對數(shù)學(xué)定理教學(xué)的思考

陶磊

【摘要】 在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，要強調(diào)數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過程，突出數(shù)學(xué)定理證明思路的探索過程，重視數(shù)學(xué)定理的引申和推廣.

【關(guān)鍵詞】 定理教學(xué)；思維活動；思維過程

數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）是數(shù)學(xué)思維的細胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)思維的起點，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位.數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的形成過程所蘊含的數(shù)學(xué)家的思想方法、思維方法及研究方法，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓所在.在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，對數(shù)學(xué)定理的形成過程進行精心設(shè)計，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)定理中的數(shù)學(xué)家的觀察、試驗、歸納、概括、推理與證明等思維活動打開，并設(shè)計一定的載體（如教學(xué)情境、教師講解、學(xué)生探究和反思、變式訓(xùn)練等），用以展開這些數(shù)學(xué)思維活動，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)思維與數(shù)學(xué)家的思維同步，并逐步使其思維結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)家相似，讓學(xué)生在體驗數(shù)學(xué)家思維活動的過程中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力，這是數(shù)學(xué)定理教學(xué)的關(guān)鍵所在.下面談?wù)劰P者對數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）教學(xué)的淺見.

一、強調(diào)數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的發(fā)現(xiàn)過程

在傳統(tǒng)的接受性學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)往往以定論的形式直接呈現(xiàn)出來，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）是在記定理、背定理，往往看不到數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的發(fā)現(xiàn)過程，只看到完美的結(jié)論，正像波利亞所說：“只給出規(guī)則而不講理由，則干巴巴的規(guī)則會很快被遺忘.”其實，數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過程是迂回曲折的，他們的思維活動通常是從具體的背景材料出發(fā)，通過觀察、試驗、類比、歸納等一套合情推理，提出需要證明的數(shù)學(xué)猜想.

在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，模擬數(shù)學(xué)家的思維活動，引導(dǎo)學(xué)生進行“似真性”的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生體會到尋求真理的興趣和喜悅，這是數(shù)學(xué)教師主導(dǎo)作用之所在.

例如：在三角形全等的“邊角邊”條件這節(jié)課的教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)了下面的問題情境來引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn).

問題1：如果已知一個三角形的兩邊及一個內(nèi)角，那么它有幾種可能情況？

同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后得出兩種：（1）兩邊及其夾角，（2）兩邊及一邊的對角.針對學(xué)生答出的這兩個問題，教師提出對這兩個問題進行探究.

探究1：先畫出一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠A = ∠A′（即保證兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等），把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

探究2：先畫出一個△ABC，再畫出△A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠B = ∠B′（即保證兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等），把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

先由學(xué)生自己動手，利用直尺、三角尺、圓規(guī)等工具，對以上兩個問題進行實驗操作，并探究全等三角形的條件.在學(xué)生個人探究的基礎(chǔ)上再全班交流，最后得到：

兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，所以它不能作為判定兩個三角形全等的方法；

兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，可作為判定兩個三角形全等的方法.

上面的探究活動，學(xué)生通過動手操作，為數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)積累活動經(jīng)驗，在“操作”中探究，在過程中感悟，在體驗和感悟中理解數(shù)學(xué)定理的意義.這樣學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理在認知結(jié)構(gòu)中才會有所依托，才會鞏固.

二、突出數(shù)學(xué)定理證明思路的探索過程

對數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）的證明，如果僅用演繹推理，按教科書上的格式敘述過程，這就降低了教學(xué)的要求.“直截了當”固然節(jié)約了時間，但對學(xué)生來說卻缺乏一個完整的認識過程.數(shù)學(xué)家真實的思維過程，常常被最終的簡潔掩蓋著，我們雖然不知道，但是我們可以仿真，作出示范.在思路分析中，應(yīng)教給學(xué)生如何聯(lián)想、探索、猜想、推理、轉(zhuǎn)化，特別是分析思維受阻時，如何合理改變心向，變換策略，另辟蹊徑，從而到達目的的思維過程.同時還應(yīng)把學(xué)生有價值的解題思路發(fā)展下去.為了使這種思維過程卓有成效，教師必須對教材進行“再創(chuàng)造”.

例如，對于如何證明“勾股定理的逆定理”的教學(xué)，當學(xué)生通過猜想得到：“如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.”接下來證明猜想的正確性也就變成了學(xué)生自發(fā)的需要.先猜，于是我先讓學(xué)生說說證明的思路.有的同學(xué)說，是根據(jù)勾股定理，因為a2 + b2 = c2，所以這個三角形是直角三角形.此種說法馬上遭到部分同學(xué)的反對，理由是：在勾股定理中，題設(shè)是直角三角形，而在要證明猜想的題設(shè)中沒有告訴我們△ABC是直角三角形，所以不能應(yīng)用勾股定理.這時一名學(xué)生站起來說他會證，并到黑板上板演解題過程，即如圖1，作一個Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，C′A′ = a，C′B′ = b，由題設(shè)，得A′B′ = c，那么△ABC ≌ △A′B′C′，所以∠C = 90°，所以△ABC是直角三角形.

此時老師追問這名同學(xué)你是怎樣想到這種方法的，這名同學(xué)說他是從課本上看的.老師繼續(xù)追問這種證明的方法是什么方法. 全班大部分同學(xué)回答說是構(gòu)造法，上節(jié)課證明勾股定理也是用構(gòu)造法.這時老師指出：同學(xué)們說得好，構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，通過這兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家對它有了初步的認識，今后在解題中要學(xué)會靈活運用.并提問全班同學(xué)：本題證明中用構(gòu)造直角三角形的方法很妙，但思路是如何想到的啊？當同學(xué)們都在靜靜思考的時候，一名同學(xué)談了自己的想法，他說：“我是這樣想的：前面已學(xué)習(xí)過勾股定理，而問題1中的已知條件a2 + b2 = c2類似于勾股定理中的結(jié)論.如果想要應(yīng)用已有知識，首先想到的是應(yīng)用勾股定理，而要應(yīng)用勾股定理就必須得有直角三角形這個條件，所以想到要構(gòu)造一個直角三角形.”至此，學(xué)生完全明白猜想結(jié)論的證明及為什么這樣去證明.

用構(gòu)造的方法證明“勾股定理的逆定理”是很有思考性的問題，怎樣構(gòu)造？為什么這樣構(gòu)造？你是怎樣想到的？等等，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力極為有益.如果老師很突然地構(gòu)造了直角三角形，按教科書宣讀證明過程，就降低了教學(xué)的要求.長此以往，“機械學(xué)習(xí)”也在所難免.

三、重視數(shù)學(xué)定理（公式、法則、性質(zhì)等）的引申和推廣

數(shù)學(xué)概念的完整性和數(shù)學(xué)模型的普遍性是數(shù)學(xué)探索的主要內(nèi)容，對數(shù)學(xué)定理進行引申和推廣，也是數(shù)學(xué)家常用的研究方法.數(shù)學(xué)研究的很多問題都是某種形式的推廣，將數(shù)學(xué)定理進行引申和推廣，既符合數(shù)學(xué)知識本身發(fā)展的規(guī)律，也符合學(xué)生個體心理發(fā)展的規(guī)律.

例如，學(xué)習(xí)了三角形的中位線定理后，可進一步引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：如果將條件“三角形”改成“梯形”，那么又有什么新的結(jié)論？使學(xué)生的思維跨入新的高度.

又如，當學(xué)生學(xué)習(xí)了平行線分線段成比例定理“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段的比相等”后，接著，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究這個定理的推廣和特殊情況，即定理是否存在推廣情況， 是否存在特殊情形，先讓學(xué)生獨立思考，再合作交流得到：

變式1：一組平行線（平行線族）截兩條直線，所得的對應(yīng)線段的比相等.

變式3：如圖3中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段的比相等.

變式4：如圖4中的實線部分，若AB = BC，AE = DE，則BE = ■CD（三角形中位線定理對應(yīng)的基本圖形）.

變式5：如圖5中的實線部分，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對應(yīng)線段的比相等.

世間萬物都在變化之中，但只說事物在變，不能說明什么問題，科學(xué)的任務(wù)是要找出變化中不變的規(guī)律.于是在得到上面的各種變式后，教師繼續(xù)提出問題讓學(xué)生思考：在上面的各種變式中，其不變的規(guī)律是什么？

學(xué)生思考后認為， 在“平行線”的條件下， 通過直線移動得到各種變式圖形，但其“對應(yīng)的線段比相等”是不變的.

學(xué)生經(jīng)歷對數(shù)學(xué)定理（公式、法則等）進行引申和推廣的過程，不但使他們也像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷了發(fā)明創(chuàng)造的過程， 而且使他們在理解知識的基礎(chǔ)上，把學(xué)到的知識轉(zhuǎn)化為能力.同時還使他們體驗到新知識是如何從已知知識逐漸演變或發(fā)展而來的，從而理解知識的來龍去脈，形成良好的認知結(jié)構(gòu).

結(jié)束語：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，應(yīng)盡可能多地給學(xué)生提供觀察、嘗試、操作、練習(xí)、猜想、探索、演繹、證明等機會，鼓勵、放手讓學(xué)生去實踐，通過思維過程，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力.

【參考文獻】

[1]鮑建生，周超，著.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.