用切線段修正使用琴生不等式解題中所發(fā)生的錯誤

劉殷儀泓

【摘要】分析在高中數(shù)學學習中，使用琴生（Jensen）不等式進行數(shù)學解題時的常見錯誤，并揭示切線段修正的一般方法與注意事項，此方法具有一定的普遍意義，有助于提高高中生的數(shù)學解題能力.

【關(guān)鍵詞】琴生（Jensen）不等式；切線段；數(shù)學解題

琴生不等式也稱為詹森不等式，是指對于任意的凸函數(shù)f（x）以及其定義域上n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么都有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≥fx1+x2+…+xnn；對于任意的凹函數(shù)以及其定義域上n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么都有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≤fx1+x2+…+xnn.使用琴生不等式，所任取的數(shù)值一定要位于使函數(shù)凸（或凹）的區(qū)間上，結(jié)論才能成立.但在一些典型題解中，錯誤也時有發(fā)生.例如，已知a，b，c為正實數(shù)，且a4+b4+c4=3，證明14-ab+14-bc+14-ca≤1.

原證明 令f（x）=14-x，且x∈0，169，由

f′（x）=12x（4-x）2，

f″（x）=-（3x-4）（x-4）4xx（4-x）4<0，

知f（x）是0，169上的凹函數(shù)，由琴生不等式得

14-ab+14-bc+14-ac≤34-a2b2+b2c2+c2a23

≤34-a4+b4+c43=1.

該證明的錯誤是，任取滿足a4+b4+c4=3的a2b2，b2c2，c2a2并不能保證總落在區(qū)間0，169上（0，169 由f″（x）<0而求出）.

由排序不等式：a2b2+b2c2+c2a2≤a4+b4+c4=3，可知a2b2，b2c2，c2a2都落在（0，3）內(nèi)，例如，當c2很小時，a2b2就可接近3.這樣就不能使用琴生不等式直接推出本題的結(jié)論.

對原證明修正如下：

在區(qū)間（0，3）上考察原證明中的函數(shù)y=f（x），由f′（x）>0，可知它是增函數(shù)，拐點是169，38，在0，169上是凹函數(shù)，在169，3上是凸函數(shù).從曲線y=f（x）的右端點B3，14-3向左作曲線的切線，設(shè)切點Tx0，14-x0，其中x0≠3.作草圖，從曲線的走向可知，它在[x0，3]上的一段在切線段TB的下方，而x0滿足f（3）-f（x0）3-x0=f′（x0）.

設(shè)T（x）=f（3）-f（x）3-x-f′（x）.

通過計算可知T（1）<0，而T169>0，所以x0在1與169之間.

設(shè)切線段TB的方程為y=f1（x）（x0≤x≤3），

有f1′（x）=f′（x0）>0，f1″（x）=0.

引進輔助函數(shù)

G（x）=f（x），0≤x≤x0，f1（x），x0

由前面的討論可知f（x）≤G（x），G（x）是[0，3]上的增函數(shù)，且是凹函數(shù).由琴生不等式，在（0，3）上任取a2b2，b2c2，c2a2，有

14-ab+14-bc+14-ca

=f（a2b2）+f（b2c2）+f（c2a2）

≤G（a2b2）+G（b2c2）+G（c2a2）

≤3Ga2b2+b2c2+c2a23

≤3Ga4+b4+c43

=3G（1）=3f（1）=1.

從本例可見，并非當任取的幾個數(shù)的平均數(shù)落入使該函數(shù)凹（凸）的區(qū)間之內(nèi)，就能用切線段的方法補救，還須切點的橫坐標要落在該平均數(shù)與拐點的橫坐標所形成的閉區(qū)間上才行.但此方法仍具有一定的普遍意義！例如，下題：

設(shè)正數(shù)a，b，c滿足a4+b4+c4=1，求f=a31-a8+b31-b8+c31-c8的最小值.

使用柯西不等式和均值不等式可以求出最小值是9843，但這一經(jīng)典解法的技巧性非常強.若使用上述切線段方法，思路更清晰、方法更便捷.

可設(shè)f（x）=x341-x2，0≤x<1.求出f′（x），f″（x），可知在（0，1）上f′（x）>0，存在唯一的t0，使f″（t0）=0，曲線y=f（x）在（0，t0）是凹函數(shù)，在（t0，1）上是凸函數(shù).過端點O（0，0）引一條切點不在O點的曲線的切線，可求出切點T的橫坐標13，剛巧與任取的幾個數(shù)a4，b4，c4的平均數(shù)相同，t0<13.引進輔助函數(shù)G（x）=f′13x，0≤x<13，f（x），13≤x<1， 使用琴生不等式，可求出fmin=9843.