分段處理思想在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

康旺強(qiáng)

摘 要 分段處理法是數(shù)學(xué)分析中的一種重要的解題方法。分段處理法就是根據(jù)已知的條件將所要求解的式子或函數(shù)的定義域分成兩段或幾段，再對(duì)分段所得的結(jié)果求解，最后將每段解得的結(jié)果綜合。數(shù)列極限問(wèn)題、函數(shù)一致連續(xù)問(wèn)題和定積分的計(jì)算問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 分段處理法 積分中值定理 數(shù)列極限 定積分

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Application of Segmentation Idea in Solving Mathematical Problems

KANG Wangqiang

（Lijiang College of Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541006）

Abstract Segmentation method is an important method of solving problems in mathematics analysis. The segmentation method is based on the conditions known take the domain of required formula or function into two or a plurality of sections， then solve every segmentation's problem and gather result of all each section finally. Segmentation method is widely used in the problem of sequence limit， uniformly continuous function and calculation of definite integral.

Key words segmentation method； integral mean value theorem； uniform continuity

0 引言

在很多數(shù)學(xué)分析的相關(guān)書(shū)籍與文獻(xiàn)中，對(duì)于“分段處理法”都沒(méi)有全面的介紹，本文運(yùn)用舉例說(shuō)明的方法對(duì)能運(yùn)用分段處理法解答的三種類型的題目做了一個(gè)總的概括。一是用定義證明數(shù)列極限的題目，將所要求的式子分段，再分別對(duì)分段所得的式子進(jìn)行證明；二是證明函數(shù)一致連續(xù)的題目中，將原區(qū)間分成兩個(gè)分區(qū)間，在分別證明該函數(shù)在這兩個(gè)分區(qū)間上一致連續(xù)，從而由定理及相關(guān)推論知，該函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上一致連續(xù)；三是在解答定積分的題目中，將積分區(qū)間分段，然后分別對(duì)函數(shù)在分段所得的積分區(qū)間內(nèi)進(jìn)行求解。

1 符號(hào)、基本定義與引理

本節(jié)我們主要介紹本文用到的主要術(shù)語(yǔ)與基本定義、定理及推論。

定義1 若 = 0，則稱當(dāng)→時(shí)為的高階無(wú)窮小量，記作 （）= （ （））（→）

定義 2 設(shè)為定義在集合上的函數(shù)。若對(duì)任意>0 ，存在>0 ，任意，且∣∣<。有∣ （） （）∣<，則稱 在集合上一致連續(xù)。

引理1 （歸結(jié)原則）設(shè)函數(shù) 在（；）內(nèi)有定義， （）存在的充要條件是：對(duì)任何含于（；）且以為極限的數(shù)列{}，極限 （）都存在且相等。

引理2 （積分第一中值定理）若在閉區(qū)間[，]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)[，]，使得 （） = （）（）。

引理3 （推廣的積分第一中值定理）若與都在閉區(qū)間[，]上連續(xù)，且 （）在[，]上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)[，]，使得 （） （） = （） （）。

引理4 （stolz定理）設(shè){}嚴(yán)格遞增，且 = +；又 = 。則 = （其中可以是0、有限數(shù)或）。

2 分段處理法在解題中的應(yīng)用

2.1 分段處理法在求數(shù)列極限中的應(yīng)用

在關(guān)于數(shù)列極限的證明題中，為了要證明一個(gè)數(shù)列收斂，我們常常會(huì)將該數(shù)列拆分為兩段（或幾段）數(shù)列。一般地，對(duì)于其中一段（或幾段）數(shù)列，通常是有界的，而另一段通常是無(wú)界的，然后再分別利用定義、性質(zhì)或條件證明拆分后所得的數(shù)列收斂，進(jìn)而得到整個(gè)數(shù)列收斂。在對(duì)數(shù)列進(jìn)行拆分時(shí)，常常會(huì)用到“加一項(xiàng)，再減這一項(xiàng)”的方法。

例1 設(shè){}是一數(shù)列，且 = 0，

證明 = 0。

證明：由 = 0有：對(duì)任意>0 ，存在>0，當(dāng)>時(shí)，有∣∣<。記 = ∣∣，當(dāng)>時(shí)，有

注意到： = 0。從而對(duì)上述>0 ，存在>0，當(dāng)>時(shí)，有∣ ∣<。

取 = {，}則當(dāng)>時(shí)，有∣∣< + <。由定義知， = 0。

從上述例題的證明過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們要運(yùn)用定義來(lái)證明關(guān)于數(shù)列極限的題目時(shí)，分段處理法起到了很大的作用。同樣地，分段處理的思想方法也可以運(yùn)用于函數(shù)極限的證明題中。

例2 設(shè) （）= 0， （） （） = （）（>1），求證：（） = （）。

證明：由條件有得，對(duì)任意>0，存在>0，當(dāng)0<∣∣<時(shí)，有 = 0，即∣0∣<∣∣·。

從而

令→+，由（） = 0及歸結(jié)原則知，（） = 0。 ∣∣≤∣∣· + 0，即∣0∣≤ 。從而 = 0所以（） = （）。

2.2 分段處理法在一致連續(xù)上的應(yīng)用

為了證明某函數(shù)（） 在區(qū)間上一致連續(xù)，通常將區(qū)間拆分為兩個(gè)區(qū)間，，再分別證明該函數(shù)（）分別在區(qū)間，上一致連續(xù)，從而可得到該函數(shù) （）在區(qū)間上一致連續(xù)。拆分所得的區(qū)間，可重疊，亦可不重疊。在具體的舉例之前，我們需要以下定理。

定理1 設(shè)區(qū)間與區(qū)間為任意區(qū)間（， 可分別為有限或無(wú)限區(qū)間）， 在和上一致連續(xù)，且 ∩≠，則 在 = ∪上也一致連續(xù)。

證明：由于 在上一致連續(xù)，則對(duì)任意>0，存在>0，當(dāng)，且∣∣<時(shí)，有∣ （） （）∣<。

由于 在上一致連續(xù)，故對(duì)上述>0，存在>0，當(dāng)，且∣∣<時(shí)，有∣ （） （）∣<。取點(diǎn)∩，則且。所以 （）在處連續(xù)，所以對(duì)上述>0，存在>0，當(dāng)∣∣<時(shí)，有∣ （） （）∣<。

故取 = {，，}，當(dāng)，且∣∣<時(shí)，

1叭？或時(shí)，都有：∣ （） （）∣<。

2叭？，此時(shí)有：∣∣≤∣∣<<， ∣∣≤∣∣<<。則∣ （） （）∣≤∣ （） （）∣+∣ （） （）∣< + = 。

從而 （）在上一致連續(xù)。

定理2 設(shè)區(qū)間與區(qū)間為任意區(qū)間（，可分別為有限或無(wú)限區(qū)間）， 在 = 上連續(xù)且分別在和上一致連續(xù)，則在∪上也一致連續(xù)。

證明：由定理1，我們只要證明∩ = 的情形。

當(dāng)（，）>0時(shí)，由于在上一致連續(xù)，則對(duì)任意>0，存在>0，當(dāng)，且∣∣<時(shí)，有∣ （） （）∣<。由于 在上一致連續(xù)，故對(duì)上述>0，存在>0，當(dāng)，且∣∣<時(shí)，有∣ （） （）∣<。

令 = （，），則可取 = {，，}，對(duì)任意，∪且∣∣< 時(shí)，若，不同時(shí)屬于或，不妨設(shè)，，則∣∣≥（，）≥，與所要求的∣∣< 矛盾，故此種情況不存在。即，只能同時(shí)屬于或。

則當(dāng)，或時(shí)，都有：∣ （） （）∣<，所以當(dāng) （，）>0時(shí)， 在∪上一致連續(xù)。

若（，） = 0，則，有公共端點(diǎn)，設(shè)∩ = {}。不妨設(shè)位于的左邊，位于的右邊，則存在>0，滿足（，） ，（，） 。

由于 在 = 上連續(xù)，且[，] ，則 [，]上一致連續(xù)。又因?yàn)椤蒣，]≠，所以 在∪[，]上一致連續(xù)。同理，由于∩[，]≠，所以 在∪[，]上一致連續(xù)。又（∪[，]）∩（∪[，]）≠，所以由定理1知，當(dāng)（，） = 0時(shí)， 在（∪[，]）∪（∪[，]） = ∪上一致連續(xù)。

綜上所述， 在∪上一致連續(xù)。

由定理2可得到推論3。

推論3 設(shè)區(qū)間與區(qū)間為開(kāi)區(qū)間（，可分別為有限或無(wú)限區(qū)間），∩ = {}， 在 = 上有定義且 分別在和上一致連續(xù)，則 在 = ∪上也一致連續(xù)。

下面我們運(yùn)用以上兩個(gè)定理以及推論3來(lái)研究關(guān)于一致連續(xù)的證明問(wèn)題。

2.2.1 區(qū)間沒(méi)有重疊的情況

若區(qū)間為無(wú)限區(qū)間，即形如 = [，+）或（，+）。而在無(wú)限區(qū)間上又難以統(tǒng)一處理，所以轉(zhuǎn)化為一個(gè)便于處理的無(wú)限子區(qū)間與剩下的有限閉區(qū)間上兩部分問(wèn)題分別處理。一般地可取一個(gè)正數(shù)劃分[，+）為[， ]∪[，+）或（，+）=（，]∪[，+）），再分別證 在這兩個(gè)區(qū)間上一致連續(xù)，同時(shí)要說(shuō)明 在點(diǎn)處連續(xù)。由定理1得 在區(qū)間上一致連續(xù)。例3與例4就是運(yùn)用定理1來(lái)證明。

例3 討論 （） = （≥0，）在（0，+）上一致連續(xù)性。

解：（1）當(dāng)0≤≤1時(shí)

1耙字？（）在上（0，1]一致連續(xù)。

2耙蛭？[1，+）時(shí)，由拉格朗日中值定理知，存在（， ），有∣ （） （）∣=∣ （）（）∣= ∣∣。

由于0≤≤1，， [1，+），（， ），所以有<1，即∣ （） （）∣≤ ∣∣。所以對(duì)任意>0，取 = ，只要， [1，+）且∣∣<，就有∣ （） （）∣≤ ∣∣<。由定義知， （） = 在[1，+）上一致連續(xù)。

由1埃？爸？≤≤1時(shí)， （） = 在（0，+）上一致連續(xù)。

（2）當(dāng)>1時(shí)

1耙字？（）在（0，1]上一致連續(xù)。

2耙蛭盵1，+）時(shí)，存在>0，對(duì)任意>0，取 = ， = + ，盡管∣∣= → 0（→+），由拉格朗日中值定理知，存在（， + ），有∣ （） （）∣= ∣ （）（）∣= 。

又由于>1，所以>0，>≥1，所以有>，故 ∣ （） （）∣= ≥· = >1。即當(dāng)→+時(shí)，∣ （） （）∣不趨向于0。故 （） = （>1）在[1，+）上不一致連續(xù)。

由1埃？爸保？時(shí)， （） = 在（0，+）上不一致連續(xù)。

綜上所述，當(dāng)0≤≤1時(shí)， （） = 在（0，+）上一致連續(xù)；當(dāng)>1時(shí)， （） = 在（0，+）上不一致連續(xù)。

例4 證明 （） = 在[0，+）上一致連續(xù)。

證明：1壩捎？（） = 在[0，1]上連續(xù)，則 （） = 在[0，1]上一致連續(xù)。

2暗？[1，+）時(shí)，由拉格朗日中值定理知，存在（，），有

對(duì)于任意>0，取 = 2，對(duì)任意的，[1，+），只要∣∣<，就有∣∣≤<。

所以 （）= 在[1，+）上一致連續(xù)。

由1埃？暗？（）= 在[0，+）上一致連續(xù)。

例5 （）在[]，[]上分別一致連續(xù)，其中>，則 （）在[]上一致連續(xù)。

證明 由定理3可證。

2.2.2 區(qū)間有重疊的情況

前面闡述了區(qū)間沒(méi)有重疊的情況，包括定理1與定理3出現(xiàn)的情況，現(xiàn)在研究區(qū)間有重疊的情況。這兩種情況既有區(qū)別又有聯(lián)系。后者是由前者引申得出的，在很多時(shí)候，兩種情況都可相互轉(zhuǎn)化，只是當(dāng)把區(qū)間分為沒(méi)有重疊的情況的時(shí)候，要處理好拆分所得的兩個(gè)分區(qū)間的端點(diǎn)c，即要求點(diǎn)c連續(xù)，而區(qū)間有重疊的情況則不需考慮這一點(diǎn)。

例6 設(shè) （）在[， +）上一致連續(xù)而（）在[， +）上連續(xù)，且（ （）（）） = 0。證明：（）在[， +）上一致連續(xù)。

分析：分別證（）在[， +1]， [，+）上一致連續(xù)。

證明：1壩捎冢ǎ┰赱， +）上連續(xù)，故（）在[， +1]上連續(xù)，從而（）在[， +1]上一致連續(xù)。

2壩桑？（）（）） = 0知：對(duì)任意>0，存在 >0，當(dāng)，>且∣∣<時(shí)，有∣（ （）（））（ （） （））∣<。

又由 （）在[， +）上一致連續(xù)，故對(duì)上述>0，存在>0，

當(dāng)，[， +）且∣∣<時(shí)，有∣ （）（ （）∣<。所以取 = {，}，當(dāng)，[， +）∣∣<時(shí)，有

所以（）在[，+）上一致連續(xù)。

由定理2得（）在[， +） = [， +1]∪[， +） = [， +）上一致連續(xù)。

2.2.3 分段處理在定積分上的應(yīng)用

我們常常利用定積分的性質(zhì)求極限，而當(dāng)被積函數(shù)含有三角函數(shù)，且這些三角函數(shù)又不是初等函數(shù)的時(shí)候，我們便可利用三角函數(shù)的周期性，將被積區(qū)間分段，進(jìn)而再運(yùn)用其他定義或性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明。

例7 證明 = 0。

注：這是著名的黎曼公式，證明這個(gè)公式的方法很多，在這里我們運(yùn)用分段處理的方法來(lái)證明。

證明：對(duì)任意>0，因?yàn)?/p>

要證（） = 0，只要∣（）0∣= ∣（）∣≤。即∣（）∣≤。

兩邊取對(duì)數(shù)，有 （）≤ 。

取 = ，當(dāng)>時(shí)，有∣（）∣<。

由迫斂性知， = 0。從而

0< = + < + = 2，

即∣0∣<2。所以 = 0。

從上述幾個(gè)例子中，我們可得出運(yùn)用分段處理法進(jìn)行解題的一般思路。在用定義來(lái)證明數(shù)列收斂時(shí)，可用“加一項(xiàng)減一項(xiàng)”的方法，將所求的式子分成兩部分，然后根據(jù)條件分別利用定義及性質(zhì)證明其收斂，從而證明整個(gè)數(shù)列收斂。在證明函數(shù)一致連續(xù)的題目中，將函數(shù)定義域所表示的區(qū)間分成兩個(gè)重疊或不重疊的分區(qū)間，然后分別證明該函數(shù)在這兩個(gè)分區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，從而得到該函數(shù)在兩個(gè)分區(qū)間的并集上一致連續(xù)，即函數(shù)在整個(gè)定義域上一致連續(xù)；而在有關(guān)定積分的題目中，可根據(jù)一些已知條件或隱含條件（如三角函數(shù)的周期性），將積分區(qū)間分段，從而用定義及性質(zhì)對(duì)分段所得的式子進(jìn)行求解。

總之，分段處理法能使題目更易于處理，解題思路更為開(kāi)闊。因此，分段處理法在解題中具有廣泛的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）（第三版）[M].北京：人民教育出版社，2001.6.

[2] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.4.

[3] 吳良森. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[4] 陳紀(jì)修等.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[5] 周民強(qiáng)等. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練[M].北京：科學(xué)出版社，2006.7.

[6] 鄧曉紅.積分中值定理的應(yīng)用[J].貴陽(yáng)金筑大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系.2004，55（3）：116-118.

[7] 陳惠汝，何春羚.再探函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的一致連續(xù)性[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào).2006，2：30-32.