(cuò)，那么我們就能讓學(xué)生在考試中有效地杜絕失分現(xiàn)象。

〔責(zé)任編輯：李錦雯〕