巧學(xué)一次函數(shù)

張坤山

摘 要：一次函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用以及與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù) 概念 應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）04（a）-0086-01

函數(shù)是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種雙向方法，比較抽象。想學(xué)好一種函數(shù)，要從定義、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系五個(gè)方面學(xué)習(xí)。結(jié)合教與學(xué)，對(duì)一次函數(shù)做如下總結(jié)。

1 概念

形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù)。kx+b是關(guān)于自變量x的一次式，故叫一次函數(shù)。象y=2x-1，y=-0.3x+5，y=100x等都是一次函數(shù)，而y=2x2-3x，y=1/x等都不是一次函數(shù)。另外一次項(xiàng)系數(shù)k不能為零，而常數(shù)b可以為零。

2 圖像

（1）圖像：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像是經(jīng)過(guò)（0，b）、（-b/k，0）的一條直線(xiàn)。它與y軸交于（0，b），與x軸交于（-b/k，0），因此，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）也叫做直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）。另外，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，一次函數(shù)的圖像也可能是一條射線(xiàn)、一條線(xiàn)段或是一些點(diǎn)，這是由函數(shù)的定義域決定的。

（2）系數(shù)與圖像位置的關(guān)系（見(jiàn)表1）。

3 性質(zhì)

（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)稱(chēng)增函數(shù)，直線(xiàn)在坐標(biāo)系中是左低右高。例如，直線(xiàn)上兩點(diǎn)p1（x1，y1）、p2（x2，y2），當(dāng)x1>x2時(shí)，y1>y2。

（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)稱(chēng)減函數(shù)，直線(xiàn)在坐標(biāo)系中是左高右低。例如，直線(xiàn)上兩點(diǎn)p1（x1，y1）、p2（x2，y2），當(dāng)x1>x2時(shí)，y1

4 一次函數(shù)與其它知識(shí)的聯(lián)系

（1）與一元一次方程的關(guān)系。

求關(guān)于x的方程ax+b=0的解和當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的值為零是同一個(gè)問(wèn)題。①?gòu)臄?shù)的角度看，函數(shù)值y為零時(shí)的自變量x的值就是方程ax+b=0的解；②從形的角度看，直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是方程ax+b=0的解。

（2）與一元一次不等式的關(guān)系。

解關(guān)于x的不等式ax+b>0（ax+b<0）和當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y=kx+b（k≠0）的函數(shù)值y>0（或y<0）是同一個(gè)問(wèn)題。①?gòu)臄?shù)的角度看，函數(shù)值y>0（或y<0）對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍就是不等式ax+b>0（ax+b<0）的解集；②從形的角度看，直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）在x軸上方（或下方）的部分所對(duì)應(yīng)的自變量的取值就是不等式ax+b>0（ax+b<0）的解集。

（3）與二元一次方程（組）的關(guān)系。

一個(gè)二元一次方程就是一個(gè)一次函數(shù)；一個(gè)一次函數(shù)就是就是一個(gè)二元一次方程，二者本質(zhì)是相同的。方程y-ax=b的每一個(gè)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）上，而直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）上的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程y-ax=b的解。①?gòu)臄?shù)的角度看，兩個(gè)一次函數(shù)的值相等時(shí)的x、y的值就是對(duì)應(yīng)的方程組的解；②從形的角度看，兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)方程組的解。

5 一次函數(shù)的應(yīng)用

（1）建立一次函數(shù)模型，解決象課題學(xué)習(xí)中節(jié)約費(fèi)用、調(diào)配方案、方案選擇等問(wèn)題。象這次月考中的24小題，A、B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（7，3）。一輛汽車(chē)由西向東行駛，在行駛過(guò)程中是否存在一點(diǎn)C，使C點(diǎn)到A、B兩校的距離之和最小，如果有請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn)，保留作圖痕跡，并求出它的坐標(biāo)。要解決這個(gè)問(wèn)題，先要根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)作出點(diǎn)A（或點(diǎn)B）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，并求出坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)A′B的解析式，最后求出直線(xiàn)A′B與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉增利，主編.倍速學(xué)習(xí)法：8年級(jí)數(shù)學(xué)（上）（人教版）[Z].

[2] 薛金星，主編.金星教育系列叢書(shū)·中學(xué)教材全解：8年級(jí)數(shù)學(xué)（下）（配套人民教育出版社教科書(shū)）[Z].