高中物理巧解電場(chǎng)強(qiáng)度的方法探討

黃水美

摘 要：電場(chǎng)強(qiáng)度是描述靜電場(chǎng)性質(zhì)非常重要的物理量，通過(guò)對(duì)求解電場(chǎng)強(qiáng)度幾種方法的介紹，可以加深學(xué)生對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度概念的理解，并在變通和遷移中提高解決物理問(wèn)題的能力，優(yōu)化學(xué)生的抽象思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：電場(chǎng)性質(zhì)；電場(chǎng)強(qiáng)度；矢量；公式法；圖象法；疊加法；微元法

電場(chǎng)強(qiáng)度是靜電場(chǎng)中重要的概念，這是高中電學(xué)知識(shí)中的重難點(diǎn)，同時(shí)也是歷年高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容。電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，描述電場(chǎng)的強(qiáng)弱和方向，是描述“電場(chǎng)力的性質(zhì)”的物理量，由電場(chǎng)本身的性質(zhì)決定。關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的求解方法可分為三大類：公式法、圖象法和疊加法，其中疊加法的靈活應(yīng)用對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度極大，如果能對(duì)物理基礎(chǔ)較好的學(xué)生進(jìn)行專題教學(xué)，既可以加深學(xué)生對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度概念的理解，又能在變通和遷移中提高解決物理問(wèn)題的能力，優(yōu)化學(xué)生的抽象思維品質(zhì)。

一 、公式法

電場(chǎng)強(qiáng)度的公式及適用條件分別如下：

1.E=■，是電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式，適用于一切電場(chǎng)。

2.E=k■，是真空中點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的決定式，只適用于孤立點(diǎn)電荷在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小。

3.E=■，是勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差的關(guān)系式，只適用于勻強(qiáng)電場(chǎng)。

二 、圖象法

圖象法就是利用E-x圖象和φ-x圖象的意義求解的方法，在φ-x圖象中，圖線切線的斜率大小是該處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

例1 （2009年江蘇物理）空間某一靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖1所示，x軸上兩點(diǎn)B、C點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度在方向上的分量分別是EBx、ECx，下列說(shuō)法中正確的有（ ）

A.EBx的大小大于ECx的大小

B.EBx的方向沿x軸正方向

C.電荷在O點(diǎn)受到的電場(chǎng)力在x方向上的分量最大

D.負(fù)電荷沿x軸從B移到C的過(guò)程中，電場(chǎng)力先做正功，后做負(fù)功

解析 本題中的電場(chǎng)是非勻強(qiáng)電場(chǎng)。①方向判定：由沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，可知由O點(diǎn)分別指向x軸正方向和x軸負(fù)方向；②x方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小判定：由φ-x圖線切線的斜率為此位置電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，可知由O點(diǎn)沿x軸正方向的電場(chǎng)強(qiáng)度從零逐漸增大到最大又逐漸減小，同理，由O點(diǎn)沿x軸負(fù)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度從零逐漸增大到最大又逐漸減??；可得出EBx>ECx，O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，因此正確選項(xiàng)為A、D。

三、 疊加法

真空中的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為E=k■，注意電強(qiáng)強(qiáng)度的方向（背離正點(diǎn)電荷，指向負(fù)點(diǎn)電荷）及電場(chǎng)強(qiáng)度用矢量疊加的平行四邊形定則。找電荷系在空間位置產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度，利用疊加的求解方法，都應(yīng)從最簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)開始分析，再將電荷系中各個(gè)點(diǎn)電荷在空間點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行疊加求和，最后求出電荷系在空間位置所產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)。

1.基本疊加法

例2 邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別固定三個(gè)點(diǎn)電荷+q、+q、-q，求該三角形中心O點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小和電勢(shì)大小。

解析 每個(gè)點(diǎn)電荷在O點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小均為E=■，根據(jù)矢量疊加的平行四邊形定則，由如圖2所示，得O點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)為E0=■，方向由O指向C .

2.等效對(duì)稱疊加法

（1）巧用微元疊加法

微元法就是將研究對(duì)象分割成無(wú)數(shù)個(gè)非常微小的單元，或從研究對(duì)象上選取某一“微元”加以分析，從而使變量、難以確定的變量轉(zhuǎn)化為容易確定的常量。

例3 如圖3甲所示，均勻帶電圓環(huán)所帶正電荷量為Q，半徑為R，圓心為O，P為垂直于圓環(huán)平面對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，OP=L.試求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解析 設(shè)想將圓環(huán)等分為n個(gè)小段，當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，每一小段都可以看作點(diǎn)電荷。其所帶電荷量為q=■.如圖3乙，由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可求得

每一點(diǎn)電荷q在P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)

Ep=k■=k■=k■

由對(duì)稱性可知，每一小段帶電環(huán)在P處的場(chǎng)強(qiáng)Eq的垂直于軸向的分量Eqy相互抵消，而Eq的軸向分量Eqx之和即為帶電圓環(huán)在P處的合場(chǎng)強(qiáng)EP.

Ep=nEpx=nEpcosθ=■·■=■。

點(diǎn)評(píng) 嚴(yán)格的說(shuō)，微元法是利用微分的思想處理物理問(wèn)題的一種思想方法，對(duì)考生來(lái)說(shuō)有一定的難度，但是在高考題中時(shí)常出現(xiàn)，因此在復(fù)習(xí)過(guò)程中要進(jìn)行此方法的思維訓(xùn)練，以適應(yīng)高考的要求。

（2）妙用填補(bǔ)疊加法

求解物理問(wèn)題，要根據(jù)問(wèn)題給出的條件建立相對(duì)應(yīng)的物理模型。但有時(shí)由題給條件建立模型不是一個(gè)完整的模型，這時(shí)需要給原來(lái)的問(wèn)題補(bǔ)充一些條件，組成一個(gè)完整的新模型。這樣，求解原模型的問(wèn)題就變?yōu)榍蠼庑履Ｐ团c補(bǔ)充條件的差值問(wèn)題。

例4 如圖4所示，用長(zhǎng)為l的金屬絲變成半徑為r的圓弧，但在A、B之間留有寬度為d的間隙，且d<

解析 假設(shè)將這個(gè)圓環(huán)缺口補(bǔ)上，并且已補(bǔ)缺部分的電荷密度與原有缺口的環(huán)體上的電荷密度一樣，這樣就形成一個(gè)電荷均勻分布的完整帶電環(huán)。環(huán)上處于同一直徑兩端的微小部分所帶電荷可以看做為兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的等量同種點(diǎn)電荷，他們?cè)趫A心O處的合場(chǎng)強(qiáng)為零。根據(jù)對(duì)稱性可知，帶電圓環(huán)在圓心O處的合場(chǎng)強(qiáng)為零。至于補(bǔ)上的帶電小段，由題給條件可看作點(diǎn)電荷，它在圓心O處的場(chǎng)強(qiáng)E1是可求得。若題中待求場(chǎng)強(qiáng)為E2，則E1+E2=0.設(shè)原缺口環(huán)所帶電荷的線密度為σ，σ=■，則補(bǔ)上的那一小段金屬環(huán)的帶電荷量q=σd，q在O處的場(chǎng)強(qiáng)為E1=■=■，由E1+E2=0，得E2=-E1 ，負(fù)號(hào)表示E2與E1反向，背向圓心向左.

點(diǎn)評(píng) 從此題解法可以看出，由于填補(bǔ)圓環(huán)缺口，將帶電體“從局部合為整體”，再由“整體分為局部”，這種先合后分的思想方法能使解題者迅速獲得解題思路。

（3）活用電像疊加法

電像法實(shí)際上就是根據(jù)某些物理現(xiàn)象、物理規(guī)律、物理過(guò)程或幾何圖形的對(duì)稱性進(jìn)行解題的一種方法，利用此法分析解決問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生能夠熟悉基本模型，并能通過(guò)有效遷移解決實(shí)際問(wèn)題，有快速破題、準(zhǔn)確答題之效。

例5 （2013年安徽卷）如圖5所示，xoy平面是無(wú)窮大導(dǎo)體的表面，該導(dǎo)體充滿z<0的空間，z>0的空間為真空。將電荷為q的點(diǎn)電荷置于z軸上z=h處，則在xoy平面上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷?？臻g任意一點(diǎn)處的電場(chǎng)皆是由點(diǎn)電荷q和導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的。已知靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，則在z軸上z=■處的場(chǎng)強(qiáng)大小為（k為靜電力常量）

A. k■ B. k■ C. k■ D. k■

解析 典型的電像法；感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外（z>0）空間產(chǎn)生的電場(chǎng)，相當(dāng)于在原電荷相對(duì)于導(dǎo)體表面對(duì)稱的位置，電量q′=-q的點(diǎn)電荷在（z>0）空間產(chǎn)生的電勢(shì)。空間整體的電場(chǎng)就是原電荷和這個(gè)鏡像電荷的疊加。由點(diǎn)電荷q和感應(yīng)電荷等效于在z=-h處的點(diǎn)電荷-q，在空間產(chǎn)生電場(chǎng)的疊加可得，z軸上z=■處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=k■+k■=k■，即選項(xiàng)D正確。

點(diǎn)評(píng) 利用鏡像法解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)給定情景，發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱性，找到事物之間的聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)亟⑽锢砟Ｐ汀?/p>

3.臨界對(duì)稱積分法

例6 （第29屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽卷）如圖6甲所示，一半徑為R電荷量為Q的帶電金屬球，球心位置O固定，P為球外一點(diǎn).幾位同學(xué)在討論P(yáng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，有下列一些說(shuō)法，其中哪些說(shuō)法是正確的？

A.若P點(diǎn)無(wú)限靠近球表面，因?yàn)榍虮砻鎺щ?，根?jù)庫(kù)侖定律可推知，P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)趨于無(wú)窮大。

B.因?yàn)樵谇騼?nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為0，若P點(diǎn)無(wú)限靠近球表面，則P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)趨于0。

C.若Q不變，P點(diǎn)的位置也不變，而令R變小，則P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變。

D.若保持Q不變，而令R變大，同時(shí)始終保持P點(diǎn)極靠近球表面處，則P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變。

解析 金屬球?yàn)閷?dǎo)體，電荷均勻分布在金屬球表面，因此內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零。若P點(diǎn)處于球外的空間位置，帶電量為Q金屬球在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，可等效于電荷量全部集中在球心的點(diǎn)電荷Q在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度；若P點(diǎn)無(wú)限靠近球表面（相當(dāng)P在球表面處），此時(shí)P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)不能根據(jù)庫(kù)侖定律求解，但應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)的積分疊加法可得到答案，分析如下：

設(shè)電荷均勻地分布在球面上，把球面分成無(wú)限多個(gè)帶電圓環(huán)球帶如圖6乙所示.

位于θ到θ+dθ之間的球帶面積ds=2πR2sinθdθ

ρ為電荷的面密度ρ=■

位于θ到θ+dθ之間的球帶上的電荷量dq=ρ2πR2sinθdθ

由對(duì)稱性可得dq的合場(chǎng)強(qiáng)dE沿徑向OP的方向，則

dE=k■cosα=k■cos■=k■

E=■ dE=■kρ■sinθdθ=2πkρsin■■=k■。

P點(diǎn)無(wú)限靠近球表面的場(chǎng)強(qiáng)為k■，不為無(wú)窮大，也不等于k■，所以選項(xiàng)A、B、D都錯(cuò)，只有C選項(xiàng)正確。

點(diǎn)評(píng) 處理邊界問(wèn)題時(shí)，由于邊界處是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，無(wú)法利用常規(guī)方法作出準(zhǔn)確判斷時(shí)，應(yīng)用積分法處理，雖積分法對(duì)高中學(xué)生而言是思維挑戰(zhàn)，但應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極嘗試。

綜上所述，在物理教學(xué)中注重能力培養(yǎng)，寓能力培養(yǎng)于知識(shí)學(xué)習(xí)之中是物理教師探討最多的一個(gè)問(wèn)題，即“我究競(jìng)應(yīng)該教什么？怎樣去教才能通過(guò)知識(shí)教學(xué)培養(yǎng)能力呢？”注重科學(xué)方法的引導(dǎo)是一條有效的途徑。通過(guò)在教學(xué)中對(duì)一般思維方法、物理學(xué)方法、解決具體問(wèn)題的方法、哲學(xué)方法等的滲透引導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程有序，可以讓天份平常的學(xué)生能夠?qū)W會(huì)他想學(xué)的知識(shí)，能夠解決比較復(fù)雜的問(wèn)題，領(lǐng)略到數(shù)理結(jié)合時(shí)的抽象美，最后轉(zhuǎn)化成穩(wěn)定的心理特征——物理能力，這是我們研究教學(xué)的最終目的。