組合數(shù)公式在數(shù)列求和中的應(yīng)用

查道慶

摘要：組合數(shù)不僅是概率中重要的計(jì)數(shù)工具，還可以表現(xiàn)為某一數(shù)列的通項(xiàng)公式。組合數(shù)中有很多完美的結(jié)論和公式，本文探討了常用的組合數(shù)公式在數(shù)列求和中的應(yīng)用，深刻地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)各章節(jié)之間的巧妙聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：組合數(shù) 通項(xiàng)公式 數(shù)列求和

在高中數(shù)學(xué)選修2-1的定積分的運(yùn)算中，我們經(jīng)常使用如下的兩個(gè)數(shù)列的求和公式：

12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）（1）

13+23+33+…+n3=■n2（n+1）2（2）

對(duì)這兩個(gè)公式，課本在高中數(shù)學(xué)選修2-2中利用數(shù)學(xué)歸納法給出了證明。那么，這兩個(gè)公式是如何求得的呢？有一般的規(guī)律可循嗎？本文擬就這一問題做些深入地探討。

一、組合數(shù)公式的延伸

利用組合數(shù)的性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法可證明如下公式：

C■■+C■■+C■■+…+C■■=C■■（n，m∈N*）（3）

該公式可簡記為■C■■=C■■

事實(shí)上，C■■+C■■=C■■（n，m∈N*，n≥m）

故有C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■

因此（3）式對(duì)任意正整數(shù)n都成立。

由于（3）式的左端是n項(xiàng)的和，而右端是一個(gè)組合數(shù)，因此我們可以認(rèn)為（3）式也是一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。利用它，我們可以求一類特殊數(shù)列{nm}（n，m∈N*）前n項(xiàng)的和。

二、利用公式（3）求數(shù)列{nm}（n，m∈N*）前n項(xiàng)的和

引例：對(duì)任意的k，m（k，m∈N*），總存在常數(shù)Ai（i=1，2，3，…，m-1），使得

km=m！C■■+A1（m-1）！C■■+A2（m-2）！C■■+…+Am-1C■■（4）成立。

證明 （4）式等價(jià)于

km=k（k-1）（k-2）…（k-m+1）+A1k（k-1）（k-2）…（k-m+2）+A2k（k-1）（k-2）…（k-m+3）+…+Am-1k（5）

（5）式的右端展開整理等價(jià)于

km=km+f1（A1）km-1+f2（A1，A2）km-2+f3（A1，A2，A3）km-3+…+fm-1（A1，A2，…，Am-1）k（6）

其中，fi（i=1，2，3，…，m-1）為整函數(shù)。

比較（6）式的兩端可得：

f1（A1）=0f2（A1，A2）=0f3（A1，A2，A3）=0…fm-1（A1，A2，…Am-1）=0（7）

顯然（6）與（7）等價(jià)，且（7）有且只有唯一解。根據(jù)“等價(jià)”的傳遞和可逆性，（7）與（5）也等價(jià)。因此，對(duì)（7）的唯一解fm-1（A1，A2，…Am-1）=0，（5）總成立。

該引理實(shí)際上給出了求數(shù)列{nm}（n，m∈N*）的前n項(xiàng)和的方法，下面我們舉例來探討它的應(yīng)用。

例1：求數(shù)列{n2}的前n項(xiàng)和。

解：因?yàn)楫?dāng)k≥2時(shí)，k2=k（k-1）+k=2！C■■+C■■所以有

12+22+32+…+n2=■k2

=1+■（2！C■■+C■■）

=2！■C■■+■C■■+

=2C■■+C■■

=■（n+1）n（n-1）+■（n+1）n

=■n（n+1）（2n+1）

例2：求數(shù)列{n3}的前n項(xiàng)和。

解：當(dāng)k≥3時(shí)，

k3=k（k-1）（k-2）+A1k（k-1）+A2k

=k3+（A1-3）k2+（A2-A1+2）k

比較兩端同次項(xiàng)的系數(shù)可得，A1=3，A2=1。

故當(dāng)k≥3時(shí)，k3=k（k-1）（k-2）+3k（k-1）+k=3！C■■+3·2！C■■+C■■，

13+23+…+n3=■k3=13+23+■（3！C■■+3×2！C■■+C■■）

=3！■C■■+3×2！■C■■+■C■■

=3！C■■+3×2！C■■+C■■

=■n2（n+1）2

例3：求數(shù)列{n4}的前n項(xiàng)和。

解：我們可以仿照上述兩個(gè)例子，利用待定系數(shù)法求得

14+24+……+n4=■（n+1）n（2n+1）（3n2+3n-1）

計(jì)算過程略。

通過由上述3個(gè)例題的演算我們可以發(fā)現(xiàn)，利用組合數(shù)公式求解形如{nm}（m∈N*）的數(shù)列前n項(xiàng)和，有其一般規(guī)律，都可用待定系數(shù)法。

三、公式（3）的應(yīng)用推廣

公式（3）的意義不僅僅在于可求形如{nm}（m∈N*）的數(shù)列前n項(xiàng)和，也可以求其他一些更為復(fù)雜的數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

例4：在n個(gè)連續(xù)奇數(shù)1，3，5，…，（2n-1）中，求任意相異兩數(shù)的積的和。

解：我們有，■ak2=■a■■+2■aiaj

因此，上式可變形為■aiaj=■■ak2-■a■■

從而，所求的和為■1+3+…+（2n-1）2-12+32+…+（2n-1）2

=■■2-■（2k-1）2

=■（n2）2-■（4k2-4k+1）

=■n4-4■k2+4■k-n

=■n4-4·■n（n+1）（2n+1）+4·■n（n+1）-n

=■n（n-1）（3n2-n-1）

四、教學(xué)啟示

組合數(shù)和數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要的知識(shí)內(nèi)容。它們表面上看似乎相互獨(dú)立，其實(shí)他們之間有著密切的聯(lián)系，我們不能讓學(xué)生一味地搞題海戰(zhàn)術(shù)，而是要讓學(xué)生勤于思考，善于總結(jié)，努力發(fā)現(xiàn)問題的一般規(guī)律。只有這樣才能讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、研究問題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，最大限度地提高學(xué)生的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情。

參考文獻(xiàn)：

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[2]沈元春.特殊數(shù)列初等求和方法例談[J].新疆石油教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（1）.

[3]虞濤.求數(shù)列通項(xiàng)的若干技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2001（10）.

（責(zé)編 趙建榮）