向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

楊帆

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為重要的教學(xué)與研究任務(wù)就是向量教學(xué)，它是研究代數(shù)、幾何問題的關(guān)鍵.高中數(shù)學(xué)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，有助于學(xué)生更好的體會(huì)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科之間的相互關(guān)系，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的使用價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】向量；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用分析

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，向量教學(xué)是重要執(zhí)教內(nèi)容之一，并且其在代數(shù)、幾何等領(lǐng)域都具有重要的使用價(jià)值.新課改增加了高中數(shù)學(xué)中的向量教學(xué)內(nèi)容，深化了向量教學(xué)的內(nèi)容，因而，必須以新的思路和觀念來看待高中向量教學(xué).文章分析了向量法在高中立體幾何、平面幾何、三角函數(shù)、不等式等方面的應(yīng)用，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于高中向量知識(shí)的理解和實(shí)際應(yīng)用能力.

一、向量的基本認(rèn)識(shí)

向量早在19世紀(jì)就已經(jīng)成為物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家研究和應(yīng)用的對(duì)象，到了20世紀(jì)，向量被引入了數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域.我國于上個(gè)世紀(jì)九十年代將向量并入了高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中.

二、向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

1.向量法在立體幾何中的應(yīng)用

向量在立體幾何中應(yīng)用，與在平面幾何中的應(yīng)用模式一致，但加入了立體幾何中的空間想象，使得學(xué)生在傳統(tǒng)的幾何問題處理模式中面臨一定的差異，因而，采用向量法，能夠促使幾何問題簡化，化繁為簡，找到問題答案.

例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn).在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論.本題可以應(yīng)用向量法求解.

解析 以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形的棱長為2，則B（2，2，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2），

∴BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2），

設(shè)面BEA1的法向量為m=（x，y，z），則

m·BE=-2x+2y+z=0且m·BA1=2x，2z=0，取x=1，

則z=-1，y=32，.∴m=1，32，-1.

假設(shè)在棱C1D1上是存在一點(diǎn)F，使 B1F∥平面A1BE，設(shè)F（x0，2，2），（0≤x≤2）

則BF=（x0-2，2，2），則m·BF=1×（x0-2）-32×2-（-1）×2=0.

解得x0=1，∴當(dāng)F為C1D1中點(diǎn)時(shí)，B1F∥平面A1BE.

2.向量法在平面幾何中的應(yīng)用

（1）利用向量法求出直線方程

例如，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，-4），B（4，0），C （-6，2），點(diǎn)E，F(xiàn)，D分別是AB，AC，BC 的中點(diǎn)，求直線FD，EF，DE 的方程.

已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，A（0，-4），B（4，0），C （-6，2），能夠得知中點(diǎn)F，D，E的坐標(biāo)分別為（2，-2）、（-1，1）、（-3，-1），設(shè)M（x，y）為DE 上的一個(gè)點(diǎn)，由于DM∥DE，則xty，=xzy 就能求出DE所在方程，同理，可以求出EF、FD所在的方程.

利用向量分析幾何元素之間的關(guān)系，將上述問題轉(zhuǎn)換為共線向量與直線向量的問題，就能夠得出EF，F(xiàn)D的直線方程.

（2）向量法在不等式中的應(yīng)用

在求解不等式的過程中，可以采用向量法.例如，a2+b2±c2+d2的結(jié)構(gòu)，可以構(gòu)造向量的和與差，利用向量的三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解.

例1 證明

（x-2）2+9+（x-5）2+1≥5.

證明 設(shè) a=（x-2），b=（5-x，1），

由|a|+|b|≥|a±b|，得出

（x-2）2+9+（x-5）2+1≥（x-2+5-x）2+（3+1）2，

得出（x-2）2+9+（x-5）2+1≥5.

利用向量法求解，比三角代換、兩點(diǎn)間的距離公式等都簡單，解法新穎、構(gòu)思 巧妙，同時(shí)也可以為學(xué)生展示出數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程，即：問題、建模、還原，發(fā)揮向量的工具性作用.

3.向量法在三角函數(shù)中的應(yīng)用

向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用，可以用來證明正余弦的兩角和與兩角差的問題.例如，證明cos（α-β）=cosαcosβ+

sinαsinβ.

證明 設(shè)（e1，e2）是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a，b是平面上的單位向量，a與e1的夾角為a，b，與e2的夾角為β，且a>β.向量a在（e1，e2）下的坐標(biāo)為（cosα，sinβ），向量b 在（e1，e2）下的坐標(biāo)為（cosβ，sinβ），則有|a|=|b|=1.

所以a·b=|a|·|b|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

由此可見，三角函數(shù)中采用向量解法，能夠借用幾何的直觀性、簡潔性，更好的完成求解的過程.

結(jié) 語

總之，以往的幾何學(xué)習(xí)主要是基于一個(gè)圖形的性質(zhì)推斷出另一個(gè)圖形的性質(zhì)，這種學(xué)習(xí)方式往往缺乏規(guī)律性，高中學(xué)生很難掌握.采用向量法的“形-數(shù)”推理法，有較強(qiáng)的規(guī)律性，適合高中學(xué)生應(yīng)用.向量作為一種數(shù)學(xué)工具，可以應(yīng)用其相關(guān)知識(shí)與理論、運(yùn)算方法，化繁為簡，進(jìn)行求解，從而在很大程度上降低運(yùn)算量，更加有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).