例談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

宋宇逸 歐麗梅

【摘要】函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.導(dǎo)數(shù)不僅是一個(gè)特殊函數(shù)，而且也是分析和解決問(wèn)題的有效工具.導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材之后，給傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究提供了新視角、新方法、新途徑，拓寬了高考的命題空間，新課標(biāo)提出了更高的要求.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系問(wèn)題便成為了近年來(lái)高考的亮點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題，真可謂函數(shù)因?qū)?shù)而精彩.

【關(guān)鍵詞】單調(diào)性；單調(diào)區(qū)間；極值；最值；不等式

【基金項(xiàng)目】本文系“來(lái)賓市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃A類(lèi)課題”（項(xiàng)目編號(hào)：LBJK2012A019）的研究成果之一

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，其思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終，是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí).導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材之后，給傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題（如函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題等）的研究提供了新視角、新方法、新途徑，拓寬了高考的命題空間，真可謂函數(shù)因?qū)?shù)而精彩.高中總復(fù)習(xí)階段在函數(shù)這一單元模塊教學(xué)中，常常利用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的四大熱點(diǎn)問(wèn)題：求函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間；求函數(shù)的極值；求函數(shù)的最值；利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

導(dǎo)數(shù)是一個(gè)特殊函數(shù)，它的給出和定義始終貫穿著函數(shù)思想.自從2000年廣西高中采用新教材、新課程標(biāo)準(zhǔn)以來(lái)，就增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題時(shí)不可缺少的工具，也是高考的熱點(diǎn).近年來(lái)很多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過(guò)研究其圖像性質(zhì)來(lái)考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題.本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行了初步探究.

一、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)及斜率

例1 （2011年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題）曲線(xiàn)y=ex在點(diǎn)A（0，1）處的切線(xiàn)斜率為（ ）.

A.1 B.2 C.e D.1e

分析 y′=ex，當(dāng)x=0時(shí)，y′=e0=1，故選A.

二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2 （2008福建高考題）已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx-2的圖像過(guò)點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).

（1）求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）若a>0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)的極值.

分析 （1）由f（x）過(guò)點(diǎn)（-1，-6）及g（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可求m，n.由f′（x）>0，f′（x）<0可求單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間.

（2）先求出函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，再根據(jù)極值點(diǎn)是否在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)進(jìn)行討論.

切注：在解答第（2）問(wèn)的過(guò)程中容易出現(xiàn)遺漏“a=1”的情況或把a(bǔ)=1 歸入0

三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

例3 （2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2lnx，a∈R.（1）若x=e為y=f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a ；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

分析 對(duì)于第（1）小題比較容易解決.由f′（e）=0，可求得a=e或a=3e，再檢驗(yàn)即可.

對(duì)于第（2）小題是常見(jiàn)的含參數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，注意到當(dāng)x∈（0，1]時(shí)不等式恒成立，因而等價(jià)于當(dāng)x∈（1，3e]時(shí)，不等式（x-a）2 lnx≤4e2恒成立.

思路1：先特殊化，由f（3e）≤4e2，得

實(shí)數(shù)a的取值范圍為3e-2eln3e≤a≤3e+2eln3e

再求f（x）的最大值，為此討論f（x）的單調(diào)性，而又需構(gòu)造輔助函數(shù)通過(guò)估計(jì)零點(diǎn)，從而解決問(wèn)題，但解題過(guò)程曲折繁冗.

思路2：由lnx>0，可參數(shù)分離.又轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（1，3e]時(shí)，不等式a≥x-2elnx及a≤x+2elnx都恒成立，于是問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x-2elnx （1

思路3：將不等式化為（x-a）24e2≤1lnx，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（1，3e]時(shí)，函數(shù)g（x）=（x-a）24e2的圖像在h（x）=1lnx圖像的下方，然后利用數(shù)形結(jié)合思想，便可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力和分析、解決問(wèn)題的能力.三種解法的共性是都利用了化歸思想與函數(shù)思想，但轉(zhuǎn)化的手段迥異，思路1直接轉(zhuǎn)化為求f（x）的最大值；思路2則通過(guò)變形（參數(shù)分離）轉(zhuǎn)化為求2個(gè)易求最值的函數(shù)的最值；思路3則通過(guò)恰當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為2個(gè)圖像的關(guān)系.很多省份的導(dǎo)數(shù)壓軸題都有不同的解法，旨在考查不同思維層次的考生的不同思維水平，使試卷具有較高的區(qū)分度.

四、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

例4 求函數(shù) f（x）=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值.

分析 f′（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1），

令f′（x）=0得 x=2，x=-1（舍去）

比較下列函數(shù)值：f（2）=-15 ； f（0）=5；f（3）=-4.

得出函數(shù)f（x）的最大值為5 ； 最小值為-15.

切注 這里容易出現(xiàn)f（-1）=12 為函數(shù)的最大值，主要原因是沒(méi)有看清題目的條件所致.

小結(jié) 求函數(shù)在某閉區(qū)間上的最值的步驟是：

（1）求出f′（x）；

（2）令f′（x）=0，解出函數(shù)的所有駐點(diǎn)；

（3）求出函數(shù)在所有駐點(diǎn)和邊界點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大者即為函數(shù)的最大值，其中最小者即為函數(shù)的最小值.

五、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

例5 已知x>1，證明不等式x>ln（1+x）.

分析 設(shè)f（x）=x-ln（1+x），x>1.

f′（x）=1-1x+1=xx+1，由x>1知f′（x）>0.

∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又f（1）=1-ln2>0.

∴f（x）>0，即x>ln（1+x），（ x>1）

這道題的證明需要構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)實(shí)現(xiàn)證明.另外對(duì)于含參數(shù)的不等式求解、含參數(shù)的不等式恒成立等等問(wèn)題也是高考考查的熱點(diǎn)，解決這些問(wèn)題均需要構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，轉(zhuǎn)化為前面四大問(wèn)題來(lái)解決.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，函數(shù)問(wèn)題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法.總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及切線(xiàn)問(wèn)題、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí).只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出概念的理解和運(yùn)用，突出思維能力的培養(yǎng)，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).教學(xué)中應(yīng)做到“三性”，即對(duì)知識(shí)理解的深刻性、掌握的全面性、運(yùn)用的靈活性，以使學(xué)生形成綜合性的知識(shí)體系.只有在課堂上適度地讓學(xué)生探究，才能讓學(xué)生適應(yīng)高考的新問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)問(wèn)題在很多省份的高考試卷中處于壓軸題的位置，需要考生在新的情景中靈活運(yùn)用知識(shí)、方法解決問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)提出了很高的要求.這昭示我們：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題分析的態(tài)度及探究的目光，從人的可持續(xù)發(fā)展所需要的能力來(lái)看，這是十分必要的.在教學(xué)中，引入條件或結(jié)論具有開(kāi)放性的問(wèn)題和某些從實(shí)際生活中提出的自己尋求答案的問(wèn)題，或者對(duì)課堂上的某些問(wèn)題適當(dāng)加以延伸、推廣等，并引導(dǎo)學(xué)生加以解決，這會(huì)使課堂教學(xué)充滿(mǎn)生機(jī)和活力，有利于學(xué)生思維能力得到提升.

有人說(shuō)，高考是殘酷的，是因?yàn)榍к娙f(wàn)馬過(guò)獨(dú)木橋造成的，同學(xué)們，不妨把它當(dāng)作一次身心的考驗(yàn)吧，經(jīng)過(guò)了汗水和淚水的洗禮，你的人生也將從此步入一個(gè)嶄新的階段，希望很多年之后.回想起這段所做的努力，你會(huì)欣然一笑——一切都是值得的.