例談求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

施敏儀

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題在高中人教A版教科書(shū)中必修2第四章第一節(jié)及選修2-1第二章第一節(jié)中出現(xiàn)，其中選修2-1第二章第一節(jié)還給出了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟.

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是高考解析幾何題目中常常出現(xiàn)的問(wèn)題之一，而它是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的理解及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法都存在困難.本文將列舉近三年高考中常出現(xiàn)的題型及解題方法，供讀者參考.

一、代入法

代入法分為直接代入法和間接代入法兩種.在解析幾何中，代入法就是要求哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），然后根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）與已知條件的關(guān)系列出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

綜觀近幾年的高考題，利用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是高考中常出現(xiàn)的題型，因此讓學(xué)生理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用代入法顯得尤為重要.

1.一般來(lái)說(shuō)，所研究的動(dòng)點(diǎn)與題目所給的方程或等量關(guān)系有直接的聯(lián)系，用直接代入法

直接代入法的步驟可簡(jiǎn)單歸結(jié)為五個(gè)：建系；設(shè)點(diǎn)；列等式；代入；化簡(jiǎn).

【例1】（2012，四川，理）如圖1，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A（-1，0）、B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.求軌跡C的方程.

分析：題目要求軌跡C的方程，給出的等量關(guān)系是∠MBA=2∠MAB.根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及給出角的等量關(guān)系，我們可以利用兩點(diǎn)斜率公式求出∠MAB和∠MBA的正切值，然后再根據(jù)二倍角公式將兩角的正切值聯(lián)系起來(lái)，得到所要求的軌跡方程.

解析：設(shè)軌跡C上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），顯然有x>0，y≠0.

圖1當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，±3）；

當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，x≠2，

由∠MBA=2∠MAB，

有tan∠MBA=2tan∠MAB11-tan2∠MAB，

即-|y|1x-2=2y1x+111-（|y|1x+1）2，

化簡(jiǎn)得3x2-y2-3=0，方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，±3）.

綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1）.

評(píng)析：（1）根據(jù)M、A、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形可得y≠0，由∠MBA=2∠MAB可得x>0；

（2）當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，正切值不存在，而題中∠MBA有可能為90°，因此要分情況討論；

（3）由于最后得到軌跡C的方程是雙曲線方程，又因?yàn)橛深}設(shè)知x>0，所以可以進(jìn)一步得到x的范圍為x>1.

2.若所研究的動(dòng)點(diǎn)與所給的方程或等量關(guān)系沒(méi)有直接聯(lián)系，可以通過(guò)找出既與所給方程或等量關(guān)系有直接聯(lián)系，又與所研究的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)系的輔助動(dòng)點(diǎn).

如輔助動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)可用所研究的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，而又找到輔助動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)與所給方程或等量關(guān)系的聯(lián)系，那我們只要將點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，再將其代入等式即可.這種方法就是間接代入法.

【例2】（2012，湖北，理）設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|（m>0，m≠1）.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

分析：題中所求為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，選取的輔助動(dòng)點(diǎn)應(yīng)為點(diǎn)A，它是所給單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)M，與所求動(dòng)點(diǎn)存在著這樣的關(guān)系：|DM|=m|DA|（m>0，m≠1）.

解析：如圖2-1，設(shè)M（x，y），A（x0，y0），則D（x0，0），由|DM|=m|DA|（m>0，m≠1），可得x=x0，|y|=m|y0|，所以x0=x，|y0|=11m|y|①，

因?yàn)辄c(diǎn)A在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以x20+y20=1②，

將①式代入②式即得所求曲線C的方程為x2+y21m2=1（m>0，m≠1），

因?yàn)閙∈（0，1）∪（1，+∞），所以當(dāng)0

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1-m2，0），（1-m2，0）.

當(dāng)m>1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-m2-1），（0，m2-1）.

圖2-1圖2-2（01）

評(píng)析：根據(jù)題目所給的m的范圍，對(duì)曲線C為何種曲線進(jìn)行分類(lèi)討論.

【例3】（2013，遼寧，理）如圖3，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線C2上，過(guò)M作C0的切線，切點(diǎn)為A、B（M為原點(diǎn)O時(shí)，A、B重合于O）.當(dāng)x0=1-2時(shí)，切線MA的斜率為-112.

圖3（1）求p的值；

（2）當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A、B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O）.

分析：（1）利用已知條件“當(dāng)x0=1-2時(shí)，切線MA的斜率為-112”及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出當(dāng)x0=1-2時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)及切線MA的方程，從而求得y0的取值及p的值.

（2）分別設(shè)N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），利用點(diǎn)M是切線MA、MB的交點(diǎn)，得出x0、y0與x1、x2的關(guān)系，從而再得到x、y與x0、y0的關(guān)系，最后通過(guò)代入方程x20=-4y0得出關(guān)于x，y的方程，即點(diǎn)N的軌跡方程.

解析：（1）因?yàn)閽佄锞€C1：x2=4y上任意一點(diǎn)（x，y）的切線斜率為y′=x12，且切線MA的斜率為-112，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，114），

故切線MA的方程為y=-112（x+1）+114.

因?yàn)辄c(diǎn)M（1-2，y0）在切線MA及拋物線C2上，

于是y0=-112（2-2）+114=-3-2214，①

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）設(shè)N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N為線段AB中點(diǎn)知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因?yàn)閗mA=x112，kMB=x212，所以切線MA、MB的方程分別為

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)為x0=x1+x212，y0=x1x214.

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

將⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

當(dāng)x1=x2時(shí)，A、B重合于原點(diǎn)O，AB中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x2=413y，

因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=413y.

評(píng)析：根據(jù)題設(shè)，通過(guò)將⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意討論x1=x2的情況是否也滿足方程x2=413y.

二、定義法

當(dāng)題目給出的等量關(guān)系與圓、橢圓、雙曲線或拋物線定義相一致，我們可以根據(jù)題目的已知條件和這幾種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接得出所需要的軌跡方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在C2：（x-5）2+y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.求曲線C1的方程.

分析：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與拋物線的定義相似，因此利用拋物線的方程求出曲線C1的方程.

解析：由題設(shè)知，點(diǎn)M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值，

而點(diǎn)M到圓C2上點(diǎn)的距離的最小值為點(diǎn)M到圓心C2（5，0）的距離減去半徑長(zhǎng)3，

所以，曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，

因此，曲線C1是以（5，0）為焦點(diǎn)，直線x=-5為準(zhǔn)線的拋物線，

故其方程為y2=20x.

【例5】（2011，廣東，理）設(shè)圓C與兩圓（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求圓C的圓心軌跡L的方程.

分析：設(shè)圓C的半徑為r，由題可知，圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）的距離為r-2，圓C的圓心到點(diǎn)（5，0）的距離為r+2，因此圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）和點(diǎn)（5，0）的距離之和為4，與橢圓的定義一致.

解析：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)條件知：圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）和點(diǎn)（5，0）的距離之和為4，∴圓C的圓心軌跡L為以（-5，0）和點(diǎn)（5，0）為焦點(diǎn)，2a=4的橢圓.∴圓C的圓心軌跡L的方程為x214-y=1.1endprint

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）設(shè)N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N為線段AB中點(diǎn)知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因?yàn)閗mA=x112，kMB=x212，所以切線MA、MB的方程分別為

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)為x0=x1+x212，y0=x1x214.

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

將⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

當(dāng)x1=x2時(shí)，A、B重合于原點(diǎn)O，AB中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x2=413y，

因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=413y.

評(píng)析：根據(jù)題設(shè)，通過(guò)將⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意討論x1=x2的情況是否也滿足方程x2=413y.

二、定義法

當(dāng)題目給出的等量關(guān)系與圓、橢圓、雙曲線或拋物線定義相一致，我們可以根據(jù)題目的已知條件和這幾種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接得出所需要的軌跡方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在C2：（x-5）2+y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.求曲線C1的方程.

分析：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與拋物線的定義相似，因此利用拋物線的方程求出曲線C1的方程.

解析：由題設(shè)知，點(diǎn)M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值，

而點(diǎn)M到圓C2上點(diǎn)的距離的最小值為點(diǎn)M到圓心C2（5，0）的距離減去半徑長(zhǎng)3，

所以，曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，

因此，曲線C1是以（5，0）為焦點(diǎn)，直線x=-5為準(zhǔn)線的拋物線，

故其方程為y2=20x.

【例5】（2011，廣東，理）設(shè)圓C與兩圓（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求圓C的圓心軌跡L的方程.

分析：設(shè)圓C的半徑為r，由題可知，圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）的距離為r-2，圓C的圓心到點(diǎn)（5，0）的距離為r+2，因此圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）和點(diǎn)（5，0）的距離之和為4，與橢圓的定義一致.

解析：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)條件知：圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）和點(diǎn)（5，0）的距離之和為4，∴圓C的圓心軌跡L為以（-5，0）和點(diǎn)（5，0）為焦點(diǎn)，2a=4的橢圓.∴圓C的圓心軌跡L的方程為x214-y=1.1endprint

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）設(shè)N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N為線段AB中點(diǎn)知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因?yàn)閗mA=x112，kMB=x212，所以切線MA、MB的方程分別為

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)為x0=x1+x212，y0=x1x214.

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

將⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

當(dāng)x1=x2時(shí)，A、B重合于原點(diǎn)O，AB中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x2=413y，

因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=413y.

評(píng)析：根據(jù)題設(shè)，通過(guò)將⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意討論x1=x2的情況是否也滿足方程x2=413y.

二、定義法

當(dāng)題目給出的等量關(guān)系與圓、橢圓、雙曲線或拋物線定義相一致，我們可以根據(jù)題目的已知條件和這幾種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接得出所需要的軌跡方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在C2：（x-5）2+y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.求曲線C1的方程.

分析：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與拋物線的定義相似，因此利用拋物線的方程求出曲線C1的方程.

解析：由題設(shè)知，點(diǎn)M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值，

而點(diǎn)M到圓C2上點(diǎn)的距離的最小值為點(diǎn)M到圓心C2（5，0）的距離減去半徑長(zhǎng)3，

所以，曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，

因此，曲線C1是以（5，0）為焦點(diǎn)，直線x=-5為準(zhǔn)線的拋物線，

故其方程為y2=20x.

【例5】（2011，廣東，理）設(shè)圓C與兩圓（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求圓C的圓心軌跡L的方程.

分析：設(shè)圓C的半徑為r，由題可知，圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）的距離為r-2，圓C的圓心到點(diǎn)（5，0）的距離為r+2，因此圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）和點(diǎn)（5，0）的距離之和為4，與橢圓的定義一致.

解析：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)條件知：圓C的圓心到點(diǎn)（-5，0）和點(diǎn)（5，0）的距離之和為4，∴圓C的圓心軌跡L為以（-5，0）和點(diǎn)（5，0）為焦點(diǎn)，2a=4的橢圓.∴圓C的圓心軌跡L的方程為x214-y=1.1endprint