例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的培養(yǎng)

岳本營(yíng)

【摘要】 簡(jiǎn)介新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下的初中數(shù)學(xué)教材中學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)形式，結(jié)合初中數(shù)學(xué)“一元二次方程”和“二次函數(shù)”的教學(xué)談建模思想的培養(yǎng). 讓學(xué)生經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)模型的全過程. 讓學(xué)生體驗(yàn)到必要的數(shù)學(xué)建模方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型思想的滲透，培養(yǎng)分析和解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】 新課程標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)建模思想；建模過程；建模方法

眾所周知，數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著非同尋常的地位和作用. 而新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下的初中數(shù)學(xué)教材向?qū)W生提供了大量現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些內(nèi)容的呈現(xiàn)主要以“問題情境—建立數(shù)學(xué)模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的基本形式展開，即從具體的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，使用數(shù)學(xué)語言表述問題，并建立數(shù)學(xué)模型，然后用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題，最后獲得對(duì)實(shí)際問題的合理解答. 這樣一個(gè)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的過程，就是數(shù)學(xué)建模的過程. 作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)來講，這個(gè)過程應(yīng)得到高度重視. 而模型思想在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多以實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程或二次函數(shù)來加以解決，下面就結(jié)合初中數(shù)學(xué)“一元二次方程”和“二次函數(shù)”的教學(xué)談一下建模思想的培養(yǎng).

一、讓學(xué)生經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)模型的全過程

新課程標(biāo)準(zhǔn)下的教材都是以“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”為基本敘述方式，因此，在教學(xué)中應(yīng)盡可能地運(yùn)用或改良教材中的問題.通過教師的適度啟發(fā)，讓學(xué)生自己去研究、探索、經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，從而使學(xué)生體會(huì)到方程、不等式、函數(shù)等都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，初步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 下面以“一元二次方程”中的一個(gè)“建草坪” 問題為例簡(jiǎn)要說明.

原題如下：某住宅小區(qū)內(nèi)有一棟建筑，占地為一邊長(zhǎng)為35 m的正方形.現(xiàn)打算拆除建筑并在其正中間鋪上一面積為900 m2的正方形草坪，使四周留出的人行道的寬度相等，問人行道的寬度為多少米.

解：如圖所示，設(shè)人行道的寬度為x m，則草坪的邊長(zhǎng)為（35 - 2x）m.根據(jù)題意，可以列方程：（35 - 2x）2 = 900.解這個(gè)方程得：x1 = 2.5，x2 = 32.5.根據(jù)修建草坪面積的要求和人行道寬度的實(shí)際意義分析，x2 = 32.5不合題意，應(yīng)舍去. 所以人行道的寬度應(yīng)為2.5 m.

在以上分析解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程中，首先要引導(dǎo)學(xué)生知道誰是模型、是誰的模型、屬于哪類模型. 該問題的實(shí)際數(shù)量關(guān)系“某棟建筑所占地是邊長(zhǎng)35 m的正方形，四周留出一樣寬的人行道之后，中間的正方形草坪面積是900 m2”是問題的原型，而模擬該實(shí)際數(shù)量關(guān)系的一元二次方程（35 - 2x）2 = 900是該原型的模型.

其次，要讓學(xué)生體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的基本過程. 對(duì)“建草坪”這個(gè)問題而言，建模的基本過程是：第一步進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，挑出問題中的數(shù)量要素，淘汰無關(guān)內(nèi)容；第二步找數(shù)量關(guān)系，本題是找出所得各數(shù)量要素之間的等量關(guān)系；第三步找數(shù)學(xué)模型，本題是結(jié)合正方形的面積找到合理的方程模型，用它來表述所得等量關(guān)系——這就建立了數(shù)學(xué)模型；第四步解模，解方程得結(jié)果，對(duì)照原型問題進(jìn)行檢驗(yàn)，得出最終結(jié)果. 二、讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模的方法

數(shù)學(xué)建模是為了解決實(shí)際問題，但對(duì)于初中生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要目的并不是要他們?nèi)ソ鉀Q復(fù)雜的實(shí)際問題，而是要培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，初步掌握數(shù)學(xué)建模的方法，為將來的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 因此在教學(xué)時(shí)教師可以通過教材中一些不太復(fù)雜但有意義的應(yīng)用問題，帶著學(xué)生一起來體會(huì)數(shù)學(xué)化的過程，從中給學(xué)生體驗(yàn)一些數(shù)學(xué)建模的方法. 下面通過“二次函數(shù)”中一個(gè)“利潤(rùn)最大值”問題加以說明.

原題為：某商店經(jīng)營(yíng)T 恤衫，已知成批進(jìn)時(shí)單價(jià)是2.5元. 根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售量與銷售單價(jià)滿足如下關(guān)系：在一段時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是13.5元時(shí)，銷售量是500件，而單價(jià)每降低1元，就可以多售出200件. 請(qǐng)你幫助分析，銷售單價(jià)是多少時(shí)，可以獲利最多？

在上述問題的實(shí)際教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)建模的基本方法和過程如下：

1. 將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型

設(shè)銷售單價(jià)為x（2.5 < x ≤ 13.5）元，利潤(rùn)為y元，則銷售量為[200（13.5 - x） + 500]件，考慮到利潤(rùn) = 銷售總額 - 進(jìn)貨總額，故有

y = （x - 2.5）[200（13.5 - x） + 500]

= -200x2 + 3700x - 8000. （2.5 < x ≤ 13.5）

這樣原問題即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.

2. 此時(shí)問題變?yōu)榍蠖魏瘮?shù)的最大值問題

將二次函數(shù)式配方后為y = -200（x - 9.25）2 + 9112.5 （2.5 < x ≤ 13.5）.

由二次函數(shù)知識(shí)得：當(dāng)x = 9.25 時(shí)，y最大 = 9112.5.故當(dāng)銷售單價(jià)為9.25元時(shí)，最大利潤(rùn)為9112.5 元.

在上述問題的解決過程中，要力求讓學(xué)生體會(huì)并總結(jié)出數(shù)學(xué)建模的一般方法，即：

（1）讀懂題意. 面對(duì)由實(shí)際問題所呈現(xiàn)的材料，要讀懂其中所敘述的實(shí)際問題的意義，判斷該實(shí)際問題要解決什么，以及涉及哪些相關(guān)的知識(shí)領(lǐng)域.

（2）理解轉(zhuǎn)換. 理解各種量之間的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，抓住關(guān)鍵，舍去非本質(zhì)因素，挖掘隱含條件，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

（3）函數(shù)建模. 通過數(shù)學(xué)符號(hào)化，即利用已知量的代入、未知量的設(shè)定、數(shù)量關(guān)系的溝通，建立與實(shí)際問題相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)模型.

（4）實(shí)施解模. 用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)所建立的二次函數(shù)模型求解，并根據(jù)實(shí)際問題的約束條件設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑，得到初步的數(shù)學(xué)結(jié)果.

（5）檢驗(yàn)結(jié)果. 對(duì)所求出的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行解釋與檢驗(yàn)，或取或舍或修正，使其符合實(shí)際問題的要求.

總之，數(shù)學(xué)建模可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的意義，并為解決現(xiàn)實(shí)問題提供了重要的思想方法. 在當(dāng)前的初中教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型思想的滲透，在創(chuàng)設(shè)情境中感知數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生在參與探究中主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力.