反思一道方程應(yīng)用題的錯(cuò)解

由于課改，初中階段的應(yīng)用題很顯著的一個(gè)特點(diǎn)就是遠(yuǎn)離了枯燥繁瑣的計(jì)算，遠(yuǎn)離了抽象的邏輯思維、數(shù)量關(guān)系的分析，而密切聯(lián)系生活實(shí)際，注重了在實(shí)際問(wèn)題情景中，考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的能力。

筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，曾多次遇到學(xué)生怕于正面對(duì)待方程應(yīng)用題，大量的學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)總會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的一些問(wèn)題，導(dǎo)致解決問(wèn)題的過(guò)程中漏洞百出。在一次測(cè)驗(yàn)中曾有這樣一題：

“暑假期間，小明到父親經(jīng)營(yíng)的小超市參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)。一天，小明隨父親從銀行換回來(lái)58張，共計(jì)200元的零鈔用于顧客付款時(shí)找零。細(xì)心的小明清理了一下，發(fā)現(xiàn)其中面值為1元的有20張，面值為10元的有7張，剩下的均為2元和5元的鈔票。你能否用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法算出2元的和5元的鈔票各有多少?gòu)垎?？?qǐng)寫(xiě)出演算過(guò)程?！?/p>

就此題而言是一道非常好的應(yīng)用題：巧妙的將數(shù)量關(guān)系融入在學(xué)生所熟悉的日常生活情景（零錢(qián)兌換）之中，且問(wèn)題充分體現(xiàn)人性化“你能否用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法算出2元的和5元的鈔票各有多少?gòu)垎?？?qǐng)寫(xiě)出演算過(guò)程”。據(jù)閱卷場(chǎng)抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)得分率相當(dāng)?shù)停捍罅康腻e(cuò)卷，大量的空白。造成如此境況，不得不引起我們數(shù)學(xué)教育者的重視和反思！

歸納起來(lái)，學(xué)生在解答此題時(shí)，錯(cuò)誤情況大致有以下幾種情形，現(xiàn)逐一列舉并分析如下：

錯(cuò)誤一：不設(shè)未知數(shù)就直接列出方程解答，讓人一頭霧水。

例：“解：2x+5（58-20-x）=110?！边@種錯(cuò)誤是學(xué)生的基本解題習(xí)慣不具備造成的，說(shuō)明了我們平時(shí)對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練量不足，或是對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)不到位。

錯(cuò)誤二：不能準(zhǔn)確的設(shè)出未知數(shù)。

如，“設(shè)分別為x張”，而所列方程又為“2x+5（58-20-x）=110”

又如，“設(shè)分別有x、y張”。而所列方程組為又是正確的。為：

這種錯(cuò)誤在于設(shè)未知數(shù)時(shí)表述不準(zhǔn)確，導(dǎo)致指向不明，也不能算完全正確。這也暴露出我們教師在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練要求不嚴(yán)謹(jǐn)，不規(guī)范；或是學(xué)生自身不具備科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。

錯(cuò)誤三：未知數(shù)設(shè)正確了，但只列出了一個(gè)方程。

如：“設(shè)面值2元的有x張，面值5元的有y張”而列出的方程是：“2x+5y=110”。這種錯(cuò)誤的原因是只找出并只找對(duì)了一個(gè)數(shù)量關(guān)系，另外人民幣的張數(shù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系沒(méi)有找出來(lái)，沒(méi)有建立好方程。這也許是學(xué)生對(duì)二元方程的應(yīng)用的基本模式?jīng)]有把握造成的，或許也是因?yàn)閷W(xué)生由于考場(chǎng)上的緊張而造成的失誤。

錯(cuò)誤四：未知數(shù)設(shè)正確了，看題不仔細(xì)，或是明顯筆誤，造成失分。

把“7”當(dāng)成了1，所列出的其中一個(gè)方程為： “20+1+x+y=58”；把“7”當(dāng)成了10，所列出的其中一個(gè)方程為：“20+10+x+y=58” 。這種錯(cuò)誤是典型的粗心造成的，學(xué)生弄懂了題意，心中建立了數(shù)量關(guān)系模型，但沒(méi)有把相關(guān)數(shù)據(jù)厘清或是在書(shū)寫(xiě)中筆誤導(dǎo)致錯(cuò)解，實(shí)感不值！

錯(cuò)誤五：學(xué)生采用列舉法，花了很大篇幅，但沒(méi)有得到正確答案。

一考生答題過(guò)程如下：

“解：剩下的2元和5元總鈔票價(jià)值為200-20-10×7=110元。

∵剩下的面值為2元鈔和5元鈔。

∴2元鈔的張數(shù)只能為5，10，15，20，25，30，35，40，45，50這10種可能。

∴與之相對(duì)應(yīng)的5元鈔的張數(shù)分別為20張，18張，16張，14張，12張，10張， 8張，6張，4張，2張。

答：2元和5元的張數(shù)為：（5，20），（10，18），（15，16），（20，14），（25，12），（30，10），（35，8，）（40，6），（45，4），（50，2）。”

該考生的思路是很清晰的，想試圖通過(guò)列舉法找出他們的公共解（交集）。但遺憾的是其答案是錯(cuò)誤的。其根本原因是只顧尋求人民幣的總額為110元這個(gè)條件，而忽略了“總張數(shù)為58張（2元和5元的張數(shù)為31張）”這個(gè)條件。犯了顧此失彼的錯(cuò)誤。

反思：這些應(yīng)用題中的常見(jiàn)錯(cuò)誤，為什么屢禁不止？學(xué)生的答卷中為何頻繁出現(xiàn)？對(duì)于應(yīng)用題教學(xué)，我們教師究竟該教給學(xué)生什么？

解決策略：

一、學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)不容忽視。

我們要將學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，包括讀題習(xí)慣，思維習(xí)慣，書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，考試習(xí)慣，答題習(xí)慣等等。比如，對(duì)于解決一道應(yīng)用題時(shí)，首先應(yīng)準(zhǔn)確設(shè)出未知數(shù)，以免造成學(xué)生不設(shè)未知數(shù)就列方程；同時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，該規(guī)范的盡量規(guī)范，如設(shè)未知數(shù)時(shí)應(yīng)帶好單位，解答完后要準(zhǔn)確寫(xiě)出答語(yǔ)等。實(shí)踐證明，學(xué)生的習(xí)慣來(lái)源于教師的反復(fù)糾正強(qiáng)調(diào)、督促訓(xùn)練，功夫在平時(shí)，專靠考前的強(qiáng)調(diào)或是臨時(shí)一兩天的集訓(xùn)是不會(huì)有效果的。

二、明確應(yīng)用題的教學(xué)目標(biāo)。

數(shù)學(xué)課標(biāo)中指出“學(xué)生將學(xué)習(xí)方程和方程組、不等式和不等式組、函數(shù)等知識(shí)，探索數(shù)、形及實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)涵的關(guān)系和規(guī)律，初步掌握一些有效地表示、處理和交流數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律的工具，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)知識(shí)與方法解決問(wèn)題的能力，能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型?！?/p>

三、解決問(wèn)題的能力培養(yǎng)在課堂。

在我們的教學(xué)中“應(yīng)注重讓學(xué)生在實(shí)際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程?！?/p>

同時(shí)，“教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用\"問(wèn)題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展\"的模式展開(kāi)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過(guò)程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。”

另外，“教學(xué)中要鼓勵(lì)與提倡解決問(wèn)題策略的多樣化，尊重學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)出的不同水平。問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問(wèn)題的策略，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平。”

在方程應(yīng)用題的教學(xué)中，學(xué)生感到最困惑的地方在于無(wú)法根據(jù)問(wèn)題情景抽象出數(shù)量關(guān)系，即建立等量關(guān)系。造成此現(xiàn)象的原因大多在于讀不懂題。像以上所列舉的試題，在考場(chǎng)上，時(shí)間緊再加上此題的字?jǐn)?shù)較多，會(huì)造成學(xué)生心理緊張，考生往往在慌亂中隨意讀題就下筆。如果平時(shí)的訓(xùn)練不到位，肯定會(huì)造成這種窘?jīng)r！