瞬變電磁測(cè)井原理研究ⅠⅠ：精確解的響應(yīng)

臧德福，朱留方，沈永進(jìn)，沈建國

（1.中石化勝利石油工程有限公司測(cè)井公司，山東 東營 257096；2.天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院功率超聲實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

0 引 言

瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)所依據(jù)的基本原理是電磁感應(yīng)現(xiàn)象，用Doll幾何因子進(jìn)行近似描述，可以直接給出其二次場(chǎng)的形成過程以及二次場(chǎng)響應(yīng)與地層電導(dǎo)率之間的簡單關(guān)系，但是誤差比較大。因此，Doll幾何因子主要用于確定二次場(chǎng)的主要特征。感應(yīng)測(cè)井的精確解［1］則能夠克服其誤差中集膚效應(yīng)的影響，給出比Doll幾何因子精度高的響應(yīng)，但是不能夠獨(dú)立給出與地層電導(dǎo)率有直接關(guān)系的二次場(chǎng)特征。

感應(yīng)測(cè)井的精確解是針對(duì)無限大均勻地層的［1］。介質(zhì)中沒有涉及到邊界，因此沒有不同介質(zhì)之間電磁場(chǎng)的相互作用與影響等問題，與實(shí)際的瞬變電磁測(cè)井仍然有一定的差別。但是，其解對(duì)瞬變電磁測(cè)井仍然具有重要的意義，它揭示了無井條件下，瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)的基本規(guī)律［2－3］，即瞬變電磁感應(yīng)所形成的一次和二次電磁場(chǎng)相加以后的基本特征以及在接收線圈上的響應(yīng)特征。這些特征能夠幫助認(rèn)識(shí)、理解瞬變電磁測(cè)井基本原理，為進(jìn)一步設(shè)計(jì)瞬變電磁測(cè)井儀器提供基礎(chǔ)。

1 電磁感應(yīng)精確解的勢(shì)函數(shù)

在瞬變電磁測(cè)井Doll幾何因子描述的理論推導(dǎo)過程中，沒有考慮直接耦合信號(hào)對(duì)響應(yīng)的影響，也沒有考慮集膚效應(yīng)以及假設(shè)的電流環(huán)之間的相互影響。嚴(yán)格理論求解包含了這些因素的影響［1］，在求解精確解時(shí)，首先選擇了勢(shì)函數(shù)A，該勢(shì)函數(shù)可以對(duì)電磁感應(yīng)響應(yīng)進(jìn)行全面描述，并且容易求解。

從式（1）可見，用勢(shì)函數(shù)求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，用級(jí)數(shù)表示感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，勢(shì)函數(shù)實(shí)部的第1項(xiàng)Doll幾何因子給出的二次場(chǎng)響應(yīng)，虛部的第1項(xiàng)是直接耦合信號(hào)。而勢(shì)函數(shù)作為級(jí)數(shù)展開時(shí)，其第1項(xiàng)是Doll幾何因子推導(dǎo)時(shí)所得到的直接耦合信號(hào)，虛部的第1項(xiàng)則是Doll幾何因子給出的二次場(chǎng)響應(yīng)。因此，Doll幾何因子是電磁感應(yīng)響應(yīng)的一階近似，其他項(xiàng)在計(jì)算中被忽略了。對(duì)于瞬變電磁測(cè)井，第2項(xiàng)以后的項(xiàng)不是無限小項(xiàng)，不能夠忽略。因此，必須研究精確解的特征。

瞬變電磁測(cè)井的瞬變激發(fā)頻率有一個(gè)范圍，頻譜中，其幅度隨頻率減小。圖1（a）所示的激發(fā)波形是一個(gè)瞬變激發(fā)波形，其突變是用一個(gè)指數(shù)函數(shù)擬合的，其對(duì)應(yīng)的頻譜如圖1（b）所示，隨著頻率增加，幅度快速減小。

圖2是考慮精確解以后的頻譜，即將式（1）乘以激發(fā)波形的頻譜［圖1（b）］后所得到的頻譜，包含了所有的激發(fā)響應(yīng)的頻譜。與圖1相似，隨著頻率增加，圖2的幅度也相應(yīng)地減小。圖3是用精確解頻譜計(jì)算的瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)的勢(shì)函數(shù)的模。將該勢(shì)函數(shù)響應(yīng)的實(shí)部和虛部分開得到圖4和圖5。可見勢(shì)函數(shù)響應(yīng)的實(shí)部與激發(fā)波形類似，不在突變位置時(shí)接近常數(shù)；響應(yīng)的虛部在激發(fā)波形突變處幅度最大。

式（1）的響應(yīng)有實(shí)部也有虛部，實(shí)部的幅度比較大，構(gòu)成了其頻譜的主要成分；虛部的幅度比較小，主要描述電磁感應(yīng)導(dǎo)致的二次場(chǎng)。圖2是總的勢(shì)函數(shù)響應(yīng)的頻譜（模），包含實(shí)部與虛部，其幅度主要反映實(shí)部的特征。

圖1 激發(fā)磁化電流波形及其對(duì)應(yīng)的頻譜

圖2 考慮精確解頻譜以后的總頻譜

圖3 勢(shì)函數(shù)精確解響應(yīng)的模

圖4 勢(shì)函數(shù)精確解響應(yīng)的實(shí)部

圖5 勢(shì)函數(shù)精確解響應(yīng)的虛部

2 激發(fā)波形的影響

激發(fā)波形不同，其激發(fā)的頻率成分不同。通過改變激發(fā)波形，可以調(diào)整激發(fā)的頻率，實(shí)現(xiàn)不同的測(cè)量目的。這是瞬變電磁測(cè)井最大的優(yōu)勢(shì)——靈活、適用范圍廣、可以根據(jù)需要調(diào)節(jié)激發(fā)波形，選擇所測(cè)量的頻率區(qū)間。用圖6所示的2組激發(fā)波形進(jìn)行激發(fā)，從圖6（a）可以看到，其頻譜的差別非常明顯。藍(lán)線的波形激發(fā)時(shí)持續(xù)時(shí)間比較長，間隙也比較長，紅線的波形激發(fā)時(shí)，持續(xù)的時(shí)間比較短，中間的間隙也比較短。為演示激發(fā)效果，激發(fā)波形中還給出了幅度為負(fù)的激發(fā)波形。從圖6（b）的頻譜曲線可以看出，紅線的低頻成分比較少，高頻幅度比較多，譜的連續(xù)曲線比較長；藍(lán)線的低頻成分比較多，頻譜的起伏比較大。在藍(lán)線幅度比較小的位置，紅線的幅度比較大。因此，兩者所測(cè)量的頻率差別明顯。

圖7是用圖6所示激發(fā)波形計(jì)算的瞬變電磁響應(yīng)精確解的實(shí)部和虛部。從圖7可以看到，實(shí)部與激發(fā)波形相似，虛部則在激發(fā)波形突變的位置出現(xiàn)尖的峰值，其峰值與地層的電導(dǎo)率成正比。這樣，虛部既凸顯了瞬變電磁響應(yīng)的突變位置，又可能在激發(fā)波形突變的位置實(shí)現(xiàn)地層參數(shù)的測(cè)量。

圖7中出現(xiàn)的與激發(fā)波形幾乎完全一致的實(shí)部響應(yīng)說明，精確解勢(shì)函數(shù)的實(shí)部比較大，不隨頻率改變，虛部比較小，隨頻率改變。精確解響應(yīng)的頻譜對(duì)激發(fā)波形的頻譜改變比較少，接近常數(shù)。

圖6 激發(fā)波形時(shí)間改變時(shí)的波形及其頻譜

圖7 與圖6激發(fā)波形對(duì)應(yīng)的響應(yīng)實(shí)部和虛部

以上計(jì)算的勢(shì)函數(shù)可以描述磁場(chǎng)強(qiáng)度（電磁感應(yīng)強(qiáng)度B）以及電場(chǎng)強(qiáng)度，用磁探針可以對(duì)其進(jìn)行測(cè)量。通常的測(cè)井采用線圈接收，需要進(jìn)一步計(jì)算瞬變電磁感應(yīng)強(qiáng)度在接收線圈中產(chǎn)生的瞬變感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

3 瞬變電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

將接收線圈位置的電場(chǎng)強(qiáng)度沿圓周方向積分得到接收線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)U

式中，nR是接收線圈的圈數(shù)。從式（2）可見，瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)U比勢(shì)函數(shù)A多了1個(gè)頻率因子和虛數(shù)i。由于頻率因子對(duì)瞬變電磁測(cè)井的響應(yīng)波形影響比較大，因此，勢(shì)函數(shù)波形與接收線圈的電壓波形會(huì)有比較大的差別。

取發(fā)射、接收線圈之間的距離L為1 m進(jìn)行計(jì)算。從圖8（a）可見，計(jì)算的勢(shì)函數(shù)A實(shí)部基本為1，虛部接近于0。即勢(shì)函數(shù)A的精確解隨頻率變化比較小。將虛部部分放大得到圖8（b）可見，隨著頻率的增加，虛部減小。將－iωμ乘到勢(shì)函數(shù)A上以后得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的頻譜，原來的實(shí)部變成了虛部，原來的虛部變成了實(shí)部（見圖9），其中，藍(lán)虛線是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)頻譜的實(shí)部，紅實(shí)線是勢(shì)函數(shù)的虛部，紅虛線是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)頻譜的虛部。A的虛部與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)U的虛部有一定差別。

激發(fā)源頻譜與勢(shì)函數(shù)相乘得到的電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)式（2）的頻譜如圖10、圖11所示，瞬變電磁場(chǎng)將激發(fā)波形（見圖6）的頻譜從總趨勢(shì)隨頻率減小1／（iω）改造成了總趨勢(shì)的幅度基本不變（頻譜的形狀由激發(fā)波形決定）。由于總的趨勢(shì)基本不變，其Fourier積分以后的波形形狀接近于脈沖（因?yàn)槔硐朊}沖的頻譜為1）。圖12所示為上述2種激發(fā)源所激發(fā)的瞬變電磁測(cè)井感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的響應(yīng)波形，從圖12可見，其電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在激發(fā)波形突變的位置，響應(yīng)非常明顯，幅度比較大，響應(yīng)的模（見圖13）呈現(xiàn)脈沖形狀。在激發(fā)波形從0到負(fù)的突變瞬間，電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的幅度最大，這是最容易測(cè)量的時(shí)刻，也是測(cè)量精度比較高的位置。其他位置的激發(fā)波形中還考慮了指數(shù)衰減，因此響應(yīng)幅度比較小。改變電導(dǎo)率，計(jì)算響應(yīng)曲線，將感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大幅度取出得到圖14。從圖14可見，隨著電導(dǎo)率的增加，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值線性增加。由于每個(gè)響應(yīng)脈沖的幅度都與地層的電導(dǎo)率成正比，所以，每個(gè)幅度都可以用來計(jì)算地層的電導(dǎo)率。只是每個(gè)峰在響應(yīng)曲線中所處的位置不一樣，所以，峰的幅度之間有差別，需要針對(duì)具體的峰設(shè)置相應(yīng)的電導(dǎo)率計(jì)算方法。

圖8 精確解勢(shì)函數(shù)A中的實(shí)部和虛部

圖9 精確解勢(shì)函數(shù)A的虛部（紅實(shí)線）、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)部（藍(lán)虛線）和虛部（紅虛線）

圖10 瞬變電磁測(cè)井感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)部與虛部

圖11 瞬變電磁測(cè)井感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)精確解頻譜的模

圖12 瞬變電磁測(cè)井感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的響應(yīng)波形的實(shí)部和虛部

圖13 電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)響應(yīng)的模

圖14 響應(yīng)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值隨電導(dǎo)率線性增加

4 分析與討論

從上述計(jì)算結(jié)果可以看出，由于瞬變電磁場(chǎng)激發(fā)主要發(fā)生在激發(fā)波形的突變位置，即此刻電磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，所以此刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最強(qiáng)，瞬變電磁測(cè)井的響應(yīng)最明顯。隨著突變激發(fā)的結(jié)束，激發(fā)電壓或者電流趨于恒定，隨時(shí)間變化為0，沒有了電磁場(chǎng)的變化，瞬變電磁響應(yīng)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也很快恢復(fù)到0。因此，瞬變電磁測(cè)井中，瞬變是整個(gè)技術(shù)的核心，瞬變激發(fā)是瞬變電磁測(cè)井的主要特色。

瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)的計(jì)算比感應(yīng)測(cè)井或者陣列感應(yīng)測(cè)井多了一個(gè)對(duì)頻率的積分，因此，頻率因子對(duì)計(jì)算結(jié)果起著重要作用。直接的頻率因子來源于電磁感應(yīng)原理中電磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，在本文中最終表現(xiàn)為勢(shì)函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。原來的感應(yīng)測(cè)井研究單頻正弦波的解，其響應(yīng)仍然是正弦波，頻率只有1個(gè)，在頻率域中是1個(gè)值，并且是固定值，在感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)中可以作為常數(shù)處理。瞬變電磁測(cè)井則要測(cè)量瞬變電磁響應(yīng)波形，該響應(yīng)波形在頻率域中對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率段，必須研究該頻率段的響應(yīng)。在該頻率段內(nèi)，每個(gè)頻率的響應(yīng)可以用感應(yīng)測(cè)井得到。原來感應(yīng)測(cè)井的響應(yīng)便相當(dāng)于瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)的頻譜傳遞函數(shù)，將該函數(shù)乘以激發(fā)函數(shù)的頻譜便得到瞬變電磁響應(yīng)的頻譜，再對(duì)頻率進(jìn)行一次Fourier積分即能夠獲得瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)波形。

用Doll幾何因子計(jì)算時(shí)，由于有2次求導(dǎo)過程，其電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的頻譜響應(yīng)與頻率的平方成正比，與瞬態(tài)激發(fā)波形的頻譜相乘以后，將瞬態(tài)激發(fā)的頻譜（隨頻率降低）變換為總趨勢(shì)隨頻率線性增加的形狀，即頻率越高、幅度越大。即Doll幾何因子將頻率高的影響突出了出來，其結(jié)果是瞬變電磁測(cè)井的響應(yīng)波形中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的響應(yīng)脈沖很尖。

精確解中勢(shì)函數(shù)的建立過程沒有像Doll幾何因子那樣首先計(jì)算磁通量，再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，所以表達(dá)式中沒有明顯的頻率因子。在低頻，精確解勢(shì)函數(shù)的實(shí)部接近1，虛部很小，因此，乘以激發(fā)源的頻譜后，基本上沒有對(duì)激發(fā)波形的頻譜進(jìn)行改造，保留了激發(fā)源頻譜的原有特征。瞬變電磁測(cè)井勢(shì)函數(shù)響應(yīng)波形的計(jì)算結(jié)果是實(shí)部基本上還原了原來的激發(fā)波形，虛部則充分展現(xiàn)了其電磁感應(yīng)響應(yīng)的特征。

用精確解的勢(shì)函數(shù)計(jì)算電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)需要對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，對(duì)于單頻正弦波相當(dāng)于乘了頻率因子，將高頻成分的幅度進(jìn)行了放大，與激發(fā)波形的頻譜（幅度隨頻率的增加而減小，總的趨勢(shì)與頻率成反比）相乘后，最終的結(jié)果使得瞬變電磁測(cè)井的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)頻譜的總體趨勢(shì)基本保持不變，不像Doll幾何因子那樣，隨頻率線性增加。與Doll幾何因子的計(jì)算結(jié)果有比較大的差別。對(duì)頻率做完Fourier積分以后，在激發(fā)電流的突變處，瞬變電磁測(cè)井的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也出現(xiàn)了一個(gè)比較尖的峰值。相對(duì)于Doll幾何因子計(jì)算的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形，其響應(yīng)峰的形狀比較緩慢。

5 結(jié) 論

（1）基于無限大均勻介質(zhì)瞬變電磁感應(yīng)精確解的勢(shì)函數(shù)主要刻畫了瞬變電磁響應(yīng)，其變化特征與電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有一定的差別，兩者的頻譜中相差一個(gè)頻率因子；響應(yīng)波形雖然都為脈沖形狀，但是，形狀上有一定的差別。當(dāng)激發(fā)波形出現(xiàn)正的突變或負(fù)的突變時(shí)，正、負(fù)突變處均會(huì)感應(yīng)出電動(dòng)勢(shì)，其他位置則幅度比較小。突變位置是最佳的測(cè)量時(shí)刻。突變位置的瞬變感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)峰值與地層的電導(dǎo)率成正比，其他位置的電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)幅度比較小。當(dāng)正、負(fù)突變位置相距比較遠(yuǎn)時(shí)，瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)波形主要在突變位置明顯；當(dāng)正、負(fù)突變位置相距比較近時(shí)，瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)波形會(huì)相互疊加?？梢酝ㄟ^調(diào)整激發(fā)波形形狀改變響應(yīng)幅度，選擇測(cè)量位置。

（2）與現(xiàn)有的電阻率測(cè)井方法不同，瞬變電磁測(cè)井主要以測(cè)量低頻電磁感應(yīng)為目的，所能夠測(cè)量到的電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的幅度比較小，因此需要大幅度增加激發(fā)強(qiáng)度。瞬變電磁測(cè)井是一種大功率測(cè)井方法。

［1］ 張庚驥.電法測(cè)井：上 ［M］.北京：石油工業(yè)出版社，1984.

［2］ 米薩克，N納比吉安.電磁法第1卷：理論 ［M］.趙經(jīng)祥譯.北京：地質(zhì)出版社，1992.

［3］ 李貅.瞬變電磁測(cè)深的理論與應(yīng)用 ［M］.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2002.