例析探索規(guī)律型問題

朱兵

【摘要】 近年來有關(guān)規(guī)律探索型題目在初中數(shù)學(xué)中考試題中頻繁出現(xiàn)，這類題目要求學(xué)生學(xué)會觀察，懂得分析，善于歸納、總結(jié)，不僅有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的鞏固和掌握，也有利于學(xué)生思維能力的提高和自主探索、創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 規(guī)律型；初中數(shù)學(xué)；探索型；解決；歸納；總結(jié)

近年來，探索規(guī)律型的題目成為數(shù)學(xué)中考的一個熱點，目的是考查學(xué)生觀察分析及探索的能力. 題目分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，通常題設(shè)部分給出一些數(shù)量關(guān)系或圖形變換關(guān)系，通過觀察分析，要求學(xué)生找出這些關(guān)系中存在的規(guī)律. 這種數(shù)學(xué)題目本身存在一種數(shù)學(xué)探索的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是中考的一個難點，越來越引起考生重視. 本文就這類題目加以歸類解析.

一、數(shù)字規(guī)律探索型

此類問題一般是有規(guī)律地呈現(xiàn)一組數(shù)字，為便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，常可將每個數(shù)字化為有規(guī)律的等式，并通過豎排易于用代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)模型表示事物的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律的過程.

例1 觀察一列數(shù)3，8，13，18，23，28，…，依此規(guī)律，在此數(shù)列中比2000大的最小整數(shù)是 _____ .

分析 觀察數(shù)列，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：后一個數(shù)比前一個數(shù)大5，故3 = 3 + 5 × 0；8 = 3 + 5 × 1；13 = 3 + 5 × 2，18 = 3 + 5 × 3， …，第n個數(shù)為3 + 5（n - 1） = 5n - 2，所以5n - 2 > 2000，解得n > 400.4，則答案為5 × 401 - 2 = 2003.

二、數(shù)式型規(guī)律探索型

此類問題一般是給定一些代數(shù)式、等式或不等式，猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，一般解法是先寫出代數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同的數(shù)量關(guān)系）或縱比（不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系），找出部分特征，寫出符合條件的等式.

例2 觀察下列各式：2 × 4 = 32 - 1，3 × 5 = 42 - 1，4 × 6 = 52 - 1，…，10 × 12 = 112 - 1，…，用關(guān)于n的等式表示這個規(guī)律： _____ .

解析 觀察等式，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：等式左邊是兩個連續(xù)偶（或奇）數(shù)的積，右邊是夾在這兩個連續(xù)偶（或奇）數(shù)中間的奇（或偶）數(shù)的平方與1的差.故n（n + 2） = （n + 1）2 - 1（n 為大于等于 2的正整數(shù)）.

三、幾何變換規(guī)律探索型

此類問題一般是有規(guī)律地呈現(xiàn)一組圖形，讓學(xué)生首先觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)式的對應(yīng)關(guān)系，總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決相關(guān)問題.

例3 已知△ABC的面積為1，連接這個三角形各邊中點得到一個小三角形的面積為，又連接這個小三角形各邊中點得到一個更小的三角形的面積為，……如此繼續(xù)下去，到第n次這樣作出的三角形的面積為 _____ .

解析 利用相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，那么每次分出的小三角形和前一個三角形的相似比為，到第n次這樣作出的三角形和原三角形（面積為1）的相似比為n，因此它的面積為n2 = n.

四、循環(huán)排列規(guī)律探索型

此類問題一般是將數(shù)字循環(huán)排列起來，其中隱含著一定的規(guī)律. 規(guī)律的挖掘和表征是解決問題的關(guān)鍵.

例4 如圖1，在直角坐標(biāo)系中，已知點A（-3，0），B（0，4），對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到△1，△2，△3，△4，…，則△2013的直角頂點的坐標(biāo)為_____ .

解析 此題是對點的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查了，難度不大，仔細(xì)觀察圖形，得到每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是求解的難點. 根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，再根據(jù)第四個三角形與第一個三角形的位置相同可知每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進(jìn)的長度，再用2013除以3，根據(jù)商為671可知第2013個三角形的直角頂點為循環(huán)組的最后一個三角形的頂點（8052，0）.

五、數(shù)形結(jié)合規(guī)律探索型

此類問題一般是以呈一定規(guī)律發(fā)展的圖形為載體，解題時應(yīng)根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)猜想其數(shù)量上的變化規(guī)律，再由這種規(guī)律確定問題答案. 解決此類問題需要把圖形中有關(guān)數(shù)量的變化規(guī)律“數(shù)學(xué)化”地準(zhǔn)確表達(dá)出來，再推到計算.

例5 在圖2中，每個圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個圖案中共有 _____ 個小正方形.

解析 觀察圖案不難發(fā)現(xiàn)，圖案中的正方形按照從上到下成奇數(shù)列排布，寫出第n個圖案的正方形的個數(shù)，然后利用求和公式寫出表達(dá)式，再把n = 10代入進(jìn)行計算即可得解. 如第1個圖案中共有1個小正方形，第2個圖案中共有1 + 3 = 4（個）小正方形，第3個圖案中共有1 + 3 + 5 = 9（個）小正方形……第n個圖案中共有1 + 3 + 5 + … + （2n - 1） = = n2（個）小正方形，所以，第10個圖案中共有102 = 100（個）小正方形.

從上述求解過程中不難發(fā)現(xiàn)，規(guī)律探索型問題中，一般隱含著某種規(guī)律或數(shù)學(xué)關(guān)系，解決此類問題，需要運用歸納、猜想、合情推理等思維方法. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注意培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)關(guān)系和揭示的能力，這也是數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分.