初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想探析

【摘 要】在新的一輪課程改革中，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，同時(shí)要求在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。分類討論思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中十分重要。在教學(xué)過程中，教師要對(duì)這種方法進(jìn)行滲透，使學(xué)生真正學(xué)會(huì)運(yùn)用這種方法解決數(shù)學(xué)問題。本文對(duì)其進(jìn)行了簡單的探討，目的在于幫助教師對(duì)分類討論思想加以重視，做好這方面的教學(xué)工作。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 分類討論 探討

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）01-0133-02

分類討論是初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法之一。在新課改的大環(huán)境下，要想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生真正地掌握分類討論的方法，教師要對(duì)這種方法的意義和重要性等方面有詳細(xì)的認(rèn)識(shí)和了解，并對(duì)其應(yīng)用的策略與方法熟練掌握、不斷探索創(chuàng)新。

一 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論的必要性

在新課改中，強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)，學(xué)生總體素質(zhì)和能力的提高是教學(xué)的重點(diǎn)。對(duì)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分割，將其按種類進(jìn)行劃分，然后對(duì)其進(jìn)行逐個(gè)的解答，這個(gè)過程稱為分類討論。做好分類討論的教學(xué)工作，符合新課改的要求，有利于學(xué)生整體素質(zhì)和能力的提高。在進(jìn)行分類討論時(shí)，最基本的要求就是做到盡量不要將知識(shí)點(diǎn)重復(fù)講解，也不要遺漏重要的知識(shí)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論的辦法，能夠有效地提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力，在這一點(diǎn)上與新課改的要求是一致的。分類討論對(duì)于學(xué)生思維的培養(yǎng)有著積極的作用，能夠提高學(xué)生思維邏輯的有序性和嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生能夠?qū)τ龅降膯栴}進(jìn)行全方位的仔細(xì)分析，對(duì)其進(jìn)行更深一步的探究，同時(shí)還能使學(xué)生的思維更加連貫。雖然在初中數(shù)學(xué)中的分類討論有很多的好處，但是其對(duì)于學(xué)生來說，具體學(xué)習(xí)和掌握起來有很大的難度。通過多年的教學(xué)工作和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果來看，很多學(xué)生還是做不好分類討論，表現(xiàn)為對(duì)分類討論運(yùn)用得不夠，在進(jìn)行分類討論的過程中，對(duì)于問題的考慮不夠全面，使得在考試中這方面問題的得分率不高。對(duì)導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因進(jìn)行分析，主要是在實(shí)際的初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師對(duì)于分類討論思想的強(qiáng)調(diào)和講解不夠，學(xué)生不能夠熟練地運(yùn)用分類討論思想。

數(shù)學(xué)問題究其本質(zhì)是一樣的，只是在某些具體問題上存在著差異，在對(duì)這些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類時(shí)，導(dǎo)致需要進(jìn)行分類討論的原因主要有以下幾種：

第一，數(shù)學(xué)中相關(guān)概念的不同，例如對(duì)于絕對(duì)值的定義，我們將其分為小于零、等于零和大于零這三個(gè)具體的情況；對(duì)于求含有字母的絕對(duì)值的問題時(shí)，也要進(jìn)行分類討論；此外還包括對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類等等。

第二，某些數(shù)學(xué)公式、定理以及性質(zhì)等在進(jìn)行變換時(shí)存在著特定的約束限制條件，這時(shí)候也需要進(jìn)行分類討論，如對(duì)一元二次方程根的解決。

第三，在幾何知識(shí)中，在圖形的位置之間的關(guān)系變化和圖形大小的變化等問題上，需要進(jìn)行分類討論，例如圓和直線的關(guān)系的確定；圓和圓位置關(guān)系的確定；利用圓周角確定同弧的圓心角時(shí)，都要用到分類討論。

第四，在式子中存在某個(gè)字母參數(shù)時(shí)，要對(duì)參數(shù)的取值范圍和各種臨界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，例如一次函數(shù)中K值的不同引起函數(shù)圖像的變化；不等式的性質(zhì)等等。

二 初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用分類討論思想的重要意義

當(dāng)我們在對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解時(shí)，問題對(duì)象的不同可能會(huì)對(duì)研究結(jié)果造成很大的不同，使得最后的結(jié)果不能滿足實(shí)際情況，所以，在求解的過程中，對(duì)于具體問題要進(jìn)行分類的討論；另外，隨著問題的研究，出現(xiàn)了多種情況，也需要我們對(duì)其進(jìn)行分類討論和研究。

在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，運(yùn)用好分類討論，能夠?qū)⒃緩?fù)雜的問題簡化，能夠更清楚地了解問題的本質(zhì)，在某種特定環(huán)境下對(duì)問題進(jìn)行分析，使問題變得簡單?！胺诸愑懻摗焙唵蝸碇v就是對(duì)于數(shù)學(xué)問題先進(jìn)行分類，然后逐個(gè)進(jìn)行討論。在對(duì)教材和教學(xué)大綱的閱讀時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)的教材中對(duì)分類討論是由易到難來進(jìn)行安排的，將“分類討論思想”劃分為兩個(gè)部分。首先是“分類思想”，它在初中數(shù)學(xué)教材的編排中較為重視，對(duì)此方面的教學(xué)安排較多，目的是為了使學(xué)生建立起分類的好習(xí)慣，正確運(yùn)用分類方法。其次是“討論思想”，對(duì)于討論方法的學(xué)習(xí)要求教師在教學(xué)中向?qū)W生逐漸滲透。

三 初中數(shù)學(xué)教學(xué)分類討論思想的基本原則

在初中數(shù)學(xué)中的分類討論要嚴(yán)格遵照一些基本原則去進(jìn)行，本文將這些原則大體總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

1.標(biāo)準(zhǔn)一致性原則

在進(jìn)行分類時(shí)要按照一致的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，對(duì)于同一個(gè)問題在進(jìn)行分類時(shí)按照不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，這樣會(huì)造成分類的混亂。例如，在實(shí)際的教學(xué)中，有的學(xué)生對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，將其分為鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形、等腰三角形、不等邊三角形。在分類時(shí)將按角分類和按邊分類混用，造成了分類的混亂。銳角三角形中存在著等腰三角形，直角三角形同時(shí)也可能是等腰三角形；而等腰三角形中同時(shí)包含著銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。這種混亂的分法對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解無形之中增加了困難。

2.無交集原則

在進(jìn)行分類后，各個(gè)分類情況中包含的子項(xiàng)應(yīng)該是彼此沒有交集的，要做到互相排斥，不產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，要做到同一個(gè)子項(xiàng)只屬于某一個(gè)大類。例如在運(yùn)動(dòng)會(huì)上，班級(jí)里有十個(gè)同學(xué)參加了田徑和舞蹈兩個(gè)比賽，其中七個(gè)人參加了舞蹈比賽，六個(gè)人參加了田徑項(xiàng)目。假如將這十個(gè)人按照參加舞蹈和田徑比賽來進(jìn)行劃分，這就違背了無交集原則，這是因?yàn)?，在這十個(gè)人當(dāng)中，一定有人參加舞蹈比賽又參加了田徑比賽。

3.相稱性原則

在進(jìn)行分類時(shí)要做到相稱，也就是說在分類之后，分成的各小項(xiàng)的總和在進(jìn)行擴(kuò)展和延伸時(shí)，要與未分類之前問題的拓展和延伸相對(duì)稱，不能在分類之后，在進(jìn)行問題延伸時(shí)與原問題出現(xiàn)差錯(cuò)。例如對(duì)于有理數(shù)的分類，有的學(xué)生將其分為負(fù)有理數(shù)和正有理數(shù)，這就違反相稱性原則。分類后各項(xiàng)進(jìn)行延伸后的和小于分類之前的，沒有將零這種特殊的有理數(shù)考慮在內(nèi)，因?yàn)榱慵炔粚儆谡龜?shù)又不屬于負(fù)數(shù)。

4.多層次性原則

對(duì)問題的分類包括一次分類和多次分類?！耙淮畏诸悺敝傅氖菍?duì)于所討論的問題或?qū)ο笾贿M(jìn)行一次分類；“多次分類”指的是在進(jìn)行首次分類后，對(duì)于分類后的各個(gè)小項(xiàng)再次進(jìn)行分類，一直到能夠達(dá)到實(shí)際需要。在實(shí)際中，一些較為復(fù)雜的問題，常常會(huì)用到“二分法”，根據(jù)一些性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行劃分，將所討論問題進(jìn)行不斷地延伸，直到在分類中出現(xiàn)矛盾。

四 初中數(shù)學(xué)中進(jìn)行分類討論的一般步驟

在初中數(shù)學(xué)中進(jìn)行分類討論是要遵循一定的步驟，其大體步驟如下：（1）對(duì)討論問題和對(duì)象的取值范圍以及其本身進(jìn)行確定；（2）對(duì)于分類標(biāo)準(zhǔn)要進(jìn)行正確、合理地選擇，做到分類的合理；（3）按照所分類型逐個(gè)進(jìn)行分析討論，解決問題；（4）對(duì)于討論的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。

五 在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程和解題中對(duì)分類討論思想的具體應(yīng)用

要想在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程和解題中應(yīng)用好分類討論思想，首先要求教師在進(jìn)行知識(shí)傳授的同時(shí)，重視對(duì)分類討論思想的滲透，從而幫助學(xué)生養(yǎng)成遇到問題分類討論的好習(xí)慣。目前，初中生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中對(duì)分類討論運(yùn)用的效果不好，其遇到問題進(jìn)行分類討論的意識(shí)還有待增強(qiáng)，不清楚該對(duì)哪些問題進(jìn)行分類討論，頭腦較為混亂。另外，分類討論思想不同于其他的數(shù)學(xué)知識(shí)，不是通過短時(shí)間的學(xué)習(xí)就能夠?qū)W會(huì)的。這就對(duì)教師提出了更高的要求，教師要對(duì)教材進(jìn)行更進(jìn)一步的研究，在教學(xué)中結(jié)合有關(guān)知識(shí)滲透分類討論思想，幫助學(xué)生建立分類討論的習(xí)慣，對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行更好地揭示，從而使學(xué)生能夠更好地運(yùn)用分類討論思想解決有關(guān)問題。

下面根據(jù)本人在教學(xué)中分類討論教學(xué)的實(shí)例，來講解在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中如何具體地應(yīng)用分類討論方法。

例1，當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一個(gè)一次函數(shù)。

解答：當(dāng)（m+5）x2m-1為一次項(xiàng)時(shí)，要求2m-1=1；則m=1，函數(shù)為y=13x-3。當(dāng)（m+5）x2m-1為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，

2m-1=0；則m= ，函數(shù)為y=7x+ ；當(dāng)m+5=0時(shí)；

m=-5，函數(shù)為y=7x-3。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)（m+5）x2m-1進(jìn)行討論，考慮其是常數(shù)項(xiàng)或者一次項(xiàng)的情況，對(duì)這兩種情況分別進(jìn)行解答，求出滿足條件的m的所有值。

例2，若|n-m|=m-n，且|n|=4，|m|=3，則（m+n）2為多少？

解答：由于|m|=3，|n|=4，所以m為3或者-3，n為4或者-4；又由于|n-m|=m-n，因此，m-n的值大于等于零，且m大于等于n；當(dāng)m=3時(shí)，n的可能取值是-4，結(jié)果是1；當(dāng)m=-3時(shí)，n的可能取值是-4，這時(shí)的結(jié)果為49。所以（m+n）2的所有可能的值是49或1。

點(diǎn)評(píng)：與絕對(duì)值相關(guān)的問題，在解答時(shí)要特別注意對(duì)其進(jìn)行分類討論。對(duì)其各種情況進(jìn)行合理的分類，才能得到正確的完整結(jié)果，若不能進(jìn)行分類，會(huì)造成最終結(jié)果的不全面，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

例3，某運(yùn)動(dòng)旗艦店賣籃球襪和護(hù)腕，籃球襪的定價(jià)為200元一組，護(hù)腕的定價(jià)為40元一套。賣家在進(jìn)行促銷時(shí)有兩種具體的優(yōu)惠方案，第一種是買籃球襪送一套護(hù)腕；第二種方案時(shí)籃球襪和護(hù)腕均按原價(jià)賣，顧客在同時(shí)購買時(shí)，可享受九折優(yōu)惠，并且只能選擇一種優(yōu)惠方案。某個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)教練要到該旗艦店購買20套籃球襪和20套以上的護(hù)腕，請(qǐng)為這個(gè)教練選擇一種最經(jīng)濟(jì)的購買方案。

問題分析：由于題干中沒有具體說明要買的護(hù)腕的數(shù)量，所以這種購買方案具有不確定性，是由購買的籃球襪的數(shù)量而決定的。

解答：假設(shè)教練要購買籃球襪x套，則根據(jù)方案一，所付款數(shù)為200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）；根據(jù)方案二，所付款數(shù)為：（200×20+40x）×90%=36x+3600（元）；設(shè)兩者的差為y，則y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元）。（1）當(dāng)y<0時(shí)，4x-400<0，即200時(shí)，4x-400>0，即x>100，選擇方案二。

根據(jù)以上分析，當(dāng)購買護(hù)腕數(shù)大于20套而不足100套時(shí)，選擇方案一；當(dāng)購買護(hù)腕數(shù)等于100套時(shí)，哪種購買方案都行；當(dāng)購買護(hù)腕數(shù)大于100套時(shí)，選擇方案二。

六 總結(jié)

以上就是對(duì)初中數(shù)學(xué)分類討論思想的論述，分析了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的意義和重要性，并簡單介紹了其應(yīng)用的基本原則和步驟，最后根據(jù)本人在教學(xué)中的實(shí)際，列舉了分類討論的具體應(yīng)用。由于本人能力有限，對(duì)這方面的研究還不夠充分，還需要在今后的教學(xué)中進(jìn)一步探索，讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)真正掌握分類討論的思想方法。

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