常微分方程——一種數(shù)學(xué)建模方法

李美華

【摘要】常微分方程作為一種數(shù)學(xué)思想方法已融入到數(shù)學(xué)建模中，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué).常微分方程的建立主要是利用事物的已知規(guī)律，或是事物的部分與整體之間的關(guān)系，抑或是對(duì)復(fù)雜事物內(nèi)在規(guī)律的近似模擬.

【關(guān)鍵詞】常微分方程；數(shù)學(xué)建模；方法

一、引 言

數(shù)學(xué)建模是把自然現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解最終對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題作出解釋的過(guò)程，其關(guān)鍵是如何把一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題經(jīng)過(guò)觀察、抽象、假設(shè)、歸納、演繹轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率問(wèn)題，由一切事物都處于絕對(duì)變化中可知導(dǎo)數(shù)也普遍存在，故而把導(dǎo)數(shù)與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)建立描述研究對(duì)象變化規(guī)律的微分方程模型就是一種數(shù)學(xué)建模方法.

常微分方程建模是利用常微分方程來(lái)模擬某些自然現(xiàn)象隨時(shí)間推移而連續(xù)發(fā)生的變化的本質(zhì).這中間通常涉及對(duì)問(wèn)題的分析假設(shè)到常微分方程模型的建立，然后求解，再回歸到實(shí)際問(wèn)題，把求得的結(jié)果與實(shí)際情況對(duì)比，以修正或改善模型，使之更準(zhǔn)確地描述實(shí)際問(wèn)題，最終達(dá)到推廣應(yīng)用的目的.以圖表示如下：

二、常微分方程建模方法舉例

在諸如化學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等自然科學(xué)中，常微分方程模型通常以事物內(nèi)含的客觀規(guī)律為基礎(chǔ)建立，而在諸如經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)等社會(huì)科學(xué)中則在類比假設(shè)的基礎(chǔ)上建立微分方程模型.下面列舉常微分方程建模中三種比較常見(jiàn)的方法.

1．利用事物的已知規(guī)律建立微分方程模型

在物理學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域，很多自然現(xiàn)象所表現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律經(jīng)過(guò)前人大量分析研究已為人們所掌握并應(yīng)用到實(shí)際生活中，如放射性物質(zhì)衰變規(guī)律、牛頓第二定律等，在建模時(shí)可直接根據(jù)事物內(nèi)含規(guī)律構(gòu)建微分方程.

例1 （古生物年代推斷問(wèn)題）14C是一種放射性物質(zhì)，12C是一種非放射性物質(zhì).活性生物體因吸納食物和空氣，補(bǔ)償14C衰減損失量，使得14C和12C始終保持平衡.但生物體一旦死亡，這種平衡就會(huì)失去.考古學(xué)者通常利用這種特點(diǎn)來(lái)推斷古生物的死亡年代.1950年巴比倫的一個(gè)洞穴里發(fā)現(xiàn)了一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，史書(shū)上對(duì)這一朝代未有記載.經(jīng)測(cè)量其14C衰減速度為4.09個(gè)/g?min，新砍伐燒成的木炭中14C衰減速度為6.68個(gè)/g?min.已知14C半衰期為5568年，估計(jì)該王朝大約存在于多少年前（從1950年算起）？

假設(shè)：現(xiàn)代生物體中14C衰減速度與生物體死亡年代14C衰減速度相同

分析 放射性元素衰變規(guī)律指出：放射性元素衰變速度與其現(xiàn)存物質(zhì)質(zhì)量成正比.此比例系數(shù)設(shè)為k（通常稱為衰變常數(shù)，且k>0），14C在t時(shí)刻的質(zhì)量設(shè)為x(t)，另生物體死亡時(shí)間記為t0=0，此時(shí)14C含量設(shè)為x0，則可列出相應(yīng)微分方程dxdt=－kx,

x(0)=x0.

此為一階齊次線性微分方程初值問(wèn)題.

解得 x(t)=x0e－kt

（1）

故t=lnx(t)x0－k

（2）

t時(shí)刻的衰變速度即是x(t)在t時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，故由（1）求導(dǎo)得

x′(t)=－kx0e－kt=－kx(t).

（3）

所以 x′(0)=－kx0.

（4）

（3）式與（4）式兩式相除得x(t)x0=x′(t)x′(0).

(5)

把（5）代入（2）中，則t=lnx′(t)x′(0)－k（其中可由14C半衰期為5568年，代入（1）知比例系數(shù)k=ln25568）.

所以t=ln4.096.68－ln25568≈3940.

故該王朝大約存在于3900～4000年前（從1950年算起）.

放射性元素的衰變規(guī)律及其所適用的微分方程模型在一些實(shí)際問(wèn)題中都有所應(yīng)用，如對(duì)Van Meegeren 偽造品的鑒定直到1967年才由Carnegie睲ellon大學(xué)的科學(xué)家們根據(jù)畫作所采用原料的放射性特點(diǎn)用微分方程模型計(jì)算分析得以基本解決.

動(dòng)力學(xué)基本定律——牛頓第二定律在微分方程建模中也有廣泛運(yùn)用，如美國(guó)原子能委員會(huì)處理放射性廢料的方法一度是裝桶后扔到水深300ft的海里，后來(lái)工程師們進(jìn)行了大量破壞性試驗(yàn)，利用牛頓第二定律建立二階微分方程計(jì)算發(fā)現(xiàn)，圓桶的極限速度和將它扔到300ft深的海里與海底的碰撞速度的近似值都超過(guò)了安全值，繼而證實(shí)了這種處理方法是不安全的.

2.利用微元分析法建立微分方程模型

微元分析法也稱為元抽象法（Method of elementary abstraction）是通過(guò)分析微元的動(dòng)態(tài)過(guò)程以求得整體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法.通常假設(shè)物體是均勻的、連續(xù)的.這種方法在微積分學(xué)中經(jīng)常碰到，取物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中微小部分即微元，通過(guò)分析其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)列出微分方程，實(shí)質(zhì)是從部分演繹到整體的過(guò)程.比如流體混合問(wèn)題、軍事宣傳心理學(xué)等研究中都有所涉及.

例2 （環(huán)境污染問(wèn)題）某池塘原有清水50000噸（不含有害物質(zhì)），從某一時(shí)刻開(kāi)始，含有有害物質(zhì)5%的污水流入該池塘，流入的速度為3噸/分，后又以2噸/分的速度流出池塘.求池塘內(nèi)有害物質(zhì)濃度隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.

假設(shè)：污水流入池塘后與原有清水均勻混合，池塘本身不具備自然凈化能力.

分析 從t到t+dt（假設(shè)dt非常微?。r(shí)間段內(nèi)，有害物質(zhì)改變量設(shè)為dQ，則dQ=流入的污水中有害物質(zhì)含量－流出池塘水中有害物質(zhì)含量.由于dt微小，可以把t到t+dt時(shí)間段內(nèi)池塘中有害物質(zhì)濃度近似認(rèn)為不變.

污水流入開(kāi)始時(shí)刻記為t=0，此時(shí)池塘有害物質(zhì)含量記為Q=0，設(shè)t時(shí)刻有害物質(zhì)含量為Q(t).于是

dQ=5%×3dt－Q(t)50000+(3－2)t×2dt,

即dQdt=15%－2Q50000+t.

又t=0時(shí)，Q=0，

故該數(shù)學(xué)模型為dQdt+2Q50000+t=15%，

Q(0)=0.

此為一階非齊次線性微分方程初值問(wèn)題.

解為：Q(t)=0.05(50000+t)－6.25×1012(50000+t)2.

所以t時(shí)刻有害物質(zhì)的濃度P(t)=0.05－6.25×1012(50000+t)3.

上式即為池塘內(nèi)有害物質(zhì)濃度隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

從上式可以看出，當(dāng)t→∞時(shí)，P(t)→0.05，即若污水長(zhǎng)時(shí)間流入池塘，則池塘內(nèi)有害物質(zhì)濃度將趨近于流入池塘的污水中所含有害物質(zhì)的濃度，這樣對(duì)環(huán)境的負(fù)面影響會(huì)越來(lái)越大，故而一旦出現(xiàn)污染要及早防治，盡量減小危害.

該模型也可推廣到其他液體、氣體等流體混合模型問(wèn)題，這里不再列舉.

3.利用模擬近似法建立微分方程模型

生活中的實(shí)際問(wèn)題所隱含的變化規(guī)律往往并不清晰，且影響問(wèn)題本身的因素是多方面的，此時(shí)就需要根據(jù)實(shí)際資料或是大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，抽取主要因素，提出假設(shè)，找出相應(yīng)規(guī)律，再建立相應(yīng)的微分方程模型.這類方法在實(shí)際建模中有廣泛應(yīng)用，且有很多典型模型得到了推廣，如logistic模型.

例3 （流言傳播問(wèn)題）流言特別是具有消極作用的流言給人們生活帶來(lái)較大危害，故而利用數(shù)學(xué)建模知識(shí)建立流言傳播的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述流言的傳播過(guò)程，探索制止流言蔓延的舉措顯得尤為重要.若某一小鎮(zhèn)有N個(gè)居民，在流言傳播之初就有x0個(gè)人聽(tīng)說(shuō)過(guò).試建立已聽(tīng)說(shuō)流言人數(shù)隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.

假設(shè)：（1）在流言傳播期間所考察小鎮(zhèn)的總?cè)藬?shù)N不變，即忽略人員的遷移與死亡等人數(shù)變化因素；

（2）該小鎮(zhèn)居民劃分為已聽(tīng)說(shuō)流言者和未聽(tīng)說(shuō)流言者，且t時(shí)刻已聽(tīng)說(shuō)流言者和未聽(tīng)說(shuō)流言者在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為x(t)，1-x(t)；

（3）每個(gè)聽(tīng)說(shuō)過(guò)流言者單位時(shí)間內(nèi)有效接觸（即與未聽(tīng)過(guò)者接觸并把流言告之）的人數(shù)為k，k即為有效接觸率.

分析 依假設(shè)，每個(gè)聽(tīng)過(guò)流言者單位時(shí)間內(nèi)可傳播流言給k(1－x(t))個(gè)未聽(tīng)過(guò)者，又因?yàn)閠時(shí)刻聽(tīng)過(guò)流言人數(shù)為Nx(t)，所以單位時(shí)間內(nèi)共有kN(1－x(t))x(t)個(gè)未聽(tīng)過(guò)流言者被告知，此即為聽(tīng)過(guò)流言人數(shù)的增加率，故在t到t+Δt時(shí)間段內(nèi)，有：Nx(t+Δt)－x(t)=kN(1－x(t))x(t)Δt.

又因?yàn)榱餮詡鞑ラ_(kāi)始時(shí)刻即t=0時(shí)x(0)=x0N,

利用導(dǎo)數(shù)定義得dxdt=kx(1－x)，

x(0)=x0N.

這實(shí)質(zhì)是logistic模型當(dāng)環(huán)境容納量k=1時(shí)的情形.

其解為x(t)=11+(Nx0－1)e－kt.

由上式易知當(dāng)x(t)=12即t=k－1ln(Nx0－1)時(shí)，dxdt達(dá)到最大值，亦即流言傳播得最快.此外，t與k成反比，意味著聽(tīng)過(guò)流言者有效接觸的人數(shù)越少，流言傳播高潮到來(lái)越晚.當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→1，即隨著時(shí)間的無(wú)限增加，小鎮(zhèn)上居民都聽(tīng)說(shuō)了此則流言.故而在流言傳播中，t與k都是我們應(yīng)該注意的因素.

在實(shí)際流言傳播過(guò)程中，比上述情況可能更復(fù)雜，如若小鎮(zhèn)人口流動(dòng)量較大，傳播方式已不限于口耳相傳，現(xiàn)有更多的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的流言傳播模型出現(xiàn)，但上述傳統(tǒng)流言傳播模型也有它簡(jiǎn)便實(shí)用的價(jià)值.

總的來(lái)說(shuō)，隨著事物本身變化的復(fù)雜性，其模型建立的前提假設(shè)也不盡相同，自然其微分方程的建立也會(huì)有所不同.如F盬盠anchester根據(jù)作戰(zhàn)雙方軍隊(duì)正規(guī)與否建立了三種預(yù)測(cè)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的模型；傳染病模型也根據(jù)傳染病類型的不同劃分了SIS、SIR等種類.

三、結(jié) 語(yǔ)

事實(shí)上，在把自然現(xiàn)象抽象化為數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，微分方程模型的建立往往是多種方法綜合應(yīng)用的結(jié)果，且方程也只是在一定程度上對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種近似反映，故而需把求得的解與實(shí)際情況相對(duì)照，不斷改進(jìn)模型，盡可能地達(dá)到實(shí)際問(wèn)題的精確性和數(shù)學(xué)處理的可能性之間的平衡.即便如此，常微分方程理論的出現(xiàn)及其數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題的解決中發(fā)揮著重大作用，正如我國(guó)數(shù)學(xué)家秦元?jiǎng)姿f(shuō)“常微分方程……是一個(gè)表現(xiàn)客觀自然規(guī)律的工具學(xué)科，又是一個(gè)數(shù)學(xué)可以為實(shí)際服務(wù)的學(xué)科”.

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