微積分在解決經(jīng)濟問題上的若干應(yīng)用

梁昊欣

摘要：19世紀末人們首次把數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決經(jīng)濟問題，至今數(shù)學(xué)已發(fā)展到與經(jīng)濟密不可分的狀態(tài)了，任何經(jīng)濟問題都能通過建立數(shù)學(xué)模型來分析與求解，把經(jīng)濟管理數(shù)量化，為企業(yè)管理者提供決策的依據(jù)。本文主要討論微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用，以企業(yè)經(jīng)營中碰到的幾個實際的例子，揭示出微積分對于經(jīng)濟分析數(shù)學(xué)化、定量化所起的強大作用。

關(guān)鍵詞：微積分 邊際分析 經(jīng)濟問題 決策

一、概述

17世紀90年代，人們首次把算術(shù)方法應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)問題。時至今日，隨著經(jīng)濟的蓬勃發(fā)展，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟的關(guān)系已達到密不可分的狀況了。人們的日常生活諸如購物、貸款、股票投資、競賽選拔等，都可借助數(shù)學(xué)模型來做出理想的決策。在計算機的輔助下建立數(shù)學(xué)模型解決諸如生產(chǎn)規(guī)劃、工程設(shè)計、物流分配、人事管理、商業(yè)銷售等復(fù)雜問題能得到合理、準確、可靠的結(jié)果。任何一項經(jīng)濟學(xué)的研究也都離不開數(shù)學(xué)的應(yīng)用。本著理論要應(yīng)用于實際的原則，本文在經(jīng)濟分析、經(jīng)濟管理、經(jīng)營決策等方面引入微積分，解決實際問題。

二、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用

（一）邊際分析

1. 邊際函數(shù)的定義

在經(jīng)濟學(xué)中，經(jīng)常會遇到邊際這一概念，如邊際需求、邊際成本、邊際收入、邊際利潤等。從數(shù)學(xué)角度看，經(jīng)濟學(xué)中的邊際問題就是相應(yīng)的經(jīng)濟函數(shù)的變化率（或變化速度）問題，即因變量對自變量的導(dǎo)數(shù)稱為“邊際”。它表示自變量增量為1個單位時，因變量的增量就是邊際量。但值得注意的是：對于現(xiàn)實生活中的經(jīng)濟函數(shù)，其自變量的取值一般是不連續(xù)的（即離散的）量。因此在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)這個工具去分析問題時，必須將“離散”的量看作“連續(xù)”的量（可導(dǎo)必連續(xù)），但是在對求導(dǎo)的結(jié)果進行經(jīng)濟解釋時，又須將“連續(xù)”的量作為“離散”的量來看待，而且它們的最小變化是一個單位。

經(jīng)濟學(xué)中常用的邊際函數(shù)：

（1）邊際需求。設(shè)需求函數(shù)Q=Q（p）（p為價格），則■=Q（p）稱為邊際需求函數(shù)，記作MQ。它表示需求的變化率，即當價格為p時，若再上漲1個單位價格，則需求量將增加MQ個單位。

（2）邊際成本。設(shè)總成本函數(shù)C=C（q）（q為產(chǎn)量），則■=C（q）稱為邊際成本函數(shù)，記作MC。它表示成本的變化率，即當產(chǎn)量為q時，若再生產(chǎn)1個單位產(chǎn)品，則總成本將增加MC個單位。

（3）邊際收益。設(shè)總收益函數(shù)R=R（q）（q為產(chǎn)量），則■=Q（q）稱為邊際收益函數(shù)，記作MR。它表示收益的變化率，即當產(chǎn)量為q時，若再銷售1個單位產(chǎn)品，則總收益將增加MR個單位。

（4）邊際利潤。設(shè)總利潤函數(shù)L=L（q）=R（q）-C（q）（q為產(chǎn)量），則■=R（q）-C（q）稱為邊際利潤函數(shù)，記作ML。它表示利潤的變化率，即當產(chǎn)量為q時，若再銷售1個單位產(chǎn)品，則總利潤將增加ML個單位。由于L=L（q）=R（q）-C（q），所以■=■-■，即ML=MR-MC。

如果 ML>0，即MR>MC，邊際收益大于邊際成本，其經(jīng)濟意義為：在產(chǎn)量為 Q 時再生產(chǎn) 1 個單位產(chǎn)品多帶來的收益增加量大于再生產(chǎn) 1 個單位產(chǎn)品多帶來的成本增加量。這時，增加產(chǎn)出是有利的，可以使利潤增加。相反，如果 ML<0，即MR

2.關(guān)于邊際分析的例題

例1：廠家生產(chǎn)Q（噸）某種產(chǎn)品的總成本C（萬元）是產(chǎn)量q的函數(shù)，C（q）=0.2q2+5q-5，求：（1）產(chǎn)量為20噸時的平均成本；（2）產(chǎn)量為20噸時的邊際成本，并解析其經(jīng)濟意義。

解：（1）C（20）=■=■=8.72（萬元）

（2）■+0.4q+5，■q=20=0.4×20+5=13（萬元）

其經(jīng)濟意義為：當產(chǎn)量為20噸時，再增加1噸，總成本增加13萬元。

（二）最優(yōu)化分析

1.關(guān)于經(jīng)濟變量的最值分析

圍繞著利益最大化，各企業(yè)在經(jīng)濟管理中總是要考慮關(guān)于怎樣才能最節(jié)省材料、怎樣才能達到最低生產(chǎn)成本、怎樣才能產(chǎn)生更高的效益、怎樣才能使企業(yè)利潤達到最大化等眾多問題，這類問題稱為經(jīng)濟變量的最優(yōu)化分析。利潤是衡量企業(yè)經(jīng)濟效益的一個主要指標。在一定的設(shè)備條件下，如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤，這是企業(yè)管理中的一個現(xiàn)實問題。數(shù)學(xué)上，這些經(jīng)濟問題的解決就相當于對最大值、最小值的求解。利用函數(shù)將一個經(jīng)濟變量用另一個經(jīng)濟變量來表示，然后利用導(dǎo)數(shù)這一工具來求解最值，便能快速有效地解決此類問題。

2.關(guān)于最優(yōu)化分析的例題

例2：某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為5萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為300元。產(chǎn)品出廠價格P是產(chǎn)量q的函數(shù)，P（q）=1000-0.2q，求達到最大利潤時的產(chǎn)能以及最大利潤為多少？

解： 由題意可知，成本函數(shù)為：C（q）=300q+50000

收入函數(shù)為：R（q）=（1000-0.2q）q

故利潤函數(shù)為：L（q）=R（q）-C（q）=-0.2q2+700q-50000

L（q）=-0.4q+700，令L（q）=0解得：q=1750（件）

∵L（1750）=-0.4<0，∴當q=1750時，函數(shù)取得極大值。

∵駐點是唯一的，而且利潤有最大值。

∴此駐點q=1750就是利潤最大值的點。

故最大利潤L（1750）=562500（元）

（三）彈性分析

1.彈性的概念

彈性又稱彈性系數(shù)，用以描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量的變化的反應(yīng)速度。若設(shè)關(guān)于某兩個經(jīng)濟變量的函數(shù)為y=f（x），當自變量增量為△x，因變量增量為△y，則因變量y對自變量x的彈性函數(shù)定義為？濁=■■=■■。以需求彈性為例，它指的是由于價格的變化而給商品的需求量造成的影響程度，即設(shè)需求函數(shù)Q=Q（P）（P為價格），則需求價格彈性為？濁=■■。一般情況，Q=Q（P）是關(guān)于價格P的單調(diào)減函數(shù)，所以？濁<0，需求價格彈性的經(jīng)濟意義表示如果價格提高或降低1%，需求由Q起減少或增加的百分數(shù)是|？濁|。對于一般的商品，價格上升則需求量減少，價格下降則需求量增加。

2.關(guān)于彈性分析的例題

例3：某商品的需求函數(shù)為Q=120-20P，求需求彈性函數(shù)并描述當P=5時需求彈性的經(jīng)濟意義。

解： 由題意可知，？濁=■■=（-20）■=■

當P=5時，Q=120-20×5=20，？濁=■=-5

所以當價格為5時，需求為20。此時若價格提高（下降）1%則需求量下降（提高）5%。

三、微分方程在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用

為了研究經(jīng)濟變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律，常常需要建立某一經(jīng)濟函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式，并由此確定所研究函數(shù)的形式，從而根據(jù)一些已知的條件來確定該函數(shù)的表達式。數(shù)學(xué)上就是建立微分方程并求解微分方程。以下列舉經(jīng)濟中的實例，著重討論其經(jīng)濟數(shù)量關(guān)系。

例4：某商品的需求量x對價格p的彈性為-pln3，若該商品的最大需求量為1200（即 元時，x=1200千克）。試求需求量x與價格p的函數(shù)關(guān)系，并求當價格為1元時市場上對該商品的需求量。

解： 由題意可知，■■=-pln3

即■=-xln3

分離變量解此微分方程■=-ln3dp

兩邊積分可得lnx=-pln3+C，

即x=C-e-pln3=C·3-p。

∵p=0時，x=1200 ∴C=1200

∴x=1200·3-p

故當價格p=1時，市場上對該商品的需求量為x=1200·3-1=400（千克）。

四、積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用

在經(jīng)濟生活中，經(jīng)濟總量及變動值影響著企業(yè)經(jīng)營者的經(jīng)營決策，將經(jīng)濟總量變動值進行對比和分析，及時調(diào)整企業(yè)的經(jīng)營決策對于企業(yè)發(fā)展起著非常重要的作用。數(shù)學(xué)上，已知邊際函數(shù)求原函數(shù)一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分。如果求原函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。

例5：廠家生產(chǎn)q個零件的邊際成本C（q）=0.2q+5，其固定成本為3000元，每個產(chǎn)品價格為125元。試求：（1）產(chǎn)量為多少時利潤最大？最大利潤是多少？（2）在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)100件，總利潤將發(fā)生怎樣的變化？

解：（1）總成本函數(shù)為：C（q）=■0.2q+5dq+3000=0.1q2+5q+3000，

收益函數(shù)為：R（q）=125q，

則利潤函數(shù)為：L（q）=R（q）-C（q）=-0.1q2+120q-3000，

L（q）=-0.2q+120，令L（q）=0解得q=600（件），

∵L（q）=-0.2<0，∴q=600是L（q）的極大值點。

L（600）=-0.1×6002+120×600-3000=33000（元）

即產(chǎn)量為600件時利潤最大，利潤最大為33000元。

（2）△L=■（-0.2q+120）dq=-1000（元），

即在產(chǎn)量為600件的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)100件，總利潤將減少1000元。

五、微積分為經(jīng)營投資提供合理決策

企業(yè)的日常運營需要不斷進行各種大大小小的決策，其中投資決策、財務(wù)決策則是運營的核心所在。要解決如何合理安排生產(chǎn)量、合理調(diào)配資源使利潤達到最大化，就必須要做出最佳決策。在討論投資決策前，必須引入兩個重要的概念：終值與現(xiàn)值。

（一）終值與現(xiàn)值的概念

終值（又稱將來值）是現(xiàn)在一定量的資金折算到未來某一時點所對應(yīng)的金額。若有資金P元，按年利率i做連續(xù)復(fù)利計算，可得t年末的本利和為Peit元，我們稱Peit為P元資金在t年末的終值。

現(xiàn)值是未來某一時點上的一定量資金折算到現(xiàn)在所對應(yīng)的金額。若現(xiàn)在投入資金x元，且按年利率i做連續(xù)復(fù)利計算，t年末得到本利和P元（即有P=xeit），則x=Pe-it稱為t年末資金P的現(xiàn)值。

設(shè)在時間區(qū)間[0，T]內(nèi)t時刻的單位時間收入為R（t）（或稱收入率），按年利率為i做連續(xù)復(fù)利計算，則有：終值=■R（t）e（T-t）idt，現(xiàn)值=■R（t）e-itdt。一般地，若收入率R（t）=A（A為常數(shù)），稱此為均勻收入率。

（二）關(guān)于投資決策的例題

例6：某廠家需要一臺新科技的機床（使用壽命為10年）來提高產(chǎn)能，聯(lián)系了機床的經(jīng)銷商后得到了兩種方案：①直接購買，費用為80萬元；②租用，每月租金為1萬元。若資金的年利率為6%，以連續(xù)復(fù)利計算，試決策：是購買機床合算還是租用機床合算？

解：∵每月租金為1萬元，∴收入率R（t）=1

由題意知，機床使用壽命為10年，即租期為120個月，年利率為6%，即月利率為0.5%，故有：現(xiàn)值=■1-e-0.005tdt

=-■■e-0.005td（-0.005t）

=-200e-0.005t■

=200（l-e-0.5）

≈90.2（萬元）

因此，現(xiàn)值90.2萬大于現(xiàn)價80萬元，在資金不太緊缺的情況下，廠家還是購買機床要合算一些。

六、結(jié)束語

以上六個討論微積分在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用的例子只是微積分經(jīng)濟應(yīng)用的一小部分，但從中也能深刻地揭示出微積分對于經(jīng)濟分析數(shù)學(xué)化、定量化所起的強大作用。總之，微積分是探索經(jīng)濟規(guī)律，分析經(jīng)濟現(xiàn)象的重要工具，運用得當便能為企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)據(jù)，為企業(yè)決策提供客觀、合理的數(shù)據(jù)支持。數(shù)學(xué)的發(fā)展源于經(jīng)濟，卻又實實在在地為經(jīng)濟服務(wù)。

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（責編 趙建榮）