在課堂教學中如何提高學生的數(shù)學思維水平

【摘 要】高中學生普遍缺乏數(shù)學思維，這是制約學生解題能力提升的關(guān)鍵因素，因此如何在課堂教學中提高高中學生數(shù)學思維能力，是高中數(shù)學教師面臨的一個重要課題。

【關(guān)鍵詞】思維水平 分析預(yù)期 大局觀 通性通法

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）01-0137-02

數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)學是一個原則，無數(shù)內(nèi)容，一種方法，到處可用?！睌?shù)學思維駕馭著數(shù)學知識。而學生數(shù)學思維水平的高低，直接決定著數(shù)學解題能力的高低。數(shù)學思維能力對學生的數(shù)學學習乃至未來發(fā)展都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。而如何在數(shù)學課堂教學中培養(yǎng)學生的思維能力，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)是教學改革的一個重要課題。下面就如何在課堂教學中提高高中學生數(shù)學思維能力談?wù)劰P者在教學中的幾點嘗試。

一 做好分析預(yù)期，提高學生思維的目的性，培養(yǎng)“大局觀”

要培養(yǎng)學生的思維能力，提高學生的思維水平，首先要讓學生學會全面地分析問題，從而能做出合理、科學的決策。這就必須從培養(yǎng)學生分析問題的“大局觀”著手，讓學生的思維具有一定的前瞻性和目的性。因此，教師在講解例題時，一定要做好分析預(yù)期。

例1，右下圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

=1的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點（異于右準線與x軸的交點），設(shè)線段FM交橢圓C于點P，設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍。

這是一個典型的問題，顯然要同時用到M點和P點坐標，必須要把直線FP的方程寫出來，那到底怎么設(shè)，是設(shè)直線FP的斜率，還是設(shè)M點的坐標，或是設(shè)P點的坐標？

教師可以嘗試讓學生先思考：要求k1·k2的取值范圍，需要什么？怎么得到這些需要的條件？怎么得到這些條件方便？

有個學生這樣講：設(shè)直線FP的斜率為k，然后用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出P點的坐標，再用兩條直線聯(lián)立，求出M點的坐標，然后把k1·k2表示為k的函數(shù)？我就問該學生：你為什么這么設(shè)？學生回答：這么設(shè)只要一個參數(shù)k。我又問：你再想一下，這樣做會不會有困難，困難在哪里？學生略作思考后回答：求M點的坐標時要解一個含參數(shù)k的一元二次方程，這個很困難。我又問：怎么可以回避你剛才碰到的問題？學生回答：設(shè)P點的坐標。

顯然，在這個問題中，學生的思維局限在“一個參數(shù)”所帶來的方便中，而沒有意識到接下來會遇到的麻煩，顯然學生思維的深度和遠度不夠，從而做出了短期性、局限性的決定。而要突破這種局限，要求教師必須放開學生的思維，多給學生鍛煉的機會，讓學生在挫折中吸取教訓(xùn)，使目光變得長遠，“大局觀”變得更強，數(shù)學的思維水平得到提高。

二 “高觀點”指引，提高學生思維的概括性，培養(yǎng)“數(shù)學思想”

要培養(yǎng)學生的思維能力，提高學生的思維水平，還要求教師能夠“居高等數(shù)學之高”，去“臨中學數(shù)學之下”。用高等數(shù)學的原理、觀點、思想和方法去指導(dǎo)研究初等數(shù)學中的一些常見問題。

例2，講到這樣一個例題：已知x，y，z∈R，求x+y

z=1，x2+y2+z2=3，求xyz的最大值。

筆者在所教的兩個班（A班和B班）中采用了不同的方法：A班直接告訴學生可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個變量的函數(shù)來做。在B班教學時，先給出了一個簡單的變式題：已知x，y∈R，x+y=1，求x·y的最大值。然后問學生：（1）這個題目怎么做？（2）這個題目和例題有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？學生很快就回答了出來，接著又問學生：（3）這兩個題目主要是用到了怎樣的數(shù)學思想？（4）用這個數(shù)學思想可以解決什么樣的問題？然后讓學生討論。最后，學生得出結(jié)論：兩個題目中都是未知數(shù)個數(shù)比方程個數(shù)多1個，因此兩個題目都有一個“自由變量”，就能以此“自由變量”構(gòu)造函數(shù)；這一討論，意在顯化數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學方法所隱含的本質(zhì)思想，即通性通法。

一周后，我在兩個班考了這樣一個題目：已知a，b，c∈R+，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求abc的取值范圍。結(jié)果A班做對的有18人（共44人），B班做對的有34人（共40人）。很明顯，兩種教學方法給學生帶來了截然不同的影響。顯然，這里的“高觀點”所凸顯的數(shù)學思想能幫助學生深化理解，解決一些共性的問題。作為高中數(shù)學教師，用高等數(shù)學的思想、觀點和方法來指導(dǎo)中學數(shù)學教學實踐，溝通高等數(shù)學和初等數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生的探究精神和創(chuàng)新能力，帶動數(shù)學思維能力的提升，將是新形勢下搞活中學數(shù)學教學的一條有效途徑。

三 精心設(shè)計學習“障礙”，提高思維的深刻性，培養(yǎng)學生的問題意識

平坦無奇固然可使學生的學習比較輕松，但往往也會使學生感到乏味。因此，要使學生積極主動參與學習，開發(fā)其創(chuàng)造潛能，教師就必須根據(jù)學生的認知特點和教材內(nèi)容，巧妙地設(shè)置一些學習上的“小障礙”。只有這些“障礙”在學生新的需要與原有發(fā)展水平之間產(chǎn)生沖突時，才能激發(fā)學生的學習動機，提高學生的思維。

例3，設(shè)正項數(shù)列{an}滿足2Sn=an+ （n∈N*），求

{an}的通項。

在教學過程中，我讓兩個同學分別從消an和消Sn的角度解決此題，以下是這兩個同學的解法：

學生1：由2Sn=an+ （n∈N*） （1）

得到2Sn+1=an+1+ （n∈N*） （2）

由（2）-（1）得2an+1=an+1+an+ ，通分整理得：

an+1- =-（an+ ） （3）

兩邊同時平方得： ，所以

是等差數(shù)列，公差d=4。

∴ ，∴ ，∴ 。

學生2：由 ，得 ，

整理得： ，∴ ，∴ ，∴ （n∈N*）。

兩位學生算完后，下面的學生就開始議論了，兩種方法都對，答案不一樣，問題出在哪里？

面對困難，同學們開始積極思考，最后發(fā)現(xiàn)本題中“正項

數(shù)列”是關(guān)鍵，在學生1的式（3）中， ，

所以an+1∈（0，1）， 。

新課程特別強調(diào)問題在學習活動中的重要性。只有在教學過程中不斷地給學生創(chuàng)設(shè)學習“障礙”，才能激發(fā)和培養(yǎng)學生的問題意識，挑戰(zhàn)學生的思維新高度。同時，通過一些思維上的挫折，可以讓學生發(fā)現(xiàn)自己思維上的斷點，從而通過有針對性的訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的延續(xù)性和耐挫性，提升數(shù)學思維水平。

四 加強變式訓(xùn)練，提高思維的靈活性，培養(yǎng)舉一反三的能力

所謂數(shù)學變式訓(xùn)練，是指在數(shù)學教學過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式以及問題從不同角度、不同層次、不同情形進行橫向或縱向的拓展延伸。變式訓(xùn)練可以幫助學生多角度地理解解題方法，從“掌握知識”向“理解思想”過渡；俗話說：授之以魚，不如授之以漁。教師要讓學生主動參與，不要總是教師“變”，學生“練”。要鼓勵學生大膽地“變”，有目的、有意識地引導(dǎo)學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，幫助學生融會貫通所學的知識點，同時培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神以及舉一反三的能力。

例4，在高三一輪復(fù)習關(guān)于“二元函數(shù)的均值”一節(jié)時，最常見的有這樣一個題目：已知，a，b∈R，a>0，b>0，a

+b=1，求 的最小值。我們可以給出這個題目有很多種

變式，如變式（1）：已知x∈（0，1），求 的最小值；

變式（2）：已知θ∈R， ，求 的最小值。

在這兩個題目的基礎(chǔ)上，我讓學生思考，能不能再大膽變化，出一個含參數(shù)的題，思考兩分鐘后有學生給出了這樣

一個題目（3）：已知 ≥4對x∈（0，1）恒成立，求

正實數(shù)m的取值范圍。

我讓學生進一步思考這幾個題目的共同特征是什么？有同學馬上舉手告訴我：都是分式結(jié)構(gòu)且分母和為定值。至此，這一類問題得到了圓滿的解決。學生也在這個過程受到了數(shù)學思維的熏陶，把問題歸結(jié)為最本源。

可見，變式訓(xùn)練可使學生正確理解教材與知識點、能力點的關(guān)系，從而抓綱務(wù)本，跳出題海，有效地提高思維的敏捷性、應(yīng)變性、發(fā)散性、創(chuàng)造性等思維品質(zhì)。

簡言之，數(shù)學學習的核心是數(shù)學思維的活動，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)是高中數(shù)學課堂的首要任務(wù)。高中學生，數(shù)學學習不僅要獲得數(shù)學知識，更重要的是要得到思維訓(xùn)練。因此，如何啟發(fā)學生積極、有效的思維，提升數(shù)學思維水平，就成為高中數(shù)學課堂教學的重要研究課題。而只有做好了這一點，才能真正做好應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)變。

當然，數(shù)學是高級智力體操，數(shù)學能力的提高不僅取決于數(shù)學課堂教學本身，也取決于數(shù)學之外的努力，特別是非智力因素的培養(yǎng)。因此，強化學生學習數(shù)學的動機和適度的數(shù)學學習挑戰(zhàn)性、加強其耐挫力培養(yǎng)、提煉通性通法、解決共性問題、提升思維品質(zhì)，也應(yīng)是數(shù)學課堂教學應(yīng)有之意。