基于數(shù)學語言，管窺高中生數(shù)學學習困難原因

何竹峰

摘 要：高中數(shù)學與義務教育階段數(shù)學最大的區(qū)別，就在于學生要在更短的時間內(nèi)習得更多的數(shù)學內(nèi)容，這種挑戰(zhàn)首先是數(shù)學語言上的. 從集合到函數(shù)，從立體幾何到解析幾何，從統(tǒng)計到概率，一個簡單的數(shù)學概念背后包含著相當豐富的數(shù)學理解，缺乏了數(shù)學語言，這種理解是難以發(fā)生的.

關鍵詞：數(shù)學語言；學習困難；原因

對于相當一部分學生而言，高中數(shù)學學習都是不小的困難. 究其原因，教師的視角往往鎖定在學生對數(shù)學知識的建構與理解上，尤其喜歡從學生解題的角度去分析學生哪個數(shù)學知識點掌握不到位，哪種數(shù)學能力沒有形成等. 對于一部分學生而言，這樣的分析是有效的，但對于更多的學生而言，這樣的分析往往是片面甚至是無效的，教學實踐中教師百般努力而學困生頑強存在的現(xiàn)象，或是這一判斷的最好證明. 那問題究竟出現(xiàn)在哪里呢？

筆者以為，數(shù)學同行們可能忽略了一個更為根本的問題，那就是學生的數(shù)學語言能力薄弱的問題.

這里所說的數(shù)學語言，是指表達數(shù)學思想與思維的語言. 作為數(shù)學學科特點明顯的語言，其與學生所熟悉的生活語言是不一樣的. 這里不妨先用一點篇幅來理解一下二者的區(qū)別與聯(lián)系：學生在生活中往往能夠順利地與他人交流，一個重要的原因就是別人說的他能聽得懂，這種平常不過的互動背后卻隱藏著一個重要的認識，那就是對話雙方的語言是共通的. 而在數(shù)學學習的過程中，學生很多時候可能就聽不懂數(shù)學語言了.這意味著什么？意味著學生在數(shù)學課堂上無法有效輸入教師輸出的數(shù)學信息，這也意味著學生在數(shù)學學習的第一道關口上就出了問題，數(shù)學又怎么可能學得好呢？形成這一認識之后，筆者覺得首先就必須梳理一下當前高中數(shù)學教學中數(shù)學語言的一些基本問題，以弄清高中生數(shù)學學習困難的一個重要原因.

高中數(shù)學教學中數(shù)學語言的教學現(xiàn)狀

客觀地說，數(shù)學語言幾乎從來沒有成為高中數(shù)學教學的主要內(nèi)容，這是有著客觀的原因的. 眾所周知，高中數(shù)學與初中數(shù)學的一個明顯不同點是，其內(nèi)容繁雜且十分抽象，而高中學習時間又是相對較短的（高中階段的內(nèi)容實際上都在高一高二兩個學段完成）. 這兩個因素綜合作用的結果就是數(shù)學語言難以納入教師的視野. 在這樣的教學范式中，教師關注的是教學任務（主要是數(shù)學知識傳授）的完成，學生關注的是自己解題能力的形成. 又由于常用的重復訓練甚至是題海戰(zhàn)術，確實能夠讓絕大多數(shù)學生一定程度上“讀懂”數(shù)學語言（實際上是重復訓練后的某種意識），如學生在遇到集合、函數(shù)、數(shù)列等概念時，往往也能大概地理解其含義，并根據(jù)平常訓練的思維來完成一些問題的解決.

教師的忽視與學生的無意識，使得數(shù)學語言的教學在高中數(shù)學課堂上難覓蹤影. 事實上，這一現(xiàn)象早就引起了有識之士的注意，有人結合十多年前的一則高考題做過分析，該題是這樣的：

如圖1所示，為一臺冷軋機的示意圖. 冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出. （1）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r0，問冷軋機至少需要安裝多少對軋錕？一對軋輥的減薄率=（輸入該對的帶鋼厚度-從該對輸出的帶鋼厚度）/輸入該對的帶鋼厚度.

圖1

（2）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋錕，所有軋輥周長均為1600 mm. 若第k對軋錕有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為Lk. 為了便于檢修，請計算L1，L2，L3并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.

高考后的統(tǒng)計結果表明，本題當年全國高考得分率（理科）不到15%，而有心的教師在后來的教學中，將本題進行了語言轉換（如轉換為“若a（1-b）k≤c，a，b，c均為正實數(shù)，求自然數(shù)k的取值范圍”等），學生的答對率則高達99%. 這一結果雄辯地表明學生是在數(shù)學語言（將生活語言或者說自然語言轉換成數(shù)學語言，并進行數(shù)學建模）上出了問題.而令人遺憾的是，十幾年后的今天，這一現(xiàn)狀仍然沒有得到根本的改變，相當一部分學生在高考數(shù)學中失分就失在數(shù)學語言的理解與運用上.

這里還可以說得更明確一些，就是因為學生在讀本題時，無法將題目中的信息轉換為自身非常熟悉的數(shù)學模型，題意的背景是生活化的，題目的意思需要結合文字描述去理解，在理解題意的基礎上去進行數(shù)學建?！际菙?shù)學語言范疇的問題，都能考查學生將生活語言轉換成數(shù)學語言的能力. 當然，這里所說的解題過程中數(shù)學語言存在的問題，而在新課教學中也同樣存在類似的問題，需要引起我們高度的注意.

學生學習中數(shù)學語言能力缺失的發(fā)現(xiàn)

高中學生數(shù)學學習困難是一個大問題，而引發(fā)這一問題的原因是多樣的，這意味著不同的原因都會導致同樣的結果（數(shù)學學習成績差），這就涉及如何有效地判斷學生的哪些學習困難是由于數(shù)學語言引起的，教師又應當怎樣才能尋找到這些現(xiàn)象背后的原因等問題.筆者經(jīng)過學習與梳理，提出如下幾點供同行參考：

第一，通過比較去發(fā)現(xiàn).俗話說“不怕不識貨，就怕貨比貨”. 通過比較的方法可以讓數(shù)學語言這一因素“原形畢露”. 比如在上面例子中，研究者就是通過比較的方法發(fā)現(xiàn)學生的問題出在數(shù)學語言上的，其思路用語言來描述，就是：教師自己將學生不理解的（新知學習過程中）或做錯的（數(shù)學練習或測試中）轉換成數(shù)學模型，如果學生能夠做出來，就說明學生在數(shù)學語言上出了問題，其未能準確地將生活語言轉換成數(shù)學語言，因而沒有成功地構建出數(shù)學模型.

第二，通過詢問去發(fā)現(xiàn). 第一點所說的比較的方法適用于針對學生群體的調(diào)查，而這里所說的詢問往往針對學生個體. 無論是在新知學習中，還是在數(shù)學問題的解決中，總會存在一些“典型學生”，這些典型學生身上出現(xiàn)的問題往往就是典型問題，因此發(fā)現(xiàn)這些問題并進行個體詢問，往往也可以找到問題的癥結. 筆者在教學中特別注意對這類學生的“物色”，確定了這幾個學生之后，往往可以通過他們的反應來判斷數(shù)學語言的教學情況. 舉一個最簡單的例子，在定義域與值域概念的教學中，就類似于（6，15]這樣的表達方式，筆者選了課堂上兩個走神的學生進行詢問，其中一個學生就一頭霧水，因為他看不明白為什么一邊是小括號，一邊是中括號；而另一個學生則小心翼翼地說兩個不同的符號可能代表不同的含義. 這兩位學生上課時都走神了，因而他們都無法準確地回答，但由于對數(shù)學理解不同，因而前者一頭霧水，而后者則能進行正確方向的猜想. 這里所說的數(shù)學理解，其實就是學生在面對數(shù)學符號（數(shù)學上的符號語言）時表現(xiàn)出來的能力不同，因而也就說明數(shù)學教學中是要注重數(shù)學語言能力的培養(yǎng)的.

第三，通過研究去發(fā)現(xiàn). 這里所說的研究，是指研究生活語言與數(shù)學語言. 很多時候學生能夠聽懂生活語言，卻讀不懂數(shù)學語言，因此這里就存在一個“翻譯”的問題，如果教師去研究生活語言與數(shù)學語言的關系，并且尋找到兩者之間的距離，往往能夠提前發(fā)現(xiàn)學生可能在數(shù)學學習中會遇到的數(shù)學語言方面的障礙. 如有教師在教“集合”概念時，其就敏銳地意識到生活中所說的集合，與數(shù)學中所說的集合是兩個不同的概念，因此他就去研究同一詞語背后的概念差異，從而判斷出學生有可能用生活中的集合去理解數(shù)學中的集合，而這既是好事又是壞事，好在學生有一個概念基礎，壞在生活中的集合不能完全代替數(shù)學集合，于是又進一步去思考學生可能會有什么樣的理解，并且分別應當采用什么樣的教學方法進行矯正等. 這一發(fā)現(xiàn)基于研究且走在學生的學習之前，因而非常值得高中數(shù)學教學同行學習.

數(shù)學語言缺失對數(shù)學學習的影響淺析

認識到數(shù)學語言的重要性，研究了數(shù)學語言缺失的表現(xiàn)，再回過頭來看數(shù)學語言對數(shù)學學習的影響，就會有更為深刻的理解.

數(shù)學教師總習慣性地將數(shù)學理解為符號、邏輯的集合，而忽略了作為數(shù)學的學習，其首先是基于語言的. 身在數(shù)學學習廬山之內(nèi)的教師，常常忽視了學生卻在廬山之外，這就導致了數(shù)學教師有可能不識數(shù)學教學的真面目，即忘記了數(shù)學教學首先基于語言的交流， 而學生則更因此難以窺得高中數(shù)學的奧秘. 文首已經(jīng)說過，高中數(shù)學與義務教育階段數(shù)學最大的區(qū)別，就在于學生要在更短的時間內(nèi)習得更多的數(shù)學內(nèi)容，這種挑戰(zhàn)首先是數(shù)學語言上的. 從集合到函數(shù)，從立體幾何到解析幾何，從統(tǒng)計到概率，一個簡單的數(shù)學概念背后包含著相當豐富的數(shù)學理解，缺乏了數(shù)學語言，這種理解是難以發(fā)生的. 因此從這個角度講，數(shù)學語言的缺失會直接導致學生的學習如同無源之水，無本之木.

當然，根據(jù)高中數(shù)學課程專家的研究，數(shù)學語言的內(nèi)涵與外延遠非筆者拙作所能概括，筆者本意只是通過只言片語以喚起大家對數(shù)學語言及其教學的重視，以推進高中數(shù)學有效教學更穩(wěn)健地前進.