巧解九連環(huán)

范銘飛

【摘要】如何有效開發(fā)或開設選修課，拓展學生的知識面，發(fā)展學生的特長，培養(yǎng)學生的個性，便成了廣大教師需要探索和思考的課題.

【關鍵詞】選修課；知識拓展類；數(shù)學教學；九連環(huán)；遞推數(shù)列

筆者參與了數(shù)學選修課的開發(fā)和開設過程，在此期間也有一些感悟與想法，所以把它寫出來與各位同行交流.為了方便交流，下面提供了一節(jié)數(shù)學選修課的教學設計片段，供同行在實踐中參考.

一、教學歷程

課題：九連環(huán)與遞推數(shù)列.

背景：高一數(shù)學選修課——知識拓展類《高中數(shù)學知識探究和思考》中的一節(jié)實踐探究課.

課前準備：九連環(huán)每桌一個，表格每桌一張.

1.創(chuàng)設情境，提出課題

教師（手上拿著九連環(huán)）：大家玩過九連環(huán)嗎？想玩嗎？這節(jié)課我們一起玩九連環(huán).

學生（炸開了鍋）：好！

教師：九連環(huán)是中國民間玩具，目的是把九個圓環(huán)全套上或卸下.游戲規(guī)則：九連環(huán)的每個環(huán)互相制約，只有第一環(huán)能夠自由上下.要想下或上第n（n>2）個環(huán)，就必須滿足兩個條件（第一個環(huán)除外）：

一、第n-1個環(huán)在架上；

二、前n-2個環(huán)全部不在架上.

沒等教師介紹完，部分學生已經(jīng)拿起桌上的九連環(huán)開始玩.

教師：大家先停一下，你們知道當今世界上解九連環(huán)速度最快的人是誰嗎？他是老年人、中年人還是青年人？

（大部分）學生：中年人.

教師：讓我來解開謎底.（電腦播放觀看視頻《扛起世界記錄——蒙眼分解九連環(huán)速度最快的人》）

學生震驚了：解九連環(huán)速度最快的人竟是江西一位16歲的少年.

正是這一獨具特色、吸引學生的引入，調(diào)動了學生潛意識中的好奇心和挑戰(zhàn)心理，激發(fā)了他們探究的欲望，使學生自發(fā)地、熱情地參與到課堂中來，使接下來的探究教學收到了意想不到的好效果.

2.動手游戲，合作交流

學生開始兩人合作游戲，動手解環(huán).有的學生反應敏捷，已經(jīng)解下4環(huán)了，大部分學生已解下前3環(huán)，在解第4環(huán)時就卡住了.筆者請已經(jīng)解下5環(huán)的一名學生到臺上演示.然后同桌之間相互合作，討論完成發(fā)下來的表格.

教師：解下前5個圓環(huán)所需移動的最少次數(shù)分別是多少呢？

學生1：次數(shù)依次為：1，2，5，10，21.

教師：正確.那么九個圓環(huán)都解下來所需的最少移動次數(shù)呢？

學生1：我覺得解第5環(huán)就比較麻煩了，如何計算啊？

學生2：可以找規(guī)律啊.這里移動的次數(shù)可否組成一個有規(guī)律的數(shù)列呢？

教師：事實勝于雄辯！學生2的質(zhì)疑很有道理.我們能不能根據(jù)移動次數(shù)構造一個數(shù)列呢？

經(jīng)過討論，同學們達成共識：構造數(shù)列.用an表示解下n個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù).顯然，a1=1，a2=2，a3=5，a4=10，a5=21.

學生觀察這一列數(shù)，陷入一片寂靜.

教師：實踐出真理.大家動手再繼續(xù)解環(huán)，找一找解第5個環(huán)的前一步驟是什么？

教室又進入解環(huán)游戲中……

學生3：為了解下第5個圓環(huán)，必須先解下前3個圓環(huán)，如果前4個圓環(huán)已經(jīng)被解下，第5個圓環(huán)就無法再解下；如果前3個圓環(huán)已經(jīng)被解下，第5個圓環(huán)就可以很容易解下.相反地，要套上第5個圓環(huán)，必須先套上前3個圓環(huán).套上一個圓環(huán)與解下一個圓環(huán)的過程正好相反，所需次數(shù)相同.可以把這個結論推廣到n個環(huán).

3.大膽假設，深化提高

教師：剛才我們在實踐中感知九連環(huán)在解環(huán)過程中存在的遞推關系，從而得出解九連環(huán)最少需要移動341次.讓我們來個大膽的猜想，假如，我這里有一個99連環(huán)，解下這99個圓環(huán)最少需要移動多少次呢？

學生4：9個環(huán)比較少，可以用遞推關系.99個圓環(huán)用遞推關系去算不方便.

學生5：在數(shù)列中學過當遇到n較大時求項的話，要用通項公式.

教師：學生5說得很好.我們可否得到這個數(shù)列的通項公式呢？我們再動手解九連環(huán)，特別注意相鄰幾個環(huán)之間的關系.

學生5：若我們再用bn表示前n-1個圓環(huán)都已經(jīng)解下后，在解下第n個圓環(huán)所需的次數(shù)，則可得下式：

an=an-2+1+bn-1.

二、教學感悟

1.九連環(huán)是遞推數(shù)列的拓展與延伸

縱觀此節(jié)課，有限的教學資源得到了充分的開發(fā)和利用.本課例九連環(huán)的教學中，涉及了許多知識、技能、思想方法和思維品質(zhì).首先九連環(huán)為遞推數(shù)列提供了非常好的背景，在必修5課本中只是簡單地通過謝賓斯基三角形具體的一個例子得到數(shù)列的遞推公式.其次求遞推數(shù)列通項公式是數(shù)列知識的一個難點，通過這節(jié)課的學習，加深了“九連環(huán)”與遞推數(shù)列的聯(lián)系，使學生對數(shù)列遞推公式有了進一步的掌握和提高.發(fā)展綜合運用已學的知識和技能，解決實際問題的方法和學生的邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)學歸納思想，思維的深刻性、敏捷性等重要內(nèi)容在自然流暢的教學情境中得到有機的融合.

2.對高一學生思維發(fā)展的準確定位，優(yōu)化課堂教學模式

以前的教學活動教師總是充當著“智者”的角色，給學生“傳道、授業(yè)、解惑”.但在選修課開設中，筆者發(fā)現(xiàn)許多知識教師并不比學生多知道多少.如在確定“九連環(huán)”教學內(nèi)容時，筆者是首次接觸九連環(huán)，對解九連環(huán)很陌生.那么，怎樣做好“指導老師”這一工作呢？那就只有放下教師的“架子”，對照說明書，自己先練習解九連環(huán).為了破解九連環(huán)的神秘感，筆者整整花了一個下午的時間練習解九連環(huán).

高一學生還保留少年時代的好動與好奇.據(jù)此，課例一開頭，教師拿出九連環(huán)，又播放視頻，引起學生的好奇和興趣.學生已具有一定的觀察力，課例從觀看視頻到學生親自動手觀察九連環(huán)，對觀察的目的性、持久性和概括性都提出了要求；高一學生的思維能力正在由形象經(jīng)驗型向抽象理論型轉(zhuǎn)變.能夠用假設、推理來思考和解決問題，這就為課例從具體到抽象、從粗糙到嚴謹?shù)耐评頊蕚淞怂季S基礎.

3.對教材的重新開發(fā)

新的數(shù)學教材中，每一章節(jié)都增加了一定數(shù)量的閱讀與思考材料，開辟了“鏈接”“探究”“閱讀”等拓展性欄目，這為數(shù)學知識拓展類選修課提供了很好的平臺.因此在教學中經(jīng)常不情愿，甚至干脆不指導學生開展探究學習.而《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中明確指出：高中課程設立“數(shù)學探究”“數(shù)學建?！钡葘W習活動，是為學生形成積極主動、形式多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣.“九連環(huán)”是人教版《數(shù)學》A版（必修5）數(shù)列結束后閱讀與思考的內(nèi)容.教材中所涉及的僅限于九連環(huán)的構造、解法規(guī)則以及遞推關系的推導.在平時的教學中，教師幾乎沒有組織對“九連環(huán)”進行探究.但在選修課的開設過程中，“九連環(huán)”可以作為我們的一個首選內(nèi)容.在這節(jié)課的教學過程中教師努力營造良好的探究氛圍，通過介紹九連環(huán)在中國的發(fā)展史和視頻演示，激發(fā)學生的好奇心和斗志；鼓勵學生通過合作、體驗、實踐、討論等方式，讓學生能夠在玩中自主解決問題，在游戲中得到成功的喜悅.根據(jù)學生的認知水平，根據(jù)課程標準要求，仔細分析教材，深入挖掘數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系.從而有效地利用好教材，活用教材，這也是實現(xiàn)選修課是必修課的拓展與延伸的重要途徑.

綜上所述，“觀念是行為的先導”，數(shù)學教育不只是給學生數(shù)學知識，更不是為了應付高考，教師要著眼于學生的長遠發(fā)展，注重培養(yǎng)學生數(shù)學地思考問題、解決問題的能力.

【參考文獻】

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