跨過恒成立問題的“層巒疊嶂”

紀(jì)宏偉

摘 要：含參的不等式恒成立問題一直以來都是高考、?？嫉臒狳c(diǎn)和難點(diǎn). 這類問題涉及函數(shù)、方程、不等式等知識，綜合性強(qiáng)，思維容量大，運(yùn)算要求高，因此學(xué)生得分率往往不高，零分情況也時(shí)常出現(xiàn). 針對這個情況，本文羅列出幾點(diǎn)考生常見的錯誤解法并做出剖析，供大家參考.

關(guān)鍵詞：恒成立；不等式；典型錯誤

不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考、?？贾械臒狳c(diǎn)、難點(diǎn)問題.由于新教材增加了導(dǎo)數(shù)新內(nèi)容，使恒成立問題更有了施展的舞臺，學(xué)生對這類題型出現(xiàn)各種各樣的錯誤，錯誤率居高不下. 本文直擊恒成立問題的典型錯誤，將典型題展示給讀者，希望可以提高學(xué)生對該問題的理性認(rèn)識，提高思維品質(zhì).

不徹底的參數(shù)分離

分離變量是恒成立問題中的一種常見解法，它的步驟是將變量和參數(shù)分離到不等式兩邊，然后根據(jù)變量的范圍來控制參數(shù)的范圍. 和分類討論比較起來，分離參數(shù)具有思路清晰、有章可循、易操作等特點(diǎn). 但是分離過程中，要避免分離不徹底的情況. 這也是學(xué)生容易忽視的一個問題.

題1 已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式x2cosθ-x（1-x）+（1-x）2sinθ>0恒成立，求θ的取值范圍.

錯解：原不等式即為·sin（θ+φ）>x（1-x）在x∈[0，1]時(shí)恒成立，其中tanφ=.

也即sin（θ+φ）>=在x∈[0，1]時(shí)恒成立.由基本不等式≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得等號，此時(shí)φ=，所以只要sinθ+>就能保證原題不等式恒成立，解得2kπ<θ<2kπ+，k∈Z.

剖析：分離參數(shù)，只有將參數(shù)完全獨(dú)立出來，左、右兩邊具有獨(dú)立性，才能通過參數(shù)以外的變量所構(gòu)成的解析式的性質(zhì)來確定所求參數(shù)的取值范圍. 以上解法貌似正確，但sin（θ+φ）>中φ本身就是與x有關(guān)，表明左、右兩邊有一定關(guān)聯(lián)性，所以沒有從本質(zhì)上對變量x與參數(shù)θ進(jìn)行分離.也就是變量分離不徹底.

正解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，原不等式等價(jià)于sinθ>0；當(dāng)x=1時(shí)，原不等式即cosθ>0，所以θ是第一象限角，解得2kπ<θ<2kπ+，k∈Z.

？搖 （2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，原不等式等價(jià)于cosθ+sinθ>1即等價(jià)于cosθ+sinθ>1.令f（x）=·cosθ+sinθ，因?yàn)閟inθ>0，cosθ>0，1-x∈（0，1），所以f（x）≥2=，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=sinθ，即x=∈（0，1）. 于是f（x）min=，即sin2θ>，結(jié)合θ是第一象限角，解得+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z.

評注：本題變量和參數(shù)關(guān)系非常密切，很難分離干凈，所以利用函數(shù)最值回避了分離難的尷尬局面. 當(dāng)變量分離難度很大，不妨避其鋒芒，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，往往能打開思維的大門.

含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的不等式恒成立問題

題2 已知不等式a-2x>x-2對x∈[0，2]恒成立，求a的取值范圍.

錯解：a-2x>x-2對x∈[0，2]恒成立？圳a>3x-2或a3x-2對x∈[0，2]恒成立或a4，

剖析：錯解顯然受到x≥a？圳x≥a或x≤-a的誤導(dǎo)，因?yàn)檫@是一個恒成立問題，“a>3x-2或a3x-2對x∈[0，2]恒成立或a3x-2或a3x-2在x∈[0，1]恒成立，讓a3x-2對x∈[0，2]恒成立，或a

正解：由題意，對x∈[0，2]，a>3x-2或a

評注：對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的不等式恒成立問題，有時(shí)反其道而行之，從否定命題的視角來考慮，往往能探求到解題捷徑，使問題迎刃而解.

x1，x2∈D，f（x）≥g（x）恒成立問題

題3 已知函數(shù)f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8，若對任意的x1，x2∈[0，+∞）時(shí)，都有f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯解：問題可轉(zhuǎn)化為對任意的x1，x2∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，即F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，此等價(jià)于[0，+∞）上F（x）min≥0. 因?yàn)镕 ′（x）=3x2+2（2-a）x，若2-a≥0即a≤2時(shí)顯然F（x）min=4>0. 若2-a<0， F ′（x）=3x2+2（2-a）x=（3x+4-2a）x>0，此時(shí)顯然當(dāng)x>或x<0時(shí)F（x）遞增，當(dāng)0

剖析：錯誤原因是誤把“x1，x2∈D，f（x）≥g（x）恒成立（不同函數(shù)在不同變量）”當(dāng)成“x∈D，f（x）≥g（x）恒成立（不同函數(shù)在同一變量）”，其實(shí)兩者本質(zhì)不同. 前者表示x1，x2∈D的取值具有任意性，其恒成立的充要條件是f（x）的最小者大于等于g（x）的最大值. 而后者的意思是兩個函數(shù)都取相同的變量時(shí)，都有f（x）≥g（x），這類問題通常從F（x）=f（x）-g（x）≥0入手.

正解：由題設(shè)，f（x）min≥g（x）max，顯然f（x）min=f（0）=-4，而g′（x）=2ax+1，顯然a<0且x=-時(shí)g（x）取得最大值，g（x）max=g-=-. 由-4≥-，得a≤-，即a的取值范圍是a≤-.

評注：在探求函數(shù)最大值、最小值時(shí)，導(dǎo)數(shù)往往作為一種有力的工具，充當(dāng)著重要的角色，而導(dǎo)數(shù)與其他知識的交匯，常作為考試題的難題、“壓軸題”、高分點(diǎn)題出現(xiàn)，也是高考的熱點(diǎn)之一，久熱不衰.

x∈D，f（x）≥g（x）恒成立問題

題4 函數(shù)f（x）=2log2，g（x）=log2（-1

錯解：易知k>0，由f（x）≥g（x）得≥，注意到x∈，，所以≥在，上恒成立，于是，min≥max.

易知在，上增函數(shù)且在x=處取得最小值，min=，在，上增函數(shù)且在x=處取得最大值，max=3. 所以有≥3，故k的取值范圍是0

剖析：由于取得最小值的條件是x=，取得最大值的條件是x=，兩個值不等導(dǎo)致≥3不能成立.顯然，與上例不同，此例是“x∈D，f（x）≥g（x）恒成立”的類型，若要利用f（x）min≥g（x）max來解決，必須使f（x）min的x的值與g（x）max的x的值一致才行，一般為了避免這樣的錯誤，常采用分離變量的方法，顯得干脆利落.

正解：要使得≥在，上恒成立，即k2≤1-x2在，上恒成立. 顯然，1-x2在，單調(diào)遞減，故（1-x2）min=1-=，從而k2≤，又k>0，故k的取值范圍是0

評注：本題考查的仍是數(shù)學(xué)思想中極為重要的化歸意識，通過分離變量，將求參數(shù)范圍的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，對這種常規(guī)解題思路必須熟練掌握.