淺談立體幾何中的轉(zhuǎn)化思想

謝立君

摘要：立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿于立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何中占有很重要的地位。本文列舉了五種轉(zhuǎn)化方法，旨在讓學(xué)生提高解決立體幾何問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：立體幾何；轉(zhuǎn)化思想；例題

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）09-0156

立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿于立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何中占有很重要的地位。立體幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問(wèn)題向平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，具體可以從以下五方面入手：

一、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系是立體幾何中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓是平行與垂直位置關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化，平行與垂直問(wèn)題不但能橫向轉(zhuǎn)化，而且可以縱向轉(zhuǎn)化。

例1. 已知三棱錐S-ABC中，∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面ABC，點(diǎn)A在棱SB和SC上的射影分別是點(diǎn)E、F。求證EF⊥SC。

分析：∵A、E、F三點(diǎn)不共線，AF⊥SC，

∴要證EF⊥SC，只要證SC⊥平面AEF，

只要證SC⊥AE（如圖1）。

又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，

∴SB是SC在平面SAB上的射影。

∴只要證AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。

例2. 設(shè)矩形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，以EF為棱將矩形折成二面角A-EF-C1（如圖2）。求證：平面AB1E∥平面C1DF。

分析一（縱向轉(zhuǎn)化）：

∵AE∥DF，AE 平面C1DF，

∴ AE∥平面C1DF。同理，B1E∥平面C1DF，

又AE∩B1E=E，∴平面AB1E∥平面C1DF。

分析二（橫向轉(zhuǎn)化）：

∵AE∥EF，B1E⊥EF，且AE∩B1E=E，∴EF⊥平面C1DF。

同理，EF⊥平面C1DF 。平面AB1E∥平面C1DF。

二、降維轉(zhuǎn)化

由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的平面幾何知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。如線面垂直的判定定理的證明就是轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面問(wèn)題。

例3. （2005年高考·江西卷·理15）如圖3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=■，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分別為AA1、C1B1的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為 。（■■）

分析：這類(lèi)問(wèn)題通常都是將幾何體的側(cè)面展開(kāi)成平面圖形來(lái)解決。

又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計(jì)算，最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線成的角來(lái)進(jìn)行的。

例4. （2005年高考·上海卷·理17）如圖4直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求異面直線BC1與DC所成角的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

解：由題意AB∥CD，

∴∠C1BA是異面直線BC1與DC所成的角，

連結(jié)AC1與AC，在Rt△ADC中，可得AC=■，

又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。

在梯形ABCD中，過(guò)C作CH//AD交AB于H，

得∠CHB=90°，CH=2，HB=3，∴CB=■

又在Rt△CBC1中，可得BC1=■，

在△ABC中，cos∠ABC1=■=■，

∴∠ABC1=arccos■

∴異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos■。

實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的有：平移法、射影法、展開(kāi)法和輔助面法等。

三、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化

“割形”與“補(bǔ)形”是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法之一，通過(guò)“割”或“補(bǔ)”可化復(fù)雜圖形為已熟知的簡(jiǎn)單幾何體，從而較快地找到解決問(wèn)題的突破口。

例5. 如圖5，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=n，

PA與BC的公垂線ED=h，

求證：三棱錐P-ABC的體積V=■n2h。

此題證法很多，下面用割補(bǔ)法證明如下：

分析一：如圖5，連結(jié)AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥AB，

∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，

∴VP-ABC=VB-APD+VC-APD=■BC·S△APD=■n2h。

分析二：如圖6，以三棱錐P-ABC的底面為底面，側(cè)棱PA為側(cè)棱，補(bǔ)成三棱拄 PB1C1-ABC，連結(jié)EC、EB，則易證AP⊥平面EBC，

∴V三棱柱=AP·S△EBC= 2n2h。

∴VP-ABC = V三棱柱 =■n2h。

四、等積轉(zhuǎn)化

“等積法”在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應(yīng)用，（下轉(zhuǎn)第120頁(yè)）（上接第156頁(yè)）是一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)方法與技巧。立體幾何中的“等積轉(zhuǎn)化”是以面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介來(lái)溝通有關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而使問(wèn)題得到解決。

例6. 如圖7，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E、F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn)，求四棱錐A1-EBFD1的體積。

略解：易證四邊形EBFD1是菱形，

連結(jié)A1C1、EC1、AC1、AD1，

則VA -EBFD =2VA-EFD=2VF- A ED =2VC - A ED

=2VE- A C D =VA-A C D =■V正方體AC =■a3。

五、抽象向具體轉(zhuǎn)化

例7. A、B、C是球O面上三點(diǎn)，弧AB、AC、BC的度數(shù)分別是90°、90°、60°。求球O夾在二面角B-AO-C間部分的體積。

分析：此題的難點(diǎn)在于空間想象，即較抽象。教師引導(dǎo)學(xué)生讀題：條件即∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，然后給出圖形（如圖8），則可想象此題意即為用刀沿60°二面角，以直徑為棱將一個(gè)西瓜切下一塊，求這一塊西瓜的體積，（答：■）。這樣，問(wèn)題就變得直觀具體多了。

立體幾何的教學(xué)，關(guān)鍵是要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們學(xué)會(huì)聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。立體幾何的許多定理、結(jié)論源自生活實(shí)際，源自平面幾何，教師要教會(huì)學(xué)生聯(lián)想實(shí)際模型，聯(lián)想平面幾何中已經(jīng)熟悉的東西，借助可取之材來(lái)建立空間想象，加強(qiáng)直觀教學(xué)，這樣就容易讓學(xué)生接受，讓他們喜歡上這一門(mén)學(xué)科，從而更有效地培養(yǎng)他們的空間想象力，提高他們解決立體幾何問(wèn)題的能力。

（作者單位：黑龍江省雙城市兆麟中學(xué) 150100）